借助幾何直觀 深化學生認知

李加樹

幾何直觀是指依托、利用圖形進行數學的思考和想象，是一種通過圖形所展開的想象能力。學會用圖形思考、想象問題是研究數學、學習數學的基本能力。教學中，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預測結果，有助于學生更好地感知數學、領悟數學，深化認知結構。

一、借助幾何直觀，理解數學本質

幾何直觀能利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地反映分析問題的思路，是理解數學本質的有效渠道。教學中，如果能將一些概念、定理與幾何直觀圖形相結合，把抽象的概念情境化、具體化、簡單化，再抽象出數學概念的內涵和外延，就能使學生更深入、透徹地理解概念，體驗數學創(chuàng)造性工作歷程，開發(fā)創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質。如，教學“求一個數的近似數”時，教材先讓學生討論男性和女性人數各接近四十幾萬，聯系已有經驗說一說并寫出近似數。再向學生說明用“四舍五入”取近似數的方法。學生對“四舍五入”取近似數的方法不能正確理解。為了突破這個教學難點，教師設計了如下兩個教學片段：

片段一：求兩位數的近似數，了解“四舍五入”。

1.怎樣求一個數的近似數呢？本學期學了除法出示：192÷39，你會把除數想成多少來試商？192÷32呢？

2.39和32都是30多，為什么一個數約等于30，而另一個數約等于40呢？

3.出示數軸，在30到40之間，還有哪些數約等于40呢？還有哪些數約等于30呢？

4.35約等于多少呢？數軸上35～36之間有很多與35相關的小數，例如35.1、35.2等，這些數離30近些，還是離40近些呢？

5.這種求近似數的方法叫做“四舍五入”法。

6.如果數軸繼續(xù)向兩端延伸，還有哪些數也約等于40呢？還有哪些數約等于30呢？

片段二：求多位數的近似數。

1.某小學校園占地面積大約4萬平方米。該小學校園占地面積可能是多少平方米？

2.學生獨立思考，同桌互相交流想法。

3.集體交流。出示數軸：

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休?！薄皵怠睖蚀_而抽象，“形”形象而直觀。近似數的概念是比較抽象的，學生理解起來有一定難度。片段中教師在引導學生理解“35為什么約等于40”這一難點時，借助了“數軸”這一半直觀半抽象的工具，將抽象的數學語言與直觀的“數軸”聯系起來，在數軸上形象直觀地進行解釋，幫助學生直觀理解近似數的含義和“四舍五入”法的本質。從而，化“數”為“形”，抓住了數與形之間的聯系，以“形”直觀地表達數，實現了抽象概念和具體形象、表象之間的轉化，便于學生形象地理解數學本質，達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。

二、借助幾何直觀，培養(yǎng)空間觀念

數學新課程標準中“空間觀念”是指“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言描述、畫出圖形等?！睆亩浑y看出數學新課程標準側重于刻畫學習者對空間的感知和把握程度，其培養(yǎng)貫穿在圖形與幾何學習的全過程中，無論是圖形的認識、圖形的運動、圖形與坐標等都承載著發(fā)展學生空間觀念的任務。重視圖形與幾何教學，有利于培養(yǎng)學生的空間觀念，發(fā)展學生的空間想象力。教學中，教師應幫助學生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力。幫助學生逐步形成初步的幾何直觀，感受幾何直觀的作用。

如，教學“圓柱的認識”時，教師既可以通過課件演示，引導學生感知圓柱體展開后的形狀，也可以借助操作演示（剪一剪、包一包、畫一畫）幫助學生構建空間觀念，使空間觀念的培養(yǎng)落到實處、細處。首先將罐頭盒的商標紙沿接縫剪開，再展開。（如圖1），使學生認識到商標紙展開后的形狀是長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。再把這個長方形重新包在圓柱上（如圖2），請學生指出圓柱體的底面周長和高。從把圓柱側面展開到再次包在圓柱上，可以幫助學生找到長方形的長和寬與圓柱底面周長和高的對應關系，為后續(xù)學習長方體的側面積、表面積打下堅實的基礎。

圖1

圖2

接著，再讓學生在方格紙上畫出圓柱體展開圖，由實物直觀抽象成圖形直觀，這個過程留給學生更多的空間去想象和思考，為學生提供了自主發(fā)現圓柱表面積計算方法的機會，而且有利于發(fā)展學生的操作能力、空間觀念和空間想象力。

因此，在學習幾何直觀時，就要采用學生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，強有力地促進心理活動的內化，從而使學生掌握圖形特征，形成空間觀念。

三、借助幾何直觀，滲透數學思想

數學思想作為數學精神的內核，源于知識和方法，但又高于知識和方法，是指導學生在未來的學習、工作的行動指南。重視數學思想教學，可以為學生架設通往數學巔峰的云梯。小學數學教材中蘊涵了大量的數學思想，教師應該引領學生充分感悟數學思想的力量，領略數學的魅力。

如，教學“圓的面積”計算公式推導時，教材是引導學生把圓平均分成16份，拼成一個近似的平行四邊形，初步感受轉化的思想。再啟發(fā)學生想象：如果把圓平均分成32份、64份……還是用上面類似的方法去拼，拼成的圖形會發(fā)生怎樣的變化？結合32等份拼圖以及省略號、虛線長方形等，使學生合乎情理地聯想到：平均分的份數越多，拼成的圖形就越來越接近長方形。為了讓學生更直觀地看出圓面積公式的推導過程，體會“圓——近似平行四邊形——長方形”漸變過程。教學時，教師可以設計如下的教學過程：

1.動手操作。

（1）初步感知：教師演示將圓形紙片平均分成8份，拼成一個近似平行四邊形。

提問：拼成的圖形像什么圖形？

追問：為什么說它像一個平行四邊形？

（2）操作體驗：學生用預先已經平均分成16份的圓，仿照教師的拼法拼一拼。

（3）觀察比較：兩次拼成的圖形，有什么變化？

2.展開聯想。

（1）初步想象：如果把圓平均分成32份、還是用與上面類似的方法去拼，拼成的圖形與前面的圖形相比將會有怎樣的變化？

課件演示，驗證學生想象。

（2）進一步想象：如果把圓平均分成64份、128份……還是用上面類似的方法拼一拼，隨著份數的增加，拼成的圖形會越來越接近一個什么圖形？

（3）課件演示。

3.抽象概括。

（1）拼成的長方形與原來的圓有什么聯系？

追問：如果圓的半徑是r，長方形的長和寬各應怎樣表示？

（2）根據長方形面積的計算方法，你認為怎樣計算圓的面積？

……

這樣設計，借助幾何直觀，采取先操作、想象、驗證、再次想象、再次驗證的思路，有機滲透了極限思想，有利于學生突破認識上的局限，感受把圓轉化成長方形的合理性。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想、轉化思想等更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數學之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的相互轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

四、借助幾何直觀，發(fā)展邏輯推理能力

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。幾何直觀與邏輯推理是密不可分的，幾何直觀往往靠邏輯支撐，它不僅是看到了什么，還是通過看到的圖形思考到了什么、想象到了什么。幾何直觀可以從圖中感知性質、寫出關系。重視幾何直觀教學，不僅可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，也能發(fā)展學生的幾何直觀能力。

如，教學“找次品”時，隨著待測物品數量的增多，用試驗的方法不但煩瑣，而且不容易理清解題的思路，教師可引導學生采用圖示、列表的方法來表示找次品的過程。

1.把棋子當成零件，假設其中有一個重一點?，F在，不用天平，想象用天平稱的方式，將次品找出來。也可以用數字卡片擺一擺，或用文字和畫線的方式找出次品。（課件出示）

（1）9個零件怎么分？怎么稱？稱幾次？

（2）至少稱幾次，就能保證稱出次品？

（3）將大家擺或畫的情況填入下圖。

2.小組合作學習，探究找次品的最優(yōu)方法。

3.反饋交流各種情況，教師填寫下圖。

4.尋找最優(yōu)方法。

觀察上面的表格，你發(fā)現了什么？

（1）“分成的份數”、分的方法與找出次品所要稱的次數之間有什么關系？

（2）怎樣分找出次品需要稱的次數最少？

5.應用最優(yōu)方法解決問題。

探究找次品最優(yōu)方法是本節(jié)課的重點也是難點。在探究的過程中，不再讓學生用天平稱，而是讓他們應用畫圖、列表解決問題，進行推理思考，從直觀到抽象，經歷“實踐操作——抽象推理——得出策略”，發(fā)現“將待測物品平均分成3份是找次品的最優(yōu)方法”，經歷由多樣化過渡到優(yōu)化的思維過程。這樣的學習活動不僅發(fā)展了學生探究能力，而且情感態(tài)度與價值觀也得到了進一步的提升。

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學的內容緊密相連。教學中，教師要善于借助豐富的學習素材，引導學生通過畫、擺、圈、涂等形式，將抽象難懂的概念、定理直觀地展示在學生面前，充分表達它們的具體含義，將思考對象“圖形化”，用圖形來表達自己的數學理解;教師要“有意識地提高幾何直觀的層次和水平，使學生的思維逐步過渡到以圖形直觀、符號直觀為主的層次”，逐漸使幾何直觀內化為數學學習的一種思考方式和學習方式，進一步提高幾何直觀的意識和能力。激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，培養(yǎng)學生的數學直覺和數學思維，進而提高學生的數學素養(yǎng)。

◇責任編輯：徐新亮◇