王博蓉 文丹
摘 要:縱觀近幾年高考試卷,不難發(fā)現(xiàn),概率與其他知識點交匯是概率題考查的一大趨勢。本文將以2015年高考試題中的選題,探究概率以平面幾何、立體幾何、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)四個方面為載體的綜合應(yīng)用,采用數(shù)形結(jié)合單的思想方法,旨在培養(yǎng)學(xué)生重視學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和綜合性,構(gòu)建立體的知識網(wǎng)絡(luò),促進學(xué)科內(nèi)在知識的遷移。
關(guān)鍵詞:概率;幾何概型;線形規(guī)劃;復(fù)數(shù);數(shù)形結(jié)合
中圖分類號:G632 文獻標(biāo)志碼:A 文章編號:2095-9214(2015)12-0043-01
一、概率與平面幾何的交匯
例1:(2015年湖北卷理數(shù))如圖1,在圓心角為扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是( )。
A.1-2π B.12-1π C.2π D.1π
解題思路:不妨設(shè)扇形OAB半徑為2。如圖1,記兩塊白色區(qū)域的面積為S1,S2;兩塊陰影部分面積為S3,S4;則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π·22=π①
而S1+S3=S2+S3的和恰好為一個半徑為2的圓的面積,即S1+S3+S2+S3=π②
①-②得S3=S4。由圖可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDF=12π-1
所以S陰影=πa2-2a2。由幾何概型概率公式可得,此點取自陰影部分的概率
p=S陰影S扇形OAB=2(12π-1)π=1-2π。
二、概率與立體幾何的交匯
例2:(2015年湖南卷理數(shù))四面體的一個頂點A和各個棱的中點共10個點
(1)從其它頂點與各棱中點中取3個點,使它們和點A在同一平面上,不同取法有多少種?
(2)從中任取4個點,則這4個點恰好不共面的概率是多少?
解題思路:(1)(直接法)如圖2,含頂點A的四面體的3個面上,除點A外都有5個點,從中取出3點必與點A共面共有3C35中取法,例如從D、B、H、O、J中任取3個點必共面。含頂點A的三條棱上各有三個點,它們與所對棱的中點共面,共有3種取法,例如A、B、D、J必共面。根據(jù)分類計數(shù)原理,與頂點A共面三點的取法有3C35+3=33種。
(2)(間接法)如圖2,從10個頂點中取4個點的取法有C410中,減去4點共面的取法種數(shù)可以得到4個點恰好不共面的種數(shù)。從四面體同一個面上的6個點中取出4點必定共面,有4C46=60種,例如在平面ABO中,從A、B、O、D、I、H中任取4個點必共面。四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面,共有6種共面情況,例如A、D、B、J必共面。從六條棱的中點中取4個點有3種共面情況(對棱中點連線的兩兩相交且互相平分),例如D、J、H、E必共面。故4點不共面的取法有C310-(60+6+3)=141種。所以這4個點恰好不共面的概率是p=141C410=4770。
三、概率與線性規(guī)劃的交匯
例3:(2015湖北卷理數(shù))在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥12”的概率,p2為事件“x-y≤12”的概率,p3為事件“xy≤12”的概率,則( )。
A.p1 C.p3 解題思路:在直角坐標(biāo)系中,依次作出不等式組0≤x≤10≤y≤1,與x+y≥12,x-y≤12,xy≤12的可行域,如圖3,可知p1=S多邊形BACDES四邊形OCDE, p2=S多邊形BOAFDES四邊形OCDE, p3=S曲邊多變形GEOCFS四邊形OCDE, 因為S△ABO=S△BEG=S△DGF=S△ACF,所以p2 四、概率與復(fù)數(shù)的交匯 例4:(2015年陜西卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若z≤1,則y≥x的概率為( )。 A.34+12π B.12+1π C.12-1π D.14-12π 解題思路:據(jù)題意z≤1(x-1)2+y2≤1,對應(yīng)平面區(qū)域如圖4所示,是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓,作出不等式組(x-1)2 + y2≤1y≥x,所對應(yīng)的面積如圖4中陰影部分面積所示,以面積作為幾何度量可得p(A)=π×124-12×12π×12=14-12π,故選D。 總之,在高考數(shù)學(xué)試卷中越來越重視在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)問,這不僅考查各知識點本身內(nèi)容,而且加強知識之間的聯(lián)系,體現(xiàn)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性??梢哉f,今年高考概率題與線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)的交匯,是一種創(chuàng)新,它進一步拓展了概率與其它知識的聯(lián)系,優(yōu)化概率知識框架,有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng),是素質(zhì)教育落實到教學(xué)的良好體現(xiàn)。 (作者單位:西華師大)