巧用數(shù)形結(jié)合 提高解題效率

邵燕文

摘要 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的基本解題方法，它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。在解決數(shù)學(xué)問題時，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，使數(shù)與形的信息相互滲透，開拓了解題思路，使許多數(shù)學(xué)問題簡單化。本文結(jié)合中學(xué)教材，舉例說明“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”在解決數(shù)學(xué)問題中的一些用法。

關(guān)鍵詞 抽象 抽象 以形助數(shù) 以數(shù)解形

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）08-0070-02

“數(shù)”和“形”是組成數(shù)學(xué)的兩大要素。數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”教師在課堂教學(xué)過程中，要結(jié)合教材內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生實際，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，采用教者有意、學(xué)者無心的方法，反復(fù)向?qū)W生介紹數(shù)形結(jié)合的方法。

所謂數(shù)形結(jié)合，包括兩個方面的內(nèi)容，其一為“從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（即以形助數(shù)）；其二是利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（即以數(shù)解形）”。它將抽象的語言和直觀的圖形（幾何性質(zhì)）結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，實質(zhì)就是“將較難問題轉(zhuǎn)化為較易問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題”。

一、“以形助數(shù)”

每個學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的刻度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學(xué)生的座位等等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如有理數(shù)中數(shù)軸的引入、不等式及不等式組的解集在數(shù)軸上表示，使抽象的概念、性質(zhì)得到直觀的理解；解二元一次方程組、解不等式時，利用平面直角坐標(biāo)系，通過轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)圖像圖解，問題變得簡單易懂。統(tǒng)計部分三類統(tǒng)計圖應(yīng)用后即可使啰嗦的語言文字變得簡潔明了；用“樹形圖”分析事件的概率，可使事件簡單而明確。學(xué)生在畫圖中整理信息，分析信息，短時間內(nèi)就找到了解決問題的方法，巧妙地用圖形來表達抽象的數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建出清晰的數(shù)學(xué)知識體系，促進知識的“消化”。有些繁雜的代數(shù)題，若我們借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念及復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、簡單化，從而探索出巧妙的解法。

二、“以數(shù)解形”

許多幾何問題僅僅是單純的圖形研究，透過形的外表，已經(jīng)觸及其內(nèi)在的數(shù)量特征，探索由圖形到數(shù)量的聯(lián)系與規(guī)律，即“以數(shù)助形”就是將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，使要解決的幾何問題化為數(shù)量關(guān)系來實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”。在數(shù)學(xué)問題中，經(jīng)常會遇到一些探索規(guī)律題，在教學(xué)中圖形規(guī)律題的探索也是常見一種形式，遇到這一類問題，我們必須學(xué)會分析圖形位置與圖形本身的聯(lián)系，將幾何圖形變化情況進行數(shù)字化、代數(shù)化，這就是“以數(shù)解形”。

例：小王購買了一套經(jīng)濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示。根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：m），解答下列問題：

（1）用含x、y的代數(shù)式表示地面總面積；

（2）已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多21m²，且地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍。若鋪1m²地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？

[解析]（1）地面總面積為：6x+2y+18（m²）

（2）根據(jù)題意，得

∴地面總面積為：6x+2y+18=45

∴鋪地磚的總費用為：45×80=3600（元）。

解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖表。通過對圖表中數(shù)據(jù)信息的分析、比較、判斷和歸納，弄清數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系，然后利用所學(xué)知識（主要是方程（組）、不等式（組）、函數(shù)及統(tǒng)計知識），正確建立數(shù)學(xué)模型解決問題。

總之，通過數(shù)與形有機結(jié)合，使學(xué)生的思維完成從“形象到“抽象”的概括，從“抽象”到“形象”的再現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，又是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此我們數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用。

（責(zé)任編輯 曾卉）