用好教材例習(xí)題，編擬數(shù)學(xué)好題目

☉江蘇省如皋初級(jí)中學(xué)　薛　俊

用好教材例習(xí)題，編擬數(shù)學(xué)好題目

☉江蘇省如皋初級(jí)中學(xué)薛俊

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)（2011年版）”）的頒布，世紀(jì)之初推行的“課改”經(jīng)過(guò)反思后又走上了“再出發(fā)”階段，在教學(xué)研究的取向上呈現(xiàn)出很多“回歸”的現(xiàn)象，比如，近期《中學(xué)數(shù)學(xué)》初中版多篇文章關(guān)注的教材研究、命題研究也可回歸教材等.筆者以為，這種“回歸”并不是簡(jiǎn)單意義上的回歸，應(yīng)當(dāng)屬于“在這里，到那里，回到這里”（馬林諾夫斯基語(yǔ)，詳見(jiàn)文1）.受到文2啟發(fā)，本文講述這段時(shí)間針對(duì)教材例習(xí)題而開(kāi)發(fā)“真正的數(shù)學(xué)題”（章建躍語(yǔ)，見(jiàn)文3）的編題實(shí)踐與反思，與同行們研討.

一、編題案例及編擬解讀

限于篇幅，下面僅針對(duì)人民教育出版社編著義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)的四章內(nèi)容，各提供一個(gè)編題案例及編擬解讀.

例1（來(lái)源：七上教材第30頁(yè)，例2）用正負(fù)數(shù)表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負(fù).登山隊(duì)攀登一座山峰，每登高1km氣溫的變化量為-6℃，攀登3km后，氣溫有什么變化？

變式改編：

（1）若山腳下此時(shí)20℃，試問(wèn)登山隊(duì)攀登到3km后，氣溫是多少呢？

（2）受（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你也圍繞教材例題設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，并解答.

編擬解讀：這是新授課教學(xué)時(shí)對(duì)例2的當(dāng)堂變式練習(xí)，教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)就設(shè)計(jì)好.第（1）問(wèn)是想讓學(xué)生從不同角度理解問(wèn)題情境、訓(xùn)練有理數(shù)運(yùn)算；而第（2）問(wèn)是想讓學(xué)生在第（1）問(wèn)的啟發(fā)下，自主設(shè)計(jì)問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.如，在課堂教學(xué)中，有學(xué)生設(shè)計(jì)出如下的問(wèn)題：若登山隊(duì)從山腳下攀登3km后的溫度為2℃，求此時(shí)山腳下的溫度是多少呢？

例2（來(lái)源：七上教材第58頁(yè)，例4）

【閱讀理解】學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作片斷

對(duì)教材例題運(yùn)算的簡(jiǎn)化

七年級(jí)蘇夢(mèng)睿

學(xué)習(xí)教材第58頁(yè)例題時(shí)，我的一次簡(jiǎn)化運(yùn)算得到了老師的表?yè)P(yáng)，請(qǐng)看題目：

圖1

例題如圖1，用式子表示圓環(huán)的面積.當(dāng)R＝15cm，r＝10cm時(shí)，求圓環(huán)的面積（π取3.14）.

解：外圓的面積減去內(nèi)圓的面積就是圓環(huán)的面積，所以圓環(huán)的面積是πR2-πr2.

當(dāng)R＝15cm，r＝10cm時(shí)，圓環(huán)的面積（單位：cm2）是πR2-πr2＝3.14×152-3.14×102＝392.5.

這個(gè)圓環(huán)的面積是392.5cm2.

我感覺(jué)課本上的運(yùn)算太繁，想起小學(xué)里做類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，我是先把π提出來(lái)，先算兩個(gè)半徑的……

老師表?yè)P(yáng)了我追求運(yùn)算的簡(jiǎn)化，又有一定的質(zhì)疑能力.還說(shuō)，教材之所以這樣計(jì)算，大概有兩個(gè)原因，一是這里允許使用計(jì)算器；二是下一節(jié)將學(xué)習(xí)……

我隱約感受到教材編寫(xiě)者的良苦用心.

【問(wèn)題解決】

（1）請(qǐng)用上文小蘇同學(xué)提及的“方法”計(jì)算例題中的圓環(huán)面積；

（2）老師點(diǎn)評(píng)時(shí)提及“下一節(jié)將學(xué)習(xí)……”，請(qǐng)結(jié)合整章的學(xué)習(xí)，猜想老師大概說(shuō)的是什么？

編擬解讀：小蘇同學(xué)用“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”反思了教材上一道例題的不同解法，并初步理解教材解法的意圖.在第二章“整式的加減”章末復(fù)習(xí)課的教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，筆者將小蘇同學(xué)的“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”挖空、留白設(shè)計(jì)成上面這個(gè)“問(wèn)題解決”.從教學(xué)情況來(lái)看，學(xué)生都能把第（1）問(wèn)按添括號(hào)的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算，但是第（2）問(wèn)不少學(xué)生想不起來(lái)，還靠小蘇同學(xué)給出了解讀：老師當(dāng)時(shí)說(shuō)“下一節(jié)還將學(xué)習(xí)合并同類(lèi)項(xiàng)、去括號(hào)、添括號(hào)等新知識(shí).”

例3（來(lái)源：七上教材第79頁(yè)，例1（1））用一根長(zhǎng)24cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形.

（1）設(shè)圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為acm，則寬為_(kāi)______cm（用含a的代數(shù)式表示）.

（2）想一想圍成的長(zhǎng)方形的面積可能為35cm2嗎？如果能，直接寫(xiě)出該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬；如果不能，說(shuō)明理由.

（3）如果恰能?chē)梢粋€(gè)正方形，則該正方形的面積是多少？（請(qǐng)列一元一次方程解問(wèn)題）

編擬解讀：這是筆者在七年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)卷中編擬的一道解答題，第（1）問(wèn)兼顧了第二章“整式的加減”列代數(shù)式的知識(shí)點(diǎn)；第（2）問(wèn)考查學(xué)生的“數(shù)感”，直接寫(xiě)出答案，如果深究下去，用方程的方法會(huì)走上一元二次方程的路子；第（3）問(wèn)是在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上自然生長(zhǎng)，追問(wèn)圍成長(zhǎng)方形面積最大值問(wèn)題，這時(shí)學(xué)生有小學(xué)的經(jīng)驗(yàn)可能會(huì)直接知道答案，但這里要求學(xué)生列一元一次方程解答，學(xué)生由第（1）問(wèn)可得a=12-a，得a=6，從而求出此時(shí)正方形的面積是36cm2.這也是想檢查學(xué)生用一元一次方程解應(yīng)用問(wèn)題的技能.

例4（來(lái)源：七上教材第140頁(yè)，第11題）如圖2～圖5，將一副三角尺按不同位置擺放：

圖2

圖3

圖4

圖5

（1）其中∠α與∠β一定相等的擺放方式有（）.

A.1種 B.2種 C.3種 D.4種

（2）你發(fā)現(xiàn)上述擺放方式中的∠α與∠β還有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

編擬解讀：這是筆者在第四章“幾何圖形初步”的章末復(fù)習(xí)時(shí)編擬的一道習(xí)題.與教材上直接提問(wèn)“哪種擺放方式中∠α與∠β互余、互補(bǔ)或相等”相比，上面的設(shè)計(jì)在第（1）問(wèn)突出∠α與∠β相等關(guān)系的識(shí)別，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其余擺放方式中∠α與∠β的特殊數(shù)量關(guān)系.批閱學(xué)生解答發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生解答第（1）問(wèn)時(shí)有漏解、多解的情況，相應(yīng)地也影響了第（2）問(wèn)的解答.

二、圍繞教材例習(xí)題編擬“好題”時(shí)的幾點(diǎn)思考

章建躍教授曾在文3中指出：“解題目的應(yīng)聚焦于：加深理解和掌握雙基；學(xué)會(huì)思考、培養(yǎng)和發(fā)展思維能力；查漏補(bǔ)缺；培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；培養(yǎng)創(chuàng)造力等.其中應(yīng)以發(fā)展推理能力為核心目標(biāo).而這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，根本上還要依靠‘好題’.”并進(jìn)一步指出：“‘好題’絕不是當(dāng)前教輔資源中盛行的那種人為制造的‘題目’，而應(yīng)該是‘真正的數(shù)學(xué)題’.”作為有著多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷的筆者來(lái)說(shuō)，對(duì)章教授立足數(shù)學(xué)、基于教學(xué)，直面現(xiàn)實(shí)、敢說(shuō)真話很是敬佩.下面圍繞上文“例1～例4”作出進(jìn)一步的解讀和反思.

1.改編教材例習(xí)題需要深刻理解和精心篩選內(nèi)容

關(guān)于“真正的數(shù)學(xué)題”，章教授在文3中認(rèn)為：“這樣的題目應(yīng)該滿足一些基本條件，例如，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等.”受此啟發(fā)，首先要認(rèn)真讀懂教材例習(xí)題，這樣才能在開(kāi)發(fā)和編擬試題時(shí)，找出那些反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、與重要數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)的例習(xí)題，并對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行重新設(shè)計(jì)、改編，把學(xué)生有限的精力都用在這些“好題”、“真正的數(shù)學(xué)題”的訓(xùn)練上.拿上文中的“例1”來(lái)說(shuō)，從變式練習(xí)、重新設(shè)計(jì)問(wèn)題的角度讓學(xué)生訓(xùn)練同一個(gè)背景，幫助學(xué)生追求“做一題·會(huì)一類(lèi)·通一片”的效果；而“例4”對(duì)課本習(xí)題改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的理解深度，因?yàn)樵诓煌瑪[放方式中“∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系”，將會(huì)是學(xué)生未來(lái)幾何解題的基礎(chǔ)，根據(jù)解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少八、九年級(jí)學(xué)生在幾何問(wèn)題的解題思路、速度上的差異，往往就在這些基礎(chǔ)圖形及性質(zhì)的快速識(shí)別上.

2.改編教材例習(xí)題需要跨年級(jí)的“上通下達(dá)”

我們都知道，教材不同于一般數(shù)學(xué)教輔資料，“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是經(jīng)過(guò)反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.”研讀人教版教材發(fā)現(xiàn)，上文展示的“例3”就是被教材在不同年級(jí)重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題背景，這種背景學(xué)生在小學(xué)就已接觸，除了上面提及的七年級(jí)上冊(cè)例題和習(xí)題（如第91頁(yè)第7題）反復(fù)訓(xùn)練之外，在八年級(jí)分式、九年級(jí)一元二次方程與二次函數(shù)等章節(jié)中仍然有體現(xiàn).我們?cè)诿鎸?duì)這種背景的問(wèn)題教學(xué)時(shí)，要像對(duì)待核心概念的訓(xùn)練那樣，不惜時(shí)、不惜力.當(dāng)然，由于教材對(duì)這類(lèi)“真正的數(shù)學(xué)題”并沒(méi)有貼上標(biāo)簽，而且本著螺旋上升的原則，零散地分布在教材各分冊(cè)中，這就需要廣大教師發(fā)揮專(zhuān)業(yè)能力，敏于發(fā)現(xiàn)、勤于積累、精于鏈接，而不是在七年級(jí)教學(xué)時(shí)只考慮七年級(jí)“眼前利益”，忘記八、九年級(jí)這類(lèi)問(wèn)題的“長(zhǎng)遠(yuǎn)利益”.事實(shí)上，留心處“滿眼風(fēng)景”，即教材中很多例題的設(shè)計(jì)、習(xí)題的布置（特別是拓廣探索）都富有生長(zhǎng)空間、上通下達(dá).

3.改編教材例習(xí)題勿忘學(xué)生生成性資源

《課標(biāo)（2011年版）》對(duì)“生成性資源”進(jìn)行了如下的描述：“生成性資源是在教學(xué)過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的，如師生交互及生生交流過(guò)程中產(chǎn)生的新情境、新問(wèn)題、新思路、新方法、新結(jié)果等.”并指出“合理地利用生成性資源有利于提高教學(xué)的有效性”.經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多老師課后到辦公室繪聲繪色地講述剛剛課堂中的一次精彩生成、深度對(duì)話或者學(xué)生作業(yè)中一個(gè)優(yōu)秀解法.可是，這些優(yōu)秀的生成性資源又有多少被及時(shí)記錄甚至開(kāi)發(fā)利用呢？其實(shí)，像上文“例2”這樣，截取學(xué)生數(shù)學(xué)寫(xiě)作片斷并挖空、留白開(kāi)發(fā)成數(shù)學(xué)習(xí)題就是一種可行的方式，學(xué)生感到這樣的問(wèn)題背景貼近自己的學(xué)習(xí)生活，喜歡練習(xí)這類(lèi)問(wèn)題，認(rèn)為除訓(xùn)練數(shù)學(xué)知識(shí)外，還學(xué)會(huì)了怎樣架構(gòu)數(shù)學(xué)寫(xiě)作、記錄并分享自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困惑與經(jīng)驗(yàn).

1.成尚榮.在這里，到那里，回到這里［J］.基礎(chǔ)教育課程，2011（12）.

2.劉東升.“以課本為本”：誰(shuí)解其中味［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（1-2）.

3.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

4.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3-5）.