三自由度等剛度永磁彈簧的力學特性研究

孫　鳳　張　明　孫興偉　金俊杰　李　清　李殿起　王　可

沈陽工業(yè)大學,沈陽,110870

三自由度等剛度永磁彈簧的力學特性研究

孫鳳張明孫興偉金俊杰李清李殿起王可

沈陽工業(yè)大學,沈陽,110870

設計出一種三自由度等剛度永磁彈簧,并根據(jù)單組永磁體結構，采用虛位移法建立其徑向磁力解析模型，利用有限元方法對徑向磁力進行了仿真計算。仿真結果和模型計算結果基本吻合。解析計算與仿真結果表明，該永磁彈簧的徑向磁力隨著徑向位移的增加而增大,隨著軸向位移的增大而減小。在永磁彈簧平動平面內(nèi),兩個移動方向的剛度系數(shù)和垂直于平面中心的回轉剛度系數(shù)均相等。在徑向位移較小時，徑向位移與彈簧剛度系數(shù)近似成線性關系。

等剛度;永磁彈簧;徑向磁力;有限元法

0　引言

金屬彈簧在機械行業(yè)廣泛應用,但它存在產(chǎn)生振動和噪聲的缺點。利用永磁體間磁力相互作用的永磁彈簧，具有無機械接觸、無磨損、功耗低、壽命長、噪聲小等優(yōu)點，可以取代金屬彈簧用于快速機械響應機構，特別適合于真空、高速和超潔凈等特殊的應用場合[1-4]。

高海波等[5]將磁彈簧減------------------------

震器(沒有嚴格的密封要求)應用于行星輪式月球車的減震系統(tǒng),很好地適應了高度真空的月球表面環(huán)境,克服了現(xiàn)有以液體或氣體為工作介質(zhì)的減震器的工作局限性。

文獻[3-4]采用有限元法對稀土永磁彈簧的磁場分布進行了數(shù)值模擬分析,并就彈簧永磁體的結構參數(shù)對彈簧特性的影響作了詳細的研究,得出彈簧的力學特性與永磁體的形狀和尺寸的關系。文獻[6-7]分析了軸向混合磁軸承磁路以及各部分磁導，結合稀土永磁體的工作特性，用虛位移法得出了軸向混合磁軸承的徑向承載力解析數(shù)學模型。文獻[8-10]分析了雙磁環(huán)和多磁環(huán)磁軸承氣隙磁導及磁通，得出了磁環(huán)間徑向磁力解析數(shù)學模型。

本文在分析了環(huán)形永磁體和柱形永磁體及氣隙磁導的基礎上，提出了一種徑向為工作方向的三自由度等剛度磁彈簧。根據(jù)磁彈簧的結構，結合環(huán)形永磁體和柱形永磁體的工作特性，用虛位移法建立三自由度等剛度磁彈簧徑向磁力解析數(shù)學模型，計算徑向磁力，分析了徑向磁力與軸向位移和徑向位移的關系，計算彈簧剛度系數(shù)，分析剛度系數(shù)和軸向位移的關系，并通過有限元方法對解析計算結果進行驗證。

1　結構及工作原理

筆者設計了圖1a所示的三自由度等剛度磁彈簧裝置。該裝置由上頂蓋、下底蓋、3個環(huán)形永磁體、3個柱形永磁體和3個平面球軸承組成。1個環(huán)形永磁體和1個柱形永磁體為一組，同軸布置，且相同磁級相對。3組永磁體與3個平面球軸承相互間隔、均勻布置在以裝置軸線為中心的同心圓上。將平面球軸承去掉一側軸承端蓋，安裝于下底蓋，使軸承鋼球直接與上頂蓋接觸，支撐上下兩端蓋，形成永磁彈簧間軸向的均勻氣隙。該彈簧達到穩(wěn)定支撐和三自由度等剛度的最小組數(shù)為3。

如圖1b所示,每組永磁體的柱形永磁體和環(huán)形永磁體在豎直方向上表現(xiàn)為吸引力，在水平方向上表現(xiàn)為斥力(上頂蓋在軸向方向上不會發(fā)生竄動)。此種布置的永磁彈簧,在平動平面內(nèi),可以沿著x方向、y方向移動和繞c軸轉動。結構中,環(huán)形永磁體的內(nèi)半徑大于柱形永磁體半徑,柱形永磁體從與環(huán)形永磁體同軸位置沿平面內(nèi)任意方向向環(huán)形永磁體靠近時,在變化量相等的情況下,兩者之間沿平面內(nèi)任意方向上產(chǎn)生的斥力均相等。因此,在圖1a所示由3組永磁體組成的永磁彈簧結構中，沿彈簧的x方向、y方向移動和繞c軸轉動時,柱形永磁體和環(huán)形永磁體的相對氣隙變化量相等時受到的回復斥力相等,即沿x方向、y方向移動和繞c軸的回轉的剛度系數(shù)數(shù)值相等。該永磁彈簧的總回復力為n倍的單組永磁體斥力,總轉矩為n倍的單組永磁體回復斥力與單組永磁體中軸線和磁彈簧中軸線間距離之積。永磁彈簧的回復力隨著x方向、y方向和c向的位移量增大而增大。最大位移量為環(huán)形永磁體的內(nèi)半徑與柱形永磁體半徑的差。

(a)三維結構圖

(b)剖視結構圖圖1　三自由度等剛度磁彈簧結構

2　數(shù)學模型

為了對該永磁彈簧各方面的特性進行深入分析。首先建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型。由于該系統(tǒng)由3組結構完全相同的柱狀永磁體和環(huán)形永磁體構成。故先建立一組永磁體的模型,如圖2所示。

圖2　一組永磁體的結構參數(shù)

2.1磁導計算

參照半徑為r、極間距為z的異性圓柱磁極之間的磁導公式：

G=μ0(πr2/z+1.632r)

(1)

當柱形永磁體和環(huán)形永磁體徑向位移為e,軸向距離為z時,中軸線右側磁力線長度gR和中軸線左側磁力線長度gL可以表示為

(2)

(3)

式中,R2、R1、L1分別為環(huán)形永磁體的外徑、內(nèi)徑和厚度;r、L2分別為柱形永磁體的半徑和厚度。

環(huán)形磁極氣隙磁導Gg1和柱形磁極氣隙磁導Gg2為

(4)

Gg2=μ0(πr2/g+1.632r)

(5)

可得環(huán)形磁極與柱形磁極氣隙磁導Gg：

Gg=αGg1+βGg2

(6)

根據(jù)磁導定義式G=μS/L,得到環(huán)形永磁體和柱形永磁體的磁導:

(7)

G2=πμrr2/L2

(8)

式中,μr為釹鐵硼永磁材料磁導率。

根據(jù)折算到磁極兩端的圓柱形永磁鐵漏磁導公式可認為,環(huán)形永磁鐵的漏磁導等于半徑為R2的圓柱形永磁體漏磁導與半徑為R1圓柱形永磁體漏磁導的和，永磁柱漏磁導等于半徑為r的圓柱磁體漏磁導，故有

(9)

GL2≈πμrr2/L2

(10)

半徑為r,間距為z,厚度為L的兩圓柱體側面磁導公式為

Gc=2μ0Lr/(1+g)

式中,g為磁力線長度。

因此環(huán)形永磁體內(nèi)外兩個側面磁導Gc1和Gc2為

(11)

(12)

(13)

式中,Ga為磁路總磁導。

將式(6)～式(12)代入式(13)可得：

(14)

將式(2)、式(3)代入式(14)得到中軸線右側總磁導GaR和中軸線左側總磁導GaL。

根據(jù)式(2)、式(3)和式(6)得到氣隙導磁的徑向偏導：

(15)

2.2磁環(huán)和磁柱間的磁通

對于永磁體和氣隙組成的磁路,根據(jù)磁路基爾霍夫第一定律和第二定律有

(16)

式中,Bm、Hm分別為永磁體工作點的磁通密度和磁場強度;Bg、Hg分別為氣隙處的磁通密度和磁場強度;Sg、Sm分別為氣隙處和永磁體中磁路的橫截面積;Lg、Lm分別為氣隙處磁路長度和永磁體在磁化方向的有效長度;Kf、Kr分別為磁路的漏磁系數(shù)和磁阻系數(shù)。

永磁材料為燒結釹鐵硼,其中保磁力Hc,剩磁Br為已知參數(shù),其退磁曲線近似直線(圖3):

Bm=Br(1-Hm/Hc)

(17)

圖3　NdFeB永磁體退磁曲線和磁路氣隙負載曲線

由式(16)、式(17)得到

(18)

(19)

(20)

由式(19)可得磁彈簧中軸線右側總磁通ΦgR和中軸線左側總磁通ΦgL:

(21)

2.3徑向磁力數(shù)學模型

依據(jù)磁場理論,磁鐵氣隙磁能W=Φ2/(2G)。由虛位移法得到徑向磁力：

(22)

F=FR-FL

(23)

由上式可知,若z和e一定,則F一定。在平動平面內(nèi)，沿任意方向移動的位移和沿垂直于平面中心回轉的位移相等時，受到的總斥力是相等的，即等剛度。

3　力學特性分析

永磁體材料為NdFeBN35H,環(huán)形永磁體外徑R2=20.5mm，內(nèi)徑R1=14.5mm,柱形永磁體半徑r=9mm,環(huán)形永磁鐵長度L1=4mm,柱形永磁鐵長度L2=14mm,永磁體保磁力Hc=-880 000A/m,空氣磁導率μ0=4π×10-7H/m,軸向位移0

3.1工作區(qū)域判定

為了判定本永磁彈簧的工作區(qū)域，利用電磁場有限元仿真軟件，對該永磁彈簧一組永磁體進行了仿真分析。

環(huán)形永磁體和柱形永磁體徑向、軸向的相對位置不同時,徑向磁力變化如圖4所示，圖中，軸向位移為0的位置是柱形永磁體下底面與環(huán)形永磁體上頂面重合的位置。由仿真結果可知，隨著柱形永磁體和環(huán)形永磁體的軸向位置從負變到正并逐漸增加，徑向磁力也由負變到正，達到峰值后，緩慢下降。磁彈簧工作磁力應為徑向磁力為正值的情況,在考慮磁彈簧過載時，柱形永磁體和環(huán)形永磁體不發(fā)生碰撞,磁彈簧工作區(qū)域選為軸向位移z大于0的位置。

圖4　徑向磁力與軸向位移關系曲線

3.2徑向磁力與徑向和軸向位移關系的計算分析

由式(23)可知,徑向磁力是徑向位移e和軸向位移z的復雜函數(shù),不能直觀看出其力學特性,將永磁彈的參數(shù)代入數(shù)學模型，計算分析其力學特性。當軸向位移z從0.5 mm變化到5.5 mm,徑向位移從0變化到5 mm時,徑向磁力F的計算結果如圖5所示。由圖5可知，徑向磁力F隨著軸向位移z增大而減小。這是由于氣隙隨軸向位移z增大而增大，磁場強度隨之減小。由曲線斜率可知,徑向剛度隨軸向位移z增大而減小,徑向磁力隨著徑向位移e的增大而增大。

圖5　徑向磁力與軸向、徑向位移的關系

3.3力學特性的有限元驗證

對比分析永磁彈簧一組永磁體的徑向磁力和徑向位移關系的有限元仿真結果和理論計算結果。仿真與理論計算中采用的永磁體為釹鐵硼N35H,軸向間距z為0.5 mm。由圖6可知,徑向磁力F隨永磁體徑向位移的增加而增大。徑向位移較小時,徑向磁力與徑向位移近似成線性關系,且彈簧剛度約為0.99 N/mm。從圖6還可看出,理論計算與仿真結果之間存在誤差，其原因在于數(shù)學模型沒有考慮其他部分磁阻對磁路影響。徑向磁力的理論計算與仿真分析結果的平均誤差在0.201 N以內(nèi)，最大誤差為0.399 N。

圖7表示徑向位移e為2 mm時,徑向磁力F

圖6　徑向磁力與徑向位移關系

圖7　徑向磁力與軸向位移關系

隨著環(huán)形永磁體和柱形永磁體間軸向距離z變化情況。從結果可以看出,永磁體間軸向間距逐漸增大時，徑向磁力F逐漸減小,其剛度系數(shù)隨之減小。

4　結語

本文提出了一種三自由度等剛度永磁彈簧。磁彈簧的等剛度條件是每組永磁體的環(huán)形永磁鐵和柱形永磁鐵同軸,相同磁級相對布置且軸向存在一定氣隙；三組永磁體沿磁彈簧中心對稱分布。永磁彈簧在平面內(nèi)的工作區(qū)域是磁彈簧形變量不超過環(huán)形磁鐵與柱形磁鐵的半徑差的區(qū)域。對永磁彈簧徑向斥力進行了理論計算，并利用有限元軟件進行了分析計算。計算結果表明：在平動平面內(nèi)，徑向位移一定的情況下，此磁彈簧在3個自由度上的剛度相等。徑向磁力隨著徑向位移的增大而減小，在徑向位移較小時，徑向磁力與徑向位移近似成線性關系。徑向磁力和剛度系數(shù)隨軸向位移的增大而減小。

[1]Xi Qian Kun,Zeng Pei,Min Ru Wei,et al.Novel Magnetic Spring and Magnetic Bearing[J].IEEE Transactions on Magnetics,2003,39(1):559-561.

[2]Robertson W,Cazzolato B,Zander A.A Multipole Array Magnetic Spring[J].IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(10):3826-3828.

[3]楊紅,趙韓.稀土永磁彈簧的力學特性研究[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2003,34(1):111-117.

Yang Hong,Zhao Han.Study on Dynamic Characters of Rare Earth Permanent Magnetic Spring[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2003,34(1):111-117.

[4]劉雪箐,白志紅,熊光煜.永磁彈簧的設計與計算分析[J].太原工業(yè)大學學報,2004,35(3):349-351.

Liu Xuejing,Bai Zhihong,Xiong Guangyu.Calculation of Permanent Magnets Spring[J].Journal of Taiyuan University of Technology,2004,35(3):349-351.

[5]高海波,鄧宗全,胡明,等.行星輪式月球車移動系統(tǒng)的關鍵技術[J].機械工程學報,2005,41(12):156-161.

Gao Haibo,Deng Zongquan,Hu Ming,et al.Key Technology of Moving System of Lunar Rover with Planetary Wheel[J].Chinese Journal of Mechanical

Engineering,2005,41(12):156-161.

[6]張云鵬,劉淑琴,李紅偉,等.基于磁路分析的軸向混合磁軸承徑向承載力解析計算[J].電工技術學報,2012,27(5):137-142.

Zhang Yunpeng,Liu Shuqin,Li Hongwei,et al.Calculation of Radial Electromagnetic Force of Axial Hybrid Magnetic Bearing Based on Magnetic Circuit Analysis[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2012,27(5):137-142.

[7]孫立軍,張濤,趙兵.永磁磁軸承數(shù)學模型的研究[J].機械工程學報,2005,41(4):69-74.

Sun Lijun,Zhang Tao,Zhao Bing.Study of Mathematical Model of Permanent Magnet Bearings[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2004,41(4):69-74.

[8]湯雙清,蔡敢為,楊家軍,等.一種新型被動磁懸浮軸承的研究[J].中國機械工程,2002,13(4):2134-2136.

Tang Shuangqing,Cai Ganwei,Yang Jiajun,et al. Study on a New-type Passive Magnetic Bearing[J].China Mechanical Engineering,2002,13(4):2134-2136.

[9]田錄林，李言，安源，等. 軸向放置軸向磁化的雙環(huán)永磁軸承徑向磁力研究[J]. 中國機械工程,2007,18(24)： 2926-2929.

Tian Lulin,Li Yan,An Yuan,et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Bi-annular-shaped PMB[J].China Mechanical Engineering,2007,18(24):2926-2929.

[10]田錄林，李言，田琦，等. 軸向放置的軸向磁化多環(huán)永磁軸承徑向磁力研究[J]. 中國機械工程,2008,19(10):1163-1166.

Tian Lulin,Li Yan,Tian Qi,et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Multiannul-shaped Permanent Magnetic Bearings[J].China Mechanical Engineering,2008,19(10):1163-1166.

(編輯張洋)

Study on Mechanics Characteristics of 3-DOF Same-stiffness Permanent Magnetic Spring

Sun FengZhang MingSun XingweiJin JunjieLi QingLi DianqiWang Ke

Shenyang University of Technology,Shenyang,110870

This paper presented a 3-DOF same stiffness permanent magnetic spring.According to the structure,the mathematical model of permanent magnetic spring was set by virtual displacement method.The model of the spring’s radial magnetic force was calculated by the mathematical model and FEM software,the calculated results are basically in agreement with the simulation results.The results show that the radial magnetic force of the permanent magnet spring increases with increasing the radial displacement,decreases with increasing the axial displacement. In translational plane,the stiffness coefficients of two moving directions and the rotational direction are equal. When the radial displacement is small, the relationship between the radial displacement and spring stiffness coefficient is approximately linear.

same-stiffness;permanent magnetic spring;radial magnetic force;finite-element method(FEM)

TH135DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.003

2014-05-07

國家自然科學基金資助項目(51105257);遼寧省高等學校杰出青年學者成長計劃資助項目(LQJ2014012)

孫鳳,男,1978年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為磁懸浮技術與數(shù)控技術。發(fā)表論文50余篇。張明,男,1988年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院碩士研究生。孫興偉,女,1970年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院教授、博士。金俊杰,女,1982年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院博士研究生。李清,男,1990年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院碩士研究生。李殿起,男,1968年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院副教授、博士。王可,男,1957年生。沈陽工業(yè)大學機械工程學院教授、博士研究生導師。