平面幾何在解析幾何中應(yīng)用舉例

許四軍

【摘 要】本文結(jié)合幾道關(guān)于解析幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題為例，嘗試從平面幾何的角度去研究解決解析幾何問(wèn)題，旨在簡(jiǎn)化某些解析幾何問(wèn)題的解答過(guò)程，豐富解析幾何問(wèn)題的求解思路。

【關(guān)鍵詞】平面幾何;解析幾何;應(yīng)用

有人說(shuō)，初中數(shù)學(xué)最難的是平面幾何，高中數(shù)學(xué)最難的是排列組合。雖然有一點(diǎn)片面，但是仔細(xì)想想會(huì)覺(jué)得不無(wú)道理。還有人認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)里的平面幾何那么難，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較痛苦，但在高中平面幾何幾乎沒(méi)什么用。表面上看，高中數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上確實(shí)沒(méi)有對(duì)初中的平面幾何作進(jìn)一步的延伸，但事實(shí)上，學(xué)好平面幾何對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力，圖形圖像的分析能力等有重大的幫助，而這種能力是學(xué)好后續(xù)課程的必要條件。

高中數(shù)學(xué)關(guān)于幾何的內(nèi)容主要是立體幾何和解析幾何兩個(gè)板塊，對(duì)于同屬于幾何范疇的內(nèi)容，平面幾何的思想方法在高中立體幾何與解析幾何中都扮演著重要作用。尤其是在后者中，有些解析幾何問(wèn)題要么思維上遲遲打不開(kāi)局面，要么運(yùn)算量非常龐大且復(fù)雜，這時(shí)如果跳出來(lái)原有思維從平面幾何的角度考慮，往往會(huì)給人一種柳暗花明的感覺(jué)。下面將結(jié)合實(shí)例來(lái)分析平面幾何在解析幾何的應(yīng)用，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

例1：過(guò)橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則此橢圓的離心率e=_________。

分析：由|FA|=2|FB|可聯(lián)想到，對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而考慮構(gòu)造兩三角形相似，利用平面幾何求解。

解：過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作左準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，設(shè)直線l交左準(zhǔn)線于點(diǎn)E，則由平面幾何知識(shí)易得，△EBD～△EAC，所以，。令BF=x，根據(jù)橢圓第二定義有，BD=，AC=則BD為△EAC中位線，故EA=6x。又直線l傾斜角為60°，由直角三角形中三角函數(shù)知，

例2：設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C+=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線x=于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4），求橢圓C的方程。

分析：本題若利用向量或斜率知識(shí)均可求出Q（，2a），進(jìn)而求出橢圓C的方程，難度不大。這里給出平面幾何的解法，也是不錯(cuò)的選擇。

解：設(shè)直線x=與x軸交點(diǎn)為M，因?yàn)镻F2⊥QF2，則可得兩個(gè)三角形相似：△PF1F2～△F2MQ，從而MQ=2a，從而有Q（，2a），再由Q的坐標(biāo)為（4，4）代入即可得橢圓的方程為+=1。

例3：已知過(guò)點(diǎn)A（0，1），且斜率為的直線與圓C（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N兩點(diǎn)。

求證：·為定值

分析：本題若利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得·=7，但運(yùn)算較繁。注意到，AMN是⊙C的一條割線，結(jié)合所求問(wèn)題，可考慮利用平面幾何的切割線定理。（注：圓的切割線定理：若PQ為切線，PMN為割線，則：PQ2=PM·PN。）

解：過(guò)點(diǎn)A作⊙C的一條切線AT交⊙C于點(diǎn)T，連接AC和CT，由勾股定理得，

AT2=AC2-CT2=（2-0）2+（3-1）2-1=7

又由圓的切割線定理，·AM·AN=AT2=7。

例4：已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）

若l1與C圓相交P，Q于兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，則求出定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：對(duì)于本題，大多數(shù)同學(xué)很容易想到下面的方法一去做：

法一：易知l1的斜率存在，設(shè)l1方程為：y=（x-1），

聯(lián)立y=k（x-1）（x-3）2+（y-4）2=4，結(jié)合韋達(dá)定理可得，

聯(lián)立y=k（x-1）x+2y+2=0可得，

故，

若從平面幾何的角度重新審題，觀察圖形，可發(fā)現(xiàn)有下面較簡(jiǎn)潔的法二：

法二：（平面幾何）連接CA并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)D，注意到kl·kAC=-1，則l2⊥lAC，由平面幾何知識(shí)易證得：△ACM～△AND

所以，=，又AC=，從而，AM·AN=AC·AD=6。

例5：設(shè)圓C：x2+（y-1）2=5，直線l：mx-y+1-m=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，若P（1，1）點(diǎn)分弦AB為=，求此時(shí)直線l的方程。

分析：直線與圓相交問(wèn)題往往于平面幾何的垂徑定理或勾股定理有關(guān)。

解：（平面幾何）容易發(fā)現(xiàn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且在圓C內(nèi)。取AB的中點(diǎn)為M，由垂徑定理有，AB⊥MC，設(shè)PM=x，則在直角△AMC，△PMC中，由勾股定理可得，MC2=（）2-（3x）2=PC2-x2，又PC=1，故x=，

即圓心C到直線l的距離：

所以，m=±1，即得l的方程為y=x或x+y=2。

【分類號(hào)】G633.6

（作者單位：江蘇常州北郊高級(jí)中學(xué)）