整合《數(shù)學(xué)分析》課程 培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力

馬建珍，劉俊先，田 亞

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整合《數(shù)學(xué)分析》課程 培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力

馬建珍，劉俊先，田 亞

（邢臺(tái)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，河北邢臺(tái) 054001）

通過對(duì)《數(shù)學(xué)分析》課程的恰當(dāng)整合，使之理論線條更加清晰，從中培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力，達(dá)到更好的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)分析；整合；綜合分析

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程（如復(fù)變函數(shù)論、常微分方程、實(shí)變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等）的學(xué)習(xí)和研究影響甚大。它不但是眾多學(xué)科（如物理、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等）的重要基礎(chǔ)和有力工具，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、加強(qiáng)學(xué)生的基本功訓(xùn)練都具有十分重要的功效。學(xué)生學(xué)好這門課程，就奠定了大學(xué)階段學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是開創(chuàng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好局面的關(guān)鍵。根據(jù)課程的進(jìn)度，引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)?shù)卣舷嚓P(guān)知識(shí)，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，對(duì)與之相關(guān)的知識(shí)有更深入透徹的理解，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析的能力。

1 同一知識(shí)板塊內(nèi)容的整合

1.1 一元函數(shù)極限歸納

在學(xué)完一元函數(shù)的極限理論之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一元函數(shù)極限的類型和定義進(jìn)行歸納總結(jié)。

一元函數(shù)極限的類型共有24種，分為極限過程和極限結(jié)果兩部分。具體為：

把6種極限過程和4種極限結(jié)果相結(jié)合，可得到24種極限形式。若用精確的數(shù)學(xué)語言去定義，要用兩個(gè)字母（等）去刻畫。即任意給一個(gè)量（等），對(duì)極限結(jié)果作出要求，然后用另一個(gè)字母（等）表述極限過程，要滿足極限結(jié)果的要求，自變量必須變化到某種程度。學(xué)生能理解這些量之間的關(guān)系，就很容易寫出它們的定義。例如：

上述24種極限都有其否定形式，故又有24種否定的定義。對(duì)于上述極限定義，其否定的定義具體為：

仿照上述極限定義及其否定形式，可指導(dǎo)學(xué)生把24種全部寫出。

在學(xué)完二元函數(shù)的極限之后，可以引導(dǎo)學(xué)生來比較一元函數(shù)的極限與二元函數(shù)的極限有哪些本質(zhì)的區(qū)別。對(duì)于二元函數(shù)，極限類型更多，例如：

經(jīng)過這樣的練習(xí)過程，不僅可使學(xué)生能精確地寫出極限定義，同時(shí)通過分析各種不同極限之間的異同，加深了對(duì)極限概念的理解，提高了綜合分析能力，也為下一階段的學(xué)習(xí)打好極限理論的基礎(chǔ)。

1.2 求不定積分和定積分

在學(xué)完一元函數(shù)積分學(xué)之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)積分方法進(jìn)行歸納總結(jié)。求不定積分的方法有：（1）利用基本積分公式；（2）換元積分法；（3）分部積分法；（4）有理函數(shù)的積分法；（5）無理根式積分法；（6）三角函數(shù)的積分法。

求定積分除了有與上述不定積分相對(duì)應(yīng)的積分方法外，還有牛頓-萊布尼茨公式（原函數(shù)可通過求相應(yīng)的不定積分來求出，在理論上此公式把不定積分與定積分聯(lián)系了起來）。在講解定積分的內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系不定積分的相應(yīng)內(nèi)容，透徹理解它們之間的關(guān)系，如：不定積分的換元積分法換元后一定要作變量還原，因?yàn)椴欢ǚe分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)族，理應(yīng)保留與原來相同的自變量；而定積分的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)，一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后，不必作變量還原，而只要用新的積分限代入并求其差值就可以了。不定積分的換元積分法分為第一換元積分法和第二換元積分法，而定積分的換元積分法則只有一個(gè)換元積分公式，兩個(gè)不同方向的使用恰好對(duì)應(yīng)不定積分的兩種換元積分法。

通過對(duì)一元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，提高了學(xué)生的綜合分析能力，學(xué)生會(huì)明顯感覺積分內(nèi)容更加條理，解題規(guī)律和積分方法非常類似，積分方法更加清晰，解題的難度大大降低，提高了學(xué)好積分內(nèi)容的信心，也為之后的學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.3 求重積分和曲線積分、曲面積分

1.3.1 二重積分與三重積分

學(xué)習(xí)二重積分時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生與定積分相比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)二重積分的定義、可積條件、性質(zhì)與定積分基本上是平行的，是定積分在二維空間的推廣。二重積分的計(jì)算采用累次積分法，與定積分有極其密切的聯(lián)系。三重積分的定義、可積性、性質(zhì)與二重積分是完全平行的，二者只是形式上的差別，沒有本質(zhì)的區(qū)別。

直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域的特征，分為型區(qū)域和型區(qū)域，結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)化為累次積分。直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域的特征，分為“先二后一法”或“先一后二法”。較常見的是“先一后二法”。二重積分、三重積分的變量變換：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，以簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)，二重積分的重點(diǎn)是極坐標(biāo)變換。三重積分的重點(diǎn)是柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換。而柱面坐標(biāo)變換是采用“先一后二法”，其中的二重積分是采用極坐標(biāo)變換。

經(jīng)過上述比較分析，可以發(fā)現(xiàn)二重積分的計(jì)算是三重積分的基礎(chǔ)（例如：二重積分的極坐標(biāo)變換與三重積分的柱面坐標(biāo)變換的關(guān)系），而二重積分的計(jì)算又是以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)的。如果有夯實(shí)的定積分的基本知識(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)重積分并沒有想象的那么難學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷整合相關(guān)的理論知識(shí)，既提高了綜合分析能力，也加深了對(duì)新知識(shí)的理解，提高了解題能力。

1.3.2 曲線積分

平面上的第一型曲線積分也是定積分的一種推廣。它將軸線段上的積分推廣到平面曲線段上的積分，或者說，定積分是平面上第一型曲線積分的特殊情況。第二型曲線積分主要是討論向量函數(shù)，它在場(chǎng)論中具有多種不同的物理意義。

定積分的應(yīng)用中所用的微元法可以推廣到第一型曲線積分的應(yīng)用中。例如，對(duì)于定積分在物理上的應(yīng)用，利用微元法討論了液體靜壓力、引力、功以及平均功率等的計(jì)算。通過類似的思想方法，也可以討論第一型曲線積分在物理上的應(yīng)用。例如：設(shè)有線密度的平面曲線段，則

（2）對(duì)軸與軸的靜矩分別為

兩類曲線積分的計(jì)算都是化為定積分來計(jì)算，故基礎(chǔ)還是定積分的計(jì)算。

1.3.4 曲面積分

第一型曲面積分是二重積分的推廣，它將坐標(biāo)平面上有界區(qū)域推廣到中的有界光滑曲面，即坐標(biāo)平面上有界區(qū)域是中的一個(gè)特殊的光滑“曲面”。 第一型曲面積分的有關(guān)性質(zhì)與二重積分是完全平行的，二者只是形式上的差別，沒有本質(zhì)的區(qū)別。第二型曲面積分是向量函數(shù)在曲面上的積分，它是力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科的重要的數(shù)學(xué)工具。

兩類曲面積分的計(jì)算都是化為二重積分來計(jì)算，故基礎(chǔ)還是二重積分的計(jì)算。

1.3.5 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式

格林公式是溝通區(qū)域上的二重積分與該區(qū)域邊界（封閉曲線）上的曲線積分之間的橋梁。奧-高公式是溝通三重積分與第二型曲面積分之間的橋梁。斯托克斯公式是溝通第二型曲面積分與空間第二型曲線積分之間的橋梁。這兩個(gè)公式在場(chǎng)論中占有重要的地位。

上述三個(gè)公式又把看起來好似沒有關(guān)聯(lián)的不同的重積分、線積分和曲面積分聯(lián)系起來。

本部分內(nèi)容豐富，計(jì)算公式多，且會(huì)用到一元函數(shù)積分學(xué)及空間解析幾何的一些相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，學(xué)生普遍感覺難學(xué)，不易掌握，很多學(xué)生會(huì)用錯(cuò)計(jì)算公式導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。通過整合本部分內(nèi)容，使內(nèi)容的線條、知識(shí)間的相互關(guān)系更加清晰，學(xué)生更易掌握。例如：直角坐標(biāo)系下的二重積分與第二型曲面積分在書寫形式上比較接近，如何區(qū)分它們呢？如果能注意以下幾點(diǎn)，便不難區(qū)分：

（1）二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，第二型曲面積分的被積函數(shù)一般是三元函數(shù)；

（2）二重積分的積分區(qū)域是平面區(qū)域，第二型曲面積分的積分區(qū)域是空間曲面；

（3）二重積分的積分區(qū)域，不需要指定它的側(cè)。第二型曲面積分的積分區(qū)域，都要指定它的側(cè)。

如果被積函數(shù)形式上是二元（一元或常值）函數(shù)，且積分區(qū)域?yàn)橄鄳?yīng)坐標(biāo)平面上的平面區(qū)域，同時(shí)取正側(cè)，則在該曲面上的第二型曲面積分與對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域上的二重積分一致。例：取的上側(cè)，則曲面積分與二重積分相同，其中。

2 不同知識(shí)板塊內(nèi)容的整合

2.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)相類似題目的整合

在講解多元函數(shù)微分學(xué)知識(shí)時(shí)，以二元函數(shù)為例，其連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微之間的關(guān)系和一元函數(shù)對(duì)應(yīng)的連續(xù)、可導(dǎo)及可微之間的關(guān)系是否類似，哪些性質(zhì)是類似的，又有哪些不同?這些內(nèi)容在講解多元函數(shù)微分學(xué)時(shí)是需要特別強(qiáng)調(diào)的。

對(duì)于一元函數(shù)來說，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的；可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。對(duì)于二元函數(shù)來說，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一定可微，反之不一定成立；可微一定連續(xù)，反之不一定成立；滿足可微時(shí)偏導(dǎo)數(shù)一定存在，反之不一定成立；；而連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在二者之間沒有必然的關(guān)系。例如

2.2 一元函數(shù)的一些結(jié)論可推廣多元函數(shù)

2.2.1 極值的必要條件

2.2.2 可微定義

二元函數(shù)的可微定義與一元函數(shù)的可微定義是完全類似的，可以看做是一元函數(shù)的可微定義的推廣。

類似上述內(nèi)容，在教學(xué)中，可讓學(xué)生在課下試著完成，之后再在課堂上結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容來講解，尤其是第三學(xué)期學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分，學(xué)生已經(jīng)有一定的理論基礎(chǔ)，又完整地學(xué)完了一元函數(shù)的微積分學(xué)，通過讓學(xué)生多做這樣的練習(xí)來培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力。

通過課程內(nèi)容的恰當(dāng)整合，就可以使知識(shí)點(diǎn)由多變少，把教材由厚變薄，使數(shù)學(xué)分析課程的整體結(jié)構(gòu)更加清晰。并使得學(xué)生能透徹理解相關(guān)知識(shí)同時(shí)可使學(xué)生取得更高效的學(xué)習(xí)效果，為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)打好數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。

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2014-12-21

[科研項(xiàng)目]2013年邢臺(tái)學(xué)院科研項(xiàng)目:基于綜合分析能力培養(yǎng)的《數(shù)學(xué)分析》課程的整合研究.項(xiàng)目編號(hào):XTXY13YB103

馬建珍（1969-）,女,畢業(yè)于河北師范學(xué)院,副教授,主要從事數(shù)學(xué)教育與研究.

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1672-4658(2015)02-0173-03