函數(shù)周期性、奇偶性、對稱性間的聯(lián)系

肖重明

摘 要：函數(shù)周期性、奇偶性、對稱性間有深刻的聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系從整體上研究函數(shù)，能起到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：周期性;奇偶性;對稱性;深刻聯(lián)系

函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)的靈魂，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考數(shù)學(xué)試題中占有重要的地位.而函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性是它非常重要的性質(zhì)，既是教學(xué)重點，又是難點，在解題中有著廣泛的運(yùn)用。高考常將函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性相結(jié)合命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題.但是學(xué)生對這些性質(zhì)理解得不透徹，運(yùn)用不靈活.下面對它們的聯(lián)系做一些總結(jié).

一、函數(shù)周期性、奇偶性、對稱性定義及簡單性質(zhì)

奇函數(shù)：如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），那么，函數(shù)f（x）就是奇函數(shù).

偶函數(shù)：如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個數(shù)x，都有f（-x）=f（x），那么，函數(shù)f（x）就是偶函數(shù).

軸對稱：如果函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=f（a-x），則f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱.

性質(zhì)1.設(shè)a，b是任意常數(shù)，則函數(shù)f（a+x）=f（b-x）的充要條件是f（x）的圖像對稱.

二、奇偶性、對稱性、周期性三者之間的聯(lián)系

1.對稱性+奇偶性周期性

性質(zhì)2.如果f（x）是奇函數(shù)，且圖像關(guān)于x=a對稱，則得f（x）是以T=2a為周期的周期函數(shù).

推論：一般的，若定義在R上的函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱，則f（x）是以（ ）為周期的周期函數(shù).

2.對稱性+周期性對稱性，奇偶性

性質(zhì)3.設(shè)f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱，且T=b的周期函數(shù)，則f（x）的圖像關(guān)于x=a+b對稱.

推論：設(shè)，且，則是偶函數(shù).

3.周期性+奇偶性對稱性

性質(zhì)4.如果是偶函數(shù)，且（a>0），則得的圖像關(guān)于x=a對稱.

性質(zhì)5.如果是R上的奇函數(shù)，則得的圖像關(guān)于x=a對稱。

例1.函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足：f（x）是偶函數(shù)，f（x-1）是奇函數(shù)，若f（0.5）=9，則f（8.5）=（ ）

A.-9 B.9 ?C.-3 D.0

解析：選B.因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函數(shù)，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9.

例2.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線x=1對稱.求證：f（x）是周期為4的周期函數(shù).

證明：由函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）.

又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

故有f（-x）=-f（x）.

故f（x+2）=-f（x）.

從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期為4的周期函數(shù).

評析：例1由函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期性，例2由函數(shù)的奇偶性與對稱性得函數(shù)的周期性.

從上面的分析可以看出，函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性之間存在著聯(lián)系，在解題中，若能從整體上把握并靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，那么抽象函數(shù)的高考試題就能迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

[1]王江.淺談函數(shù)性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（4）.

[2]雷玲.中學(xué)數(shù)學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)[M].華東師范大學(xué)出版社，2008-03.

·編輯 謝尾合