超混沌Lü系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與同步

韋　相

（1.紅河學(xué)院工學(xué)院，云南蒙自 661100；2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢 4330072）

超混沌Lü系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與同步

韋相1，2

（1.紅河學(xué)院工學(xué)院，云南蒙自 661100；2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢 4330072）

該篇研究超混沌Lü系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與自適用同步問題。首先，在控制增益參數(shù)未知的情況下，設(shè)計了一個非線性控制器，提出了相應(yīng)的參數(shù)的自適應(yīng)律，將系統(tǒng)控制到平衡點；其次，討論了該超混沌系統(tǒng)自同步，并提出非線性耦合同步方案，在控制增益參數(shù)已知時，設(shè)計狀態(tài)控制器實現(xiàn)自同步，在參數(shù)未知時，設(shè)計自適應(yīng)控制器實現(xiàn)同步。用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明結(jié)論的正確性，使用Matlab 數(shù)值模擬，結(jié)果證明該方案的有效性和可行性。

超混沌系統(tǒng)；自適應(yīng)控制；自適應(yīng)同步

0　引言

人們在1963年發(fā)現(xiàn)第一個混沌模型-Lorenz系統(tǒng)［1］以來，混沌就成為非線性動力學(xué)中的重要研究課題之一［2-4］，隨著研究的深入，各種非線性混沌系統(tǒng)也被相繼提出，如Rossler系統(tǒng)［5］、 Chua系統(tǒng)［6］，以及在反控制問題研究中被發(fā)現(xiàn)的Chen 系統(tǒng)［7］、 Lü系統(tǒng)［8］、 及可以連接Lorenz和Chen系統(tǒng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［9］等，這些混沌系統(tǒng)得到了廣泛的研究和應(yīng)用［10-13］.

1990年美國馬里蘭大學(xué)的E. Ot t，C. Grebog i和J. A. York 開始了混沌控制的研究工作［14］，即后來被稱為OGY 法. 同年，經(jīng)典的混沌同步方法由美國海軍實驗室的 L. M. Pecora，T. L. Carroll提出，驅(qū)動響應(yīng)法［15］，并實現(xiàn)了混沌同步在保密通信中的應(yīng)用. 隨著研究的深入，目前已經(jīng)有多種方法，如：線性與非線性反饋控制［16］、自適應(yīng)同步法［17］，脈沖同步［18］，backstepping法［19］，狀態(tài)觀測器法等［20］等. 而自適應(yīng)控制與自適應(yīng)同步方法能很好解決混沌系統(tǒng)含有未知參數(shù)的問題，許多系統(tǒng)其參數(shù)通常是部分或者完全未知的，所以自適應(yīng)控制及其同步實用性強(qiáng). 該方法的最大困難是設(shè)計合適的自適應(yīng)控制器并尋找自適應(yīng)規(guī)律.

實現(xiàn)超混沌Lü系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與自適應(yīng)同步在控制增益參數(shù)未知時使用參數(shù)的自適應(yīng)律，設(shè)計出了虛鏡非線性控制器，將系統(tǒng)控制到零點，實現(xiàn)對混沌的控制. 其次討論該超混沌系統(tǒng)的自同步，設(shè)計狀態(tài)控制器和自適應(yīng)律控制器，使得驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)同步. 使用Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明結(jié)論的正確性，Matlab 數(shù)值模擬，結(jié)果證明該方案是有效和可行的.

1　問題描述

該驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.

目前超Lü混沌系統(tǒng)已成為混沌控制和同步研究中經(jīng)常被采用的混沌模型，得到較為廣泛的關(guān)注. 超混沌Lü系統(tǒng)是在加入一個非線性控制器而得到的.文［21］利用遞歸反步非線性控制方法對Lü混沌系統(tǒng)的各個狀態(tài)進(jìn)行控制；文［22］實現(xiàn)超混沌Lü系統(tǒng)的同步，并設(shè)計了同步實現(xiàn)電路；文［23］基于狀態(tài)控制器實現(xiàn)了超混沌Lü的廣義投影同步；

Lü混沌系統(tǒng)在為［24］

2　Lü混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

給式（1）設(shè)計的自適應(yīng)控制器為

定理1 對于混沌系統(tǒng)（1），若選取控制器為：

參數(shù)的自適應(yīng)律為：

則該混沌系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

對上式求導(dǎo)可得：

3　Lü混沌系統(tǒng)同步控制

定義驅(qū)動系統(tǒng)為式（1），響應(yīng)系統(tǒng)為

根據(jù)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，可得到誤差系統(tǒng)如下：

設(shè)計的狀態(tài)控制器為

得到誤差系統(tǒng)

定理2 對于參數(shù)已知的系統(tǒng)式（6），若選取控制增益的參數(shù)滿足

則該誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

對上式求導(dǎo)可得：

參數(shù)未知時，設(shè)計的自適應(yīng)控制器為

定理3對參數(shù)未知系統(tǒng)，當(dāng)反饋增益估計滿足

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下

4　模擬仿真

通過數(shù)值模擬來驗證所提出混沌同步方法的有效性.

（1）自適應(yīng)控制

圖1　狀態(tài)變量的變化曲線

圖2　控制增益參數(shù)變化曲線圖

（2）同步狀態(tài)控制

圖3　參數(shù)已知同步誤差變化曲線

圖4　參數(shù)已知對應(yīng)狀態(tài)變量（1，2）的變化曲線

圖5　參數(shù)已知對應(yīng)狀態(tài)變量（3，4）的變化曲線

（3）自適應(yīng)同步

控制器的控制增益參數(shù)是未知的，任取控制增益的參數(shù)的初始值為，的值為2.驅(qū)動系統(tǒng)初始值為，響應(yīng)系統(tǒng)初始值為；由同步誤差曲線圖6可見，和參數(shù)已知相比，參數(shù)未知同步誤差分別更快穩(wěn)定到零點，即驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.增益參數(shù)經(jīng)過一定的時間分別固定某個值，如圖7所示.

圖6　參數(shù)未知同步誤差變化曲線

圖7　控制增益參數(shù)變化曲線圖

5　結(jié)論

本文研究了超混沌Lü系統(tǒng)的同步問題.基于Lyapunov穩(wěn)定理論，設(shè)計了自適應(yīng)控制器并設(shè)計了反饋增益系數(shù)更新規(guī)則，對Lü混沌系統(tǒng)實施有效的控制，通過自適應(yīng)同步控制使Lü混沌系統(tǒng)達(dá)到同步.數(shù)值模擬結(jié)果驗證了此方案的有效性.

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［責(zé)任編輯 劉貴陽］

Adaptive Control and Synchronization of Lü Hyperchaotic System

WEI Xiang1，2
（1. Department of Engineering，Honghe University，Honghe 661199，China；2. School of Mathematics and Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

This paper deals with the issue of adaptive control and adaptive synchronization of Lü hyperchaotic system First，the problem is discussed when parameters of feedback gain are unknown，the parameters update laws are designed to control the hyperchaotic system to its equilibrium. An state controller is designed to achieve synchronize with known parameters and an adaptive controller is designed to achieve synchronize with unknown parameters of the feedback gain. The design is proved to be true based on the Lyaponov stability theory. Numerical simulations are presented to verify the effectiveness and feasibility.

hyperchaotic system；adaptive control；adaptive synchronizat ion

N94

A

1008-9128（2015）02-0023-05

2014-03-22

國家自然科學(xué)基金項目（41201418）

韋相（1980-），男（壯），廣西田陽人，講師，博士，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。