一根多變 融會(huì)貫通

何勇波

課本題根 ?（高中A版選修1-1第99頁(yè)B組習(xí)題第（3）題）當(dāng)[x>-1]時(shí)，不等式[ex≥1+x]成立，當(dāng)[x=0]時(shí)，等號(hào)成立.

題根應(yīng)用 ?[ex≥1+x]①.

例1 ?已知函數(shù)[f（x）=（1+x）e-2x]，當(dāng)[x∈0，1]時(shí)，求證：[f（x）≥1-x].

證明 ?因?yàn)閇ex≥1+x]，所以[f（x）=（1+x）e-2x>（1+x）][（1-2x）=1-x-2x2≥1-x]. 即[f（x）≥1-x]成立.

例2 ?已知[f（x）=（1-x）ex-1].

（1）求證：當(dāng)[x>0]時(shí)，[f（x）<0];

（2）數(shù)列[xn]滿足[xnexn+1=exn-1]，[x1=1]，求證：數(shù)列[xn]遞減且[xn>12n].

證明 ?（1）略.

（2）由[xnexn+1=exn-1]得，[exn+1=exn-1xn].由①得，[exn+1=exn-1xn>xn+1-1xn=1]，所以[xn+1>0]，即[xn>0].由（1）知[f（xn）<0]，即[（1-xn）exn-1<0]，[exn-112n]的過(guò)程略）

例3 ?設(shè)函數(shù)[f（x）=ex-e-x].

（1）證明：[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)[f（x）≥2];

（2）若對(duì)所有[x≥0]都有[f（x）≥ax]，求[a]的范圍.

解析 ?（1）略.

（2）要使[f（x）≥ax]，即[ex-e-x≥ax]恒成立，根據(jù)①得，[ex-e-x≥1+x-11+x=x2+2x1+x]，只需[x2+2x1+x≥ax]，即[a≤x+21+x=1+11+x]. 令[g（x）=1+11+x]，易知，當(dāng)[x≥0]時(shí)，[f（x）]單調(diào)遞減，故[g（x）=1+11+x]的最大值是[g（0）=2]，[a]的范圍是[a≥2].

點(diǎn)撥 ?以上三個(gè)例子是題根不等式的直接應(yīng)用，其作用就是將證明以底數(shù)的指數(shù)式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問(wèn)題. 例1中，其標(biāo)準(zhǔn)答案的解法是：先移項(xiàng)，然后構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的單調(diào)性證明該不等式. 本題直接利用題根不等式和不等式的性質(zhì)通過(guò)適當(dāng)縮小就可以證明原題，過(guò)程簡(jiǎn)單明了. 例2中，其標(biāo)準(zhǔn)答案的解法是：利用數(shù)學(xué)歸納法，步驟呆板僵化，過(guò)程冗長(zhǎng)，利用課本題根解答則簡(jiǎn)潔明快，容易理解. 例3是恒成立問(wèn)題，解題的過(guò)程通常是移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題.

題根變式1 ?在題根中，令[t=1+x，]可得[t-1≥lnt，][t>0]②.

例4 ?設(shè)函數(shù)[f（x）=ln（1+x），][g（x）=xf（x），][x≥0，]其中[f（x）]是[f（x）]導(dǎo)函數(shù).已知[f（x）≥ag（x）]恒成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解析 ?要使[f（x）≥ag（x）]，即[ln（1+x）≥ax1+x]恒成立，分離參數(shù)得：[a≤（1+x）ln（1+x）x]恒成立. 根據(jù)②有[（1+x）ln（1+x）x≤（1+x）xx=1+x]. 只需使[a≤1+x]恒成立.當(dāng)[x≥0]時(shí)，[1+x]的最小值是1，因此，[a]的取值范圍是[a≤1].

例5 ?已知函數(shù)[f（x）=ex-ln（x+m）]， 當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f（x）>0.

證明 ?要使f（x）>0恒成立，即[ex-ln（x+m）][>0]，即[ex>ln（x+m）]（*）恒成立. 根據(jù)題根和②式有，[ex≥1+x，]當(dāng)[x=0]時(shí)，等號(hào)成立;而[ln（x+m）≤x+m-1，]當(dāng)[x+m=1]時(shí)，等號(hào)成立. 等號(hào)不能同時(shí)成立，因此[ex≠ln（x+m）]. 于是要使（*）恒成立，只需[1+x≥x+m-1]，即m≤2.

點(diǎn)撥 ?題根變式1的作用就是將含自然對(duì)數(shù)的函數(shù)放大為一次函數(shù)，再將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)的最小值問(wèn)題. 例4是恒成立問(wèn)題，使用題根不等式的變式1只需要先分離參數(shù)，再求出一次函數(shù)[y=1+x]當(dāng)[x≥0]時(shí)的最小值就可以了，避免了對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. 例5是2013年高考理科Ⅱ卷的壓軸題，按標(biāo)準(zhǔn)答案解題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論;而運(yùn)用題根及其變式1，把含指數(shù)和對(duì)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)一次函數(shù)的大小問(wèn)題，過(guò)程十分簡(jiǎn)潔，同時(shí)也避免了對(duì)參數(shù)的討論.

題根變式2 ?在題根中，令[x=1k]（[k≠0]），得到[1k>ln1+1k]，即[ln（k+1）-lnk<1k]③.還可以得到[kln1+1k<1]，即[1+1kk

例6 ?已知函數(shù)[f（x）=][2aln（1+x）-x][（a>0）]. 求證：[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）（n∈N*）].

分析 ?要證原不等式成立，只需證[4+12+13+…][+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]即證[4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+][ln（n+1）]，即證[4+12+13+…+1n][>ln（n+1）+1+1nn].在不等式③中分別令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）][-lnn<1n]，將以上各不等式的左右兩邊分別相加得，[1+12+13+…+1n>ln（n+1）]. 根據(jù)④可得，[3>e>1+1kk].

證明 ?在不等式③中分別令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）-lnn][<1n]，將以上各不等式的左右兩邊分別相加得，[1+12+13+…+][1n>ln（n+1）].

根據(jù)④可得，[3>e>][1+1kk].

[∴4+12+13+…+1n>ln（n+1）+1+1nn，]

[∴4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+ln（n+1），]

[∴4+12+13+…+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]

即不等式[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）]成立.

點(diǎn)撥 ?題根變式2是聯(lián)系指數(shù)式與自然對(duì)數(shù)式的橋梁. 本題的標(biāo)準(zhǔn)答案是利用數(shù)學(xué)歸納法證題，步驟呆板，過(guò)程復(fù)雜，難以理解;但利用題根變式2，短短幾行就可以說(shuō)明問(wèn)題.

題根變式3 ?由①得[1+xex≤1]，當(dāng)[x>0]時(shí)，有[0<1+xex<1]⑤.

例7 ?已知函數(shù)[f（x）=lnx+kex]（[k]為常數(shù)，[e=]2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[1，f（1）]處的切線與[x]軸平行. 設(shè)[g（x）=（x2+x）f（x）]，其中[f（x）]是[f（x）]的導(dǎo)函數(shù). 證明：對(duì)任意[x>0，][g（x）<1+e-2].

分析 ?由題意可得[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）]. 由⑤得，[g（x）<1-x-xlnx]，要證明原不等式成立，只需證明[1-x-xlnx<1+e-2].

證明 ?由題意可得，[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）].令[h（x）][=1-x-xlnx，]則[h（x）=-2-lnx.] 所以，當(dāng)[-2-lnx>0]時(shí)，即[00，h（x）]是增函數(shù);當(dāng)[x>e-2]時(shí)，[h（x）<0，h（x）]是減函數(shù). 因此，當(dāng)[x=e-2]時(shí)，[h（x）=1-x][-xlnx]有最大值[he-2=1-e-2-e-2lne-2=][1+e-2，]即[1-x][-xlnx≤1+e-2.] ?則[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）<][（x+1）e2（1+e-2）.]由⑤得，[（x+1）e2（1+e2）<1+e-2，]即[g（x）<1+e-2]成立.

點(diǎn)撥 ?本題直接利用題根變式3就可以證明[g（x）<1+e-2]. 避免構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證題，簡(jiǎn)化了證題過(guò)程.