雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的概率逼近

岳田，雷國梁

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的概率逼近

岳田，雷國梁

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

利用雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)與雙連續(xù)n次積分C半群之間的關(guān)系，借助于雙連續(xù)n次積分C半群的Taylor公式，得到了雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的Taylor展式，然后借助于概率論的方法及算子值數(shù)學(xué)期望等工具，給出了雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)概率型逼近表達(dá)式。

雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)；Taylor展開式；率型逼近

隨著算子半群相關(guān)理論的發(fā)展，余弦算子函數(shù)的研究也一直為人們所關(guān)注，產(chǎn)生了許多重要的研究結(jié)果［1-8］。如文獻(xiàn)［1］中引入了指數(shù)有界的C余弦算子函數(shù)的生成元，討論了其相關(guān)性質(zhì)，并建立了相應(yīng)的生成、逼近及擾動定理；文獻(xiàn)［2］利用生成元的預(yù)解式來刻畫了m次積分余弦函數(shù)的逼近性質(zhì)；文獻(xiàn)［3］利用指數(shù)有界C余弦算子函數(shù)的性質(zhì)并借助概率相關(guān)理論，給出了指數(shù)有界C余弦算子函數(shù)的概率逼近公式及Vonorovskaya型漸近公式；文獻(xiàn)［4］中作者引入一致雙連續(xù)半群的概念，借助Laplace變換和Trotter-Kato定理，得到了雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的逼近定理；文獻(xiàn)［6-7］分別利用與C余弦函數(shù)及α次積分C余弦函數(shù)相關(guān)的抽象Cauchy問題對其生成元的性質(zhì)進(jìn)行了細(xì)致的討論。文獻(xiàn)［9］在Banach空間上附加了一個比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)洌沟冒肴涸谠摼植客雇負(fù)湎聫?qiáng)連續(xù)，由此提出了雙連續(xù)半群概念，為半群理論開辟了新的研究領(lǐng)域。文獻(xiàn)［10］中分析了局部凸拓?fù)湎碌腞iemann-Stieltjes積分，給出了雙連續(xù)半群的逼近定理及其應(yīng)用。借助概率論這一重要工具，將半群理論與逼近理論相結(jié)合，來解決算子半群的逼近問題，并在很大程度上為其提供了收斂速度的精確估計式。如文獻(xiàn)［11-12］給出了雙連續(xù)C半群概率逼近的Chernoff乘積公式、指數(shù)公式、Vo?norovskaya型漸近公式等若干漸近公式。

文中以雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)與雙連續(xù)n次積分C半群之間關(guān)系為基礎(chǔ)，借助于雙連續(xù)n次積分C半群的Taylor公式，給出了雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的Taylor公式，從而得到了雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的概率型逼近式。

1　相關(guān)定義及引理

對雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)所在的空間作如下約定：設(shè)（X，‖?‖）是Banach空間，其共軛空間為X′，τ是X上的一個局部凸拓?fù)洳⒕哂腥缦滦再|(zhì)：

1）空間（X，τ）在‖?‖-有界集上序列完備；

2）拓?fù)?τ比拓?fù)洹?‖-粗且 τ是Hausdorff拓?fù)洌?/p>

3）空間（X，‖?‖）中的范數(shù)可由空間（X，τ）′定義，即對每個x∈X，有

為方便起見，記

文中所有算子均為線性算子，D（A）為算子的定義域，L（X）為X到自身的有界線性算子全體，算子C∈L（X）為單射，NBV［0，T］是定義在［0，T］上的普通函數(shù)，NBVloc:=?T＞0NBV［0，T］，所有積分均是在τ-拓?fù)湟饬x下的Riemann-Stieltjes積分。

定義1［10］X是局部凸拓?fù)洇拥腂anach空間，α∈NBV［0，R］，函數(shù) f:［0，R］?X是Rie?mann-Stieltjes可積的，如果

是（X，‖?‖）上的有界線性算子。進(jìn)一步地，若B:（X，τ）?（X，τ）是線性τ-連續(xù)的，則

定義2［9］稱算子T∈L（）X雙連續(xù)，如果對每個‖?‖-有界序列（xn）n∈N?X，且

定義4［4］稱C（t）t≥0?B（X）為指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)（記Gnτ（M，ω，C）），如果滿足：

1）?C（0）=0，且

2）C（t）C=CC（t）；

3）C（t）x=0，蘊含著x=0，?t≥0，x∈X；

4）C（t）t≥0強(qiáng)τ-連續(xù)；

5）C（t）t≥0局部等度雙連續(xù)；

6）C（t）t≥0指數(shù)有界，即 ?M，ω≥0，使得‖C（t）‖≤Meωt，?t≥0；

由上述定義及引理給出定義：

是（X，‖?‖）上的有界線性算子。進(jìn)一步地，若B:（X，τ）?（X，τ）是線性τ-連續(xù)的，則

由定義，E［C（t）］顯然滿足:

引理4［13］設(shè)B是雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)C（t）的無窮小生成元，B=A2。若x∈D（Ar），r≥1，則有

2　雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的概率逼近

定理1設(shè)B是雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)C（t）的無窮小生成元，B=A2，U是非負(fù)實值隨機(jī)

證明當(dāng)x∈D（B ）時，在定理1中令r=1，t=U，s=ξ，兩邊取期望并利用H¨lder不等式，則有

［1］鄭權(quán)，雷巖松.指數(shù)有界的C余弦算子函數(shù)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1996，16（3）：242-252.

［2］曹德俠，宋曉秋，張祥芝.m次積分余弦算子函數(shù)的逼近［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2007，37（9）：164-167.

［3］趙月英，宋曉秋.指數(shù)有界C余弦算子函數(shù)的概率型表示［J］.山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2010，45（4）：77-81.

［4］李慧敏，宋曉秋，趙月英，等.雙連續(xù)n次積分C余弦函數(shù)的逼近定理［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2010，12（3）：249-253.

［5］李慧敏，宋曉秋，趙月英，等.雙連續(xù)α次積分C余弦函數(shù)的生成定理［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，39（3）：465-470.

［6］Kuo C C，Shaw S Y.C-Cosine functions and the Abstract Cauchy Problem，Ⅰ［J］.J.Math.Anal.Appl.，1997，210: 632-646.

［7］Kuo C C.Onα-times Integrated C-cosine Functions and Abstract Cauchy ProblemⅠ［J］.J.Math.Anal.Ap?pl.，2006，313:142-162.

［8］WANG M，XU F.α-times Integrated Cosine Operator Functions with Growthω［J］.Chin.Quart.J.Math.，2011，26（2）:229-233.

［9］KUHNEMUND F.A Hille-Yosida Theorem for Bi-contin?uous Semigroups［J］.Semigroup forum，2003，67（2）:205-225.

［10］JARA P.Rational Approximation Schemes for Bi-contin?uous Semigroups［J］.J.Math.Anal.Appl.，2008，344：956-968.

［11］趙月英，宋曉秋，李慧敏，等.雙連續(xù)C半群的概率逼近［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，39（6）：941-946.

［12］岳田，宋曉秋.雙連續(xù)C半群概率表示的漸近公式［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，42（5）：893-898.

［13］周瑋，宋曉秋，李曉敏.n次積分C余弦函數(shù)的概率型逼近問題［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，26（4）：31-34.

Probabilistic Approximations for Bi-continuous n-times Integrated C-cosine Functions

Yue Tian，Lei Guoliang
（School of Sciences，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

Based on the relationship of bi-continuous n-times integrated C-consine function and bicontinuous n-times integrated C-semigroups，and with the Taylor formula of Bi-continuous n-times in?tegrated C-semigroups，the Taylor formula was presented for Bi-continuous n-times integrated C-con?sine functions.By means of the probability theory and operator-valued mathtmatical expectation，the probabilistic approximation for Bi-continuous n-times integrated C-consine function was given.

bi-continuous n-times integrated C-cosine functions；Taylor expansion formula；probabi?listic approximation

O177.2

A

1008-5483（2015）04-0062-04

10.3969/j.issn.1008-5483.2015.04.015

2015-05-15

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（2012LWB53）

岳田（1988-），男，四川南江人，碩士，主要從事應(yīng)用泛函分析方面的研究。E-mail：ytcumt@163.com