淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生提出問題能力的培養(yǎng)

董松艷

摘 要：對(duì)學(xué)生提出問題能力的研究正逐漸成為教育界關(guān)注的焦點(diǎn)。提出問題的能力是中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一。在數(shù)學(xué)教育的研究和實(shí)踐中，人們逐漸體會(huì)到問題的重要性，但學(xué)生提出問題的意識(shí)和能力明顯不足。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；實(shí)驗(yàn)研究；問題來(lái)源；提問能力；思維方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2015）30-0062-03

2014年9月25日，河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題《中學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的培養(yǎng)與發(fā)展實(shí)驗(yàn)研究》課題組在我校高中部進(jìn)行了《中學(xué)生“問題提出”現(xiàn)狀》問卷調(diào)查，其中一道開放性問答題“依據(jù)下列情境請(qǐng)你提出或編制出數(shù)學(xué)問題”引發(fā)了筆者的思考。題目如下：

請(qǐng)你依據(jù)下列情境提出或編制出數(shù)學(xué)問題

（1）寫出符合下圖的故事，并取個(gè)名稱。

（2）決定圖表中坐標(biāo)軸的單位。

（3）這個(gè)故事可以是關(guān)于任何你選擇的人或事物，例如一個(gè)人、一種動(dòng)物或交通工具等。

（4）在你的故事情境中，須描述事物的動(dòng)作，考慮細(xì)節(jié)如速度（快、慢等），距離，目的地和時(shí)間。

（5）選擇圖表中的任兩個(gè)部分，計(jì)算速度（比如，從A到B，從B到C，……）。

（6）根據(jù)你的故事情境再畫另外一個(gè)圖表。

本次問卷調(diào)查，共在我校三個(gè)年級(jí)調(diào)查了434人，各年級(jí)人數(shù)相當(dāng)，男生共計(jì)201人，女生233人，樣本選擇有一定的廣泛性和信度。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：98.4%的學(xué)生將自己的故事主人公名字叫做“小明”， 94%的學(xué)生故事情節(jié)是“上學(xué)”、“回家”、“旅游”、“從某地回來(lái)”因交通擁堵時(shí)走時(shí)停、或忘記帶東西返回家中等而導(dǎo)致不同時(shí)間段的速度、距離產(chǎn)生變化；僅有7名學(xué)生（占1.6%）的故事背景為“一只可愛的小燕子的飛行高度”、“汽車油箱的剩余油量”，“某地PM2.5值的變化情況”、“光的多次反射過程”、“50小時(shí)單詞記憶和遺忘規(guī)律”、“人們對(duì)中國(guó)紅十字會(huì)的信任度”、“我國(guó)人均森林占有面積”等，雖然不盡合理，但讓人眼前一亮；而100%的學(xué)生沒有完成“根據(jù)你的故事情境再畫另外一個(gè)圖表”的題目。學(xué)生天馬行空、五彩斑斕的想象力哪里去了？學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、問題提出的經(jīng)驗(yàn)和態(tài)度、問題提出能力等方面的表現(xiàn)也差強(qiáng)人意。

一、數(shù)學(xué)問題的界定

愛因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更有意義”，我國(guó)高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也強(qiáng)調(diào)：“讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題、形成解決問題的一些基本策略，并把“兩能”（發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力）作為重要的數(shù)學(xué)教育理念。近年來(lái)，對(duì)學(xué)生提出問題的能力的研究正逐漸成為教育界關(guān)注的焦點(diǎn)，尤其是在數(shù)學(xué)教育的研究和實(shí)踐中，人們逐漸體會(huì)到問題的重要性，但學(xué)生提出問題的意識(shí)和能力明顯不足，提出數(shù)學(xué)問題的課堂實(shí)踐也不多見。

那么，什么是“數(shù)學(xué)問題”呢？筆者認(rèn)為，“數(shù)學(xué)問題”就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法解決的問題。一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，一定是具有開放性、探究性和啟發(fā)性的問題，是有利于學(xué)生思維發(fā)展、能力訓(xùn)練和交流合作的問題。“問題”是數(shù)學(xué)的靈魂。

二、數(shù)學(xué)問題的來(lái)源

數(shù)學(xué)問題主要來(lái)自以下幾個(gè)方面：客觀世界、生活實(shí)踐、數(shù)學(xué)本身、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的結(jié)合等。

數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界的定性把握和定量刻畫，是人們學(xué)習(xí)、生活和勞動(dòng)必不可少的工具；數(shù)學(xué)為其他自然學(xué)科提供了方法論和理論基礎(chǔ)，被科學(xué)界公認(rèn)為是描述客觀世界的最佳語(yǔ)言。人們借助數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象、探究客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中紛繁復(fù)雜的信息作出合理的分析與判斷，進(jìn)而做出決策，為人類和社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。

中學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)強(qiáng)調(diào)：結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型、并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展。上述問卷調(diào)查中，幾名家庭背景、成長(zhǎng)環(huán)境各不相同的同學(xué)結(jié)合自己的生活經(jīng)歷，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，分析聯(lián)想、歸納提煉，提出了富有時(shí)代活力和生活氣息的數(shù)學(xué)問題，充分體現(xiàn)出生活實(shí)踐是學(xué)生提出問題的源泉。

基爾帕特里克（Kilpatrick，1987）說(shuō)：“數(shù)學(xué)問題都來(lái)自數(shù)學(xué)教師和課本”。教師在課堂教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，往往能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題：筆者在《三視圖》公開課中選用了2014年高考課標(biāo)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第8題：如圖所示，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（ ）A.三棱錐；B.三棱柱；C.四棱錐；D.四棱柱。這道題屬于基礎(chǔ)題，學(xué)生很容易就能判斷出答案是B，興高采烈。這時(shí)，教師沒有局限于找到答案即可，而是繼續(xù)追問：“你還有哪些有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)？”“你還能提出哪些有價(jià)值的問題？”“你能解決這些問題嗎？”學(xué)生的研究熱情一下子就被激發(fā)起來(lái)了，爭(zhēng)先恐后談自己的發(fā)現(xiàn)：“這是一個(gè)底面為等腰直角三角形的直三棱柱”、“三棱柱倒置，底面在正前方”、“如果規(guī)定每?jī)蓷l相鄰直線間的距離是1，可以知道三棱柱的底面邊長(zhǎng)分別是6、6、，高為4”、“可以計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積和體積”、“求幾何體內(nèi)部的球的最大體積”等等，學(xué)生提出問題的視角，贏得了陣陣掌聲。通過提出問題這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)三視圖的形成原理、對(duì)應(yīng)規(guī)律、高考命題有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，達(dá)到了一題多變、多題歸一、舉一反三、觸類旁通的習(xí)題輻射作用，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生提出問題的能力。

三、提出數(shù)學(xué)問題的思維方法

“問題提出具有創(chuàng)造性思維的特性，是數(shù)學(xué)發(fā)展和進(jìn)步的基礎(chǔ)。提出數(shù)學(xué)問題的思維方法主要有抽象法、聯(lián)想法、歸納法、變化屬性法等等。

抽象思維是人類最基本的思維方法，抽象思維法就是利用概念，借助語(yǔ)言和符號(hào)進(jìn)行判斷、推理的思維過程。兒童常運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)性抽象思維，比如“魚兒是在水中生活的動(dòng)物”等屬于經(jīng)驗(yàn)思維；中學(xué)生應(yīng)多運(yùn)用理論性抽象思維，即通過科學(xué)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)理論進(jìn)行思維活動(dòng)。比如，課堂上給學(xué)生一小根繩子，先讓學(xué)生動(dòng)手操作：“一端固定，另一端繞其旋轉(zhuǎn)；兩端固定，用一支筆拉緊線段并移動(dòng)筆尖”，隨后思考：能得到什么圖形？畫圖過程中有什么數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)特征？讓學(xué)生經(jīng)歷由感性到理性、由具體到抽象，最終發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓”、“平面內(nèi)，一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間距離），則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓”的概念形成過程。這里，挖掘事物的本質(zhì)屬性，歸納猜想、抽象思維功不可沒。

亞里斯多德說(shuō)：“我們的思維是從與正在尋求的事物相類似的事物、相反的事物或與它相近的事物開始的，以后便追尋與它相關(guān)聯(lián)的事物，由此而產(chǎn)生聯(lián)想”。聯(lián)想法就是由一類事物想到另一類事物，借助想象把形似的、相連的、相對(duì)的、相關(guān)的或某一點(diǎn)上有相通之處的事物，選取其可溝通點(diǎn)加以聯(lián)結(jié)，包括類比聯(lián)想、關(guān)系聯(lián)想、接近聯(lián)想法等?！队菝廊恕分星Ч偶丫洹皢柧苡袔锥喑睿∷埔唤核驏|流”，由表象而生聯(lián)想，用“一江春水”喻“愁幾多”，凄美纏綿，意境悠遠(yuǎn)，就是聯(lián)想思維的絕妙應(yīng)用。

數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確聯(lián)想的方法和思維方向。比如，教師用視頻展示日全食的全過程，引導(dǎo)學(xué)生由“太陽(yáng)”和“月亮”的形狀聯(lián)想到“圓”；由不同時(shí)刻太陽(yáng)和月亮的位置關(guān)系，類比聯(lián)想到“兩個(gè)圓的位置關(guān)系”，進(jìn)而抽象概括，反思升華，得到兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的五種位置關(guān)系及其圖形表示、幾何特征、數(shù)量關(guān)系，既生動(dòng)形象，又理性縝密。又如，教師給出“等邊三角形”，請(qǐng)學(xué)生類比另一幾何圖形。在獨(dú)立思考、小組交流的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生“由線到面、由面到體”、“由平面到空間”進(jìn)行類比聯(lián)想，明確了可類比的元素及屬性，學(xué)生則不難由“三角形”是封閉的平面圖形中所用線段最少的幾何圖形，聯(lián)想到封閉的立體圖形中所用平面最少的圖形是“四面體”從而實(shí)現(xiàn)“形”的類比；由三邊相等聯(lián)想到所有的棱長(zhǎng)相等（正四面體）實(shí)現(xiàn)“數(shù)”的類比聯(lián)想；還可以“由等邊三角形外接圓、內(nèi)切圓的半徑比2：1”，聯(lián)想到“正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為3：1”實(shí)現(xiàn)“性質(zhì)”的類比聯(lián)想，等等，層層遞進(jìn)，不斷獲得新發(fā)現(xiàn)。在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)想思維發(fā)現(xiàn)新知的同時(shí)，教師結(jié)合歸納猜想及嚴(yán)格的推理證明，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，不斷積累提出數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)、方法和能力。

四、培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的方法

問題提出能力是中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一。由問卷調(diào)查的結(jié)果可以看出，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、關(guān)于提出數(shù)學(xué)問題的態(tài)度、自我效能感及其思維方法，是影響學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的內(nèi)在因素；教師前置問題的設(shè)置形式、背景、課堂學(xué)習(xí)氛圍、關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出的教學(xué)策略和方法論指導(dǎo)是影響學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的外在因素。提出問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)。教師可從以下幾方面入手。

首先，創(chuàng)設(shè)豐富多彩的生活情境和問題情境，讓學(xué)生在情境感知、情境分析中引發(fā)數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索，敢于提出數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)而解決問題；其次，設(shè)置富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置變式發(fā)散，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，抓住學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，引發(fā)問題提出；第三，采用靈活多樣的教學(xué)模式，比如“FFS教學(xué)模式”、“四環(huán)節(jié)”教學(xué)模式等，將課堂變成生動(dòng)活潑的、富有個(gè)性的學(xué)習(xí)過程，形成探究、發(fā)現(xiàn)的課堂氛圍；第四，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的自主性、獨(dú)立性，讓學(xué)生積極主動(dòng)地實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、論證、反思、交流，尊重學(xué)生的課堂發(fā)現(xiàn)，重視知識(shí)的形成和發(fā)展過程；第五，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的思維品質(zhì)；第六，開展研究性學(xué)習(xí)并借助班級(jí)論壇、青春講壇等平臺(tái)定期交流，研究分期付款問題，高中生消費(fèi)問題、出租車定價(jià)與公司收益問題等，從自然和社會(huì)中選取專題，培養(yǎng)學(xué)生善于捕捉問題、提出問題的意識(shí)和能力。

實(shí)踐證明，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；有助于活躍課堂教學(xué)氣氛，提高教學(xué)效果；有助于學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)能力；有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳秋華.中學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的研究[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004.

[2]張家萍.培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的思維方法與訓(xùn)練[J].教育觀察旬刊，2013，（12）.