模式思維方法在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用

石秀文

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模式思維方法在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和中的應(yīng)用

石秀文

(邢臺學(xué)院 數(shù)信學(xué)院，河北邢臺 054001)

數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和是數(shù)學(xué)分析重點(diǎn)問題之一，建立與數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和問題相關(guān)的知識模塊，探求知識模塊所對應(yīng)的求和問題的解題思想和規(guī)律，把解題思維過程模式化，使學(xué)生能模仿這種思維方式來研究和探索問題，加深學(xué)生對知識的理解和綜合運(yùn)用，幫助學(xué)生提高邏輯思維能力和解決問題的能力。

模式思維；知識模塊；數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和；解題規(guī)律

所謂模式思維方法，在本文中是指在解決某一類較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可根據(jù)題目的條件或特點(diǎn)聯(lián)想到相應(yīng)的知識模塊，依照一定解題規(guī)律進(jìn)行解題思維活動(dòng)。

一般而言，解決數(shù)學(xué)分析中某一類問題時(shí)，往往會涉及到多個(gè)簡單知識點(diǎn)和基本的方法，按照問題所涉及到的知識點(diǎn)和基本方法進(jìn)行合理的分類，組成幾個(gè)不同知識模塊，若能掌握每個(gè)模塊所對應(yīng)問題的一般解題思路或解題思想，就掌握了這類題目的解題規(guī)律。當(dāng)遇到相關(guān)問題時(shí)，可根據(jù)題目的條件或特點(diǎn)較快的聯(lián)想到相應(yīng)的知識模塊，依照相應(yīng)的模式進(jìn)行解題思維活動(dòng)。如果教師能指導(dǎo)學(xué)生建立不同類型問題的知識模塊，探求出相應(yīng)問題的思維方法和解題規(guī)律，使學(xué)生的解題思維活動(dòng)有一定的模式可依，將有效的避免學(xué)生遇到綜合問題時(shí)，沒思路或思路混亂的現(xiàn)象，促使學(xué)生更全面的理解和掌握相關(guān)的知識，幫助學(xué)生提高處理綜合問題的能力。

數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和是數(shù)學(xué)分析重點(diǎn)問題之一，本文通過運(yùn)用模式思維方法來解決某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和問題，通過這一問題的討論，幫助學(xué)生建立與問題相關(guān)的知識模塊，探求級數(shù)求和問題的解題規(guī)律。

1 常見數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的基本思想和方法

1.1 定義法求和思想

求前ｎ項(xiàng)和常用方法：裂項(xiàng)相消求和法。

1.2 等比級數(shù)求和思想

將數(shù)項(xiàng)級數(shù)通過變形轉(zhuǎn)化為等比級數(shù)，利用等比級數(shù)求和公式求和；化為等比級數(shù)常用錯(cuò)位相減法。

1.3 數(shù)項(xiàng)級數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和思想

按照數(shù)項(xiàng)級數(shù)特點(diǎn)引入變量，化數(shù)項(xiàng)級數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，求出函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)，進(jìn)而得數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的方法：

（1）利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式確定某些冪級數(shù)的和函數(shù)。

（2）冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，化為等比級數(shù)來求和函數(shù)，或?qū)缂墧?shù)逐項(xiàng)積分化為等比級數(shù)來求和函數(shù)。

（3）熟悉幾個(gè)特殊的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，可確定某些三角級數(shù)的和.

2 模塊化分類及相應(yīng)解題規(guī)律

列出各模塊的知識點(diǎn)，總結(jié)一般求和思路。

2.1 模塊一（裂項(xiàng)分解求和法）

基本知識點(diǎn)：

2.2 模塊二（錯(cuò)位相減求和方法）

基本知識點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的定義、等比級數(shù)求和公式、錯(cuò)位相減求和方法。

2.3 模塊三（冪級數(shù)求和法）

基本知識點(diǎn)：（1）等比級數(shù)求和公式，常用函數(shù)的冪級數(shù)展式，如等。

（2）冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分性質(zhì)；由冪級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性可得：與成立。

求和方法1：轉(zhuǎn)化為“冪”級數(shù)：

2.4 模塊四

利用已知級數(shù)的和求某些特殊數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

2.5 模塊五（三角級數(shù)求和法）

利用已知簡單函數(shù)的三角級數(shù)求某些含有正弦或余弦的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

基本知識點(diǎn)：（1）函數(shù)的傅立葉系數(shù)與傅立葉級數(shù)、奇偶函數(shù)的傅立葉展式；

3　模式思維方法應(yīng)用舉例

所以屬于模塊1類型（求解過程略）。

例2：求下列級數(shù)和

（2）解：冪級數(shù)解法2（先導(dǎo)后積）

例3：求下列級數(shù)和

解：本題特點(diǎn)可知，屬于模塊3的題型，（1）考慮冪級數(shù)解法一，（2）考慮冪級數(shù)解法題型二。

（2）明顯是模塊題型二。

解：題目特點(diǎn)都是等差數(shù)列與等比數(shù)列的商，是模塊二，應(yīng)用錯(cuò)位相減法化為等比級數(shù)求和。 故所以;同理可求。

化為模塊一的類型，易求之。

=

同例3（1）。

分析：考慮模塊五的思路。

以上通過級數(shù)求和問題討論了模式思維方法在解題中的應(yīng)用。現(xiàn)在我們大力提倡創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，而創(chuàng)新思想的產(chǎn)生是經(jīng)過長期知識的積累和不斷探索的結(jié)果，模仿學(xué)習(xí)正是創(chuàng)新學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。通過實(shí)施模式思維方式解題，使學(xué)生經(jīng)過由模仿到理解，由理解到熟練，由熟練得到巧思，最終達(dá)到觸類旁通的效果，能更有效的提高學(xué)生分析問題、解決問題能力，能為促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新解題和知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成奠定基礎(chǔ)。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]國防科技大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)組.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.

[3]程家柏,沈育民.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于模仿與反思[J].咸寧學(xué)院學(xué)報(bào),2005,25(3).

2014-10-07

石秀文（1965-）,女,河北邢臺人,教授,主要從事《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》等教學(xué)研究工作.

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1672-4658(2015)02-0170-04