從忘記“÷2”說起

馮勝++楊道吉

在教學(xué)中，我們會發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在計算三角形面積時，會直接用“底×高”。如果我們讓學(xué)生檢查，他們會很快發(fā)現(xiàn)自己忘記“÷2”，并很快訂正。面對這樣的“粗心”現(xiàn)象，筆者認為我們不能簡單地站在“成人視角”去理解，而應(yīng)更多以“兒童視角”來分析產(chǎn)生此類錯誤的原因，以便我們運用更適合兒童心理的教學(xué)方法，盡量避免孩子們在認識上“走彎路”。

基于這樣的認識，筆者開展了有關(guān)“三角形的面積計算”的教學(xué)研究，準(zhǔn)備從學(xué)生作業(yè)錯例分析入手，結(jié)合對教學(xué)內(nèi)容的再次思考，探尋學(xué)生錯誤的真實原因，提出較為合理的教學(xué)建議。

一、三角形面積計算的典型錯誤和錯因分析

（一）測試的問題及意圖

在設(shè)計測試的問題時，我們將三角形的面積計算的數(shù)學(xué)運用分為三個層次。

（二）測試的對象和過程

我們選擇了使用人教版課標(biāo)教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的F小學(xué)五年級3個教學(xué)班。其中2個班的學(xué)生作為對照班在沒有使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)“三角形面積計算”后完成測試，另一個班的學(xué)生作為實驗班在使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)“三角形面積計算”后完成測試。

測試后我們對學(xué)生的解題情況進行初步整理，在整理的基礎(chǔ)上選擇了部分學(xué)生單獨進行訪談，測試與訪談在同一天完成。

（三）測試的結(jié)果與分析

1.三角形的面積計算的整體掌握情況

我們將對照班的78名學(xué)生的測試卷的三個問題從正確率、錯誤率以及“算法”錯誤率三個方面進行了初步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，其中“算法”錯誤指運用三角形面積計算公式時，列式造成的錯誤。有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下。

F小學(xué)五年級部分學(xué)生“三角形的面積計算”測試數(shù)據(jù)分析（1）

由上表可知：學(xué)生對三角形的面積計算的掌握情況是有層次的，其中“算法”錯誤有下面兩類，一是學(xué)生直接用“底×高”來計算三角形的面積，二是直接用“三角形的面積÷高”求三角形的底。

針對以上錯誤，筆者對學(xué)生進行了訪談。在訪談時，多數(shù)學(xué)生看到自己出現(xiàn)的第一類錯誤，隨即就說：“老師，我忘記除以2了?！碑?dāng)我們追問：“你為什么會忘記除以2呢？”學(xué)生答道：“和平行四邊形的面積計算方法弄混了?！贬槍Φ诙愬e誤，學(xué)生說：“求長方形和平行四邊形的，也是這樣算的?！庇纱丝梢?，學(xué)生對三角形的面積計算公式的運用，很容易受長方形和平行四邊形的面積計算公式的影響。

2.三角形的面積計算在不同背景中的掌握情況

為進一步探索學(xué)生在不同背景中，三角形面積計算公式正向和逆向運用的相互影響關(guān)系，我們關(guān)注了測試答卷中以下三類情況，學(xué)生答題過程中“算法”錯誤統(tǒng)計，如下表。

F小學(xué)五年級部分學(xué)生“三角形的面積計算”測試數(shù)據(jù)分析（2）

從上表可知：（1）部分學(xué)生雖然能直接正向運用三角形面積計算公式，但在具體情況中正向運用時錯誤較多。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是具體情境中運用公式時，易受情境信息和干擾因素等影響。（2）部分學(xué)生對三角形的面積計算的逆向運用掌握情況低于正向運用。（3）當(dāng)學(xué)生在不同背景中，能克服干擾因素和復(fù)雜背景正確正向運用三角形的面積計算公式時，三角形的面積計算公式的逆向運用掌握也較好。

也許我們會有這樣的疑問：為什么教學(xué)過程中學(xué)生操作了，教師演示了，還有學(xué)生出錯呢？真的是學(xué)生無法跨越這道坎嗎？下面是筆者觀察到的教學(xué)片斷，也許會引起我們一些新思考。

【教學(xué)現(xiàn)象】

（1）每個組準(zhǔn)備了一些三角形，請同學(xué)們擺一擺，拼一拼，看能不能拼成我們學(xué)過的平面圖形（學(xué)生合作探究）。

（2）交流匯報，每個小組選代表到黑板上演示。

（3）小結(jié)：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

（4）自主探究：三角形與所拼成的平行四邊形有什么關(guān)系？

（5）合作探究：通過“轉(zhuǎn)化”“找關(guān)系”，你能推導(dǎo)出三角形面積計算公式嗎？

（6）板書：三角形的面積=底×高÷2

S=ah÷2

【分析與思考】

在這個教學(xué)片斷中，學(xué)生充分經(jīng)歷了三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程嗎？筆者認為學(xué)生只是被動地按教師的設(shè)計機械地完成了一系列操作，沒有充分經(jīng)歷計算公式的探究過程。在這一過程中，學(xué)生只是“操作工”，對于“為什么會想用兩個完全一樣的三角形來拼”“還有其他推導(dǎo)方法嗎”等問題學(xué)生沒有主動地思考，更談不上猜想和創(chuàng)造。這樣膚淺的操作導(dǎo)致學(xué)生沒有深刻的理解，記憶也不深刻。這樣看來，學(xué)生作業(yè)時會忘記“÷2”也是情有可原。

二、三角形面積計算的教學(xué)內(nèi)容和教材分析

從以上測試中我們發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生習(xí)慣于將平行四邊形的面積計算公式直接運用于三角形的面積計算中。為此，我們從平行四邊形和三角形的面積計算公式的推導(dǎo)過程、面積計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及公式的變式運用等三個方面來對比分析，再次思考學(xué)生錯誤的真實障礙。具體分析如下。

平行四邊形和三角形的面積計算學(xué)習(xí)內(nèi)容的對比分析

從以上對比中，我們可以發(fā)現(xiàn)：

1.在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)過程中，我們將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，雖然轉(zhuǎn)化前后圖形的形狀發(fā)生了變化，但前后兩個圖形的面積沒有發(fā)生改變。這樣的圖形面積計算公式的推導(dǎo)方法，稱為等積變換。但三角形的面積計算公式推導(dǎo)過程是將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。像這樣通過圖形的拼組推導(dǎo)面積計算公式的方法，稱為圖形重組。我們可以發(fā)現(xiàn)，三角形的面積計算公式的推導(dǎo)過程與平行四邊形有明顯的差異。

2.從兩個計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來看，由于S=ah前面有系數(shù)“[12]”，公式本身也比前者復(fù)雜。因此，在計算公式的逆運用時，需要先將系數(shù)“[12]”轉(zhuǎn)化成1，即2S=ah。而學(xué)生在長方形或平行四邊形的面積計算公式逆運用時，都直接是將面積除以一個變量，如a=S÷b?；仡欉@些學(xué)生面積計算的經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)像三角形的面積計算公式這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)還是學(xué)生第一次接觸。

綜上分析，我們可以知道三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等方面都比平行四邊形的復(fù)雜，是學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)歷的一次跨越。

三、“三角形面積計算”的教學(xué)建議和實驗結(jié)果

通過對平行四邊形和三角形面積計算的多角度比較、分析，我們找到了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙，為解決問題找到了方向。下面筆者對如何幫助學(xué)生理解三角形的面積計算公式以及克服已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的負遷移，提出幾點建議。

（一）完善結(jié)論的推導(dǎo)過程，豐富數(shù)學(xué)體驗。

在以上分析過程中，我們可以知道要幫助學(xué)生在解決問題中克服忘記“÷2”的習(xí)慣，應(yīng)該有效幫助學(xué)生理解為什么“÷2”，也就是理解三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程。

那么這一過程的核心問題是什么？探究的起點在哪里？三角形的面積計算公式推導(dǎo)過程較平行四邊形的復(fù)雜，其原因是需要用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。如果不是學(xué)生提前已知或預(yù)習(xí)，這樣的聯(lián)想對于學(xué)生還是有一定難度的，因此，“為什么會想用兩個完全一樣的三角形來拼”是核心問題。學(xué)生的探究起點在哪里呢？在探究平行四邊形面積時，學(xué)生是沿平行四邊形的高剪開，通過割補轉(zhuǎn)化成長方形。在探究三角形面積時，學(xué)生也會聯(lián)想到沿三角形的高剪開，此時剪下后兩個直角三角形無法拼出規(guī)則圖形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一個平行四邊形（長方形），這樣的探究經(jīng)驗應(yīng)該充分遷移。根據(jù)這樣的思考，筆者設(shè)計了如下教學(xué)思路。

【改進思路】

（1）尋找思路

①喚醒舊知：復(fù)習(xí)三角形分類、底和高的相關(guān)知識。

②提出猜測：三角形的面積計算公式。

③尋找轉(zhuǎn)化思路：我們可以將三角形轉(zhuǎn)化成會求面積的圖形。我們會求哪些圖形的面積呢？（生：平行四邊形、長方形和正方形）

（2）第一次探究（剪拼）

①學(xué)生動手操作。（此時每個學(xué)生只有一個銳角三角形，且同桌之間的三角形是完全一樣的。）

②反饋剪拼方法。

第一層次：學(xué)生通過動手操作，發(fā)現(xiàn)將這個三角形沿高剪開后很難轉(zhuǎn)化。

第二層次：用沿高剪開后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一個平行四邊形（或長方形）。

第三層次：用自己和同桌的三角形拼成了一個平行四邊形。

教師請學(xué)生把他的拼法詳細介紹，引導(dǎo)學(xué)生進行第二次探究。并提問用這樣的兩個三角形可以拼成一個平行四邊形，是不是其他類型的三角形都可以這樣拼呢？

（3）第二次探究（拼組）（略）

這樣的教學(xué)思路，尊重和有效利用了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程，并激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“用兩個完全一樣的三角形可以拼出平行四邊形”的聯(lián)想，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。

（二）溝通知識間的異同點，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在溝通平行四邊形和三角形面積計算公式時，我們可以從以下兩個方面進行比較：

1.計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有關(guān)公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)前面已經(jīng)進行敘述，此處不贅述。需要關(guān)注的有兩點：第一，引導(dǎo)學(xué)生說清為什么除以2；第二，通過對比練習(xí)發(fā)現(xiàn)它們面積之間的關(guān)系，如“一個平行四邊形的面積是50平方厘米，與它等底等高的三角形面積是（ ）平方厘米”。這樣的練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生理解平行四邊形和三角形之間的關(guān)系，而且?guī)椭鷮W(xué)生理解兩者的計算公式。

2.計算公式的內(nèi)涵。雖然兩者的面積計算公式有差異，但它們都是根據(jù)圖形的核心要素“底”和“高”來計算圖形的面積。

（三）運用合理的解答方法，克服思維定勢。

學(xué)生在逆用三角形面積計算公式時，出現(xiàn)像錯例中直接用“面積÷底=高”的思路，其原因：一是學(xué)生對計算公式?jīng)]有充分理解；二是受求長方形的長（或?qū)挘┮约捌叫兴倪呅蔚祝ɑ蚋撸┑乃悸返挠绊懀霈F(xiàn)了思維定勢。

因此，在教學(xué)中關(guān)注對這一計算公式的變式“2s=a×h”的理解，引導(dǎo)學(xué)生認識在已知三角形面積和底（或高）的情況下，求高（或底），可以用三角形的面積×2÷底（或高）。另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生運用合理的解答方法，克服思維定勢的干擾，如通過列方程的方法解決此類問題。

在探尋本研究教學(xué)策略后，我們在F小學(xué)選擇了與前面測試班級學(xué)業(yè)水平無明顯差異的實驗班（48人）結(jié)合提出的教學(xué)建議進行了教學(xué)，并利用以上測試題進行測試，將有關(guān)數(shù)據(jù)整理，見下表。

對照班學(xué)生與實驗班學(xué)生測試結(jié)果統(tǒng)計

從以上統(tǒng)計結(jié)果，可以看出本研究的教學(xué)建議對于學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的面積計算這一內(nèi)容有一定的促進作用。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯 林云志