正多面體對(duì)稱群生成元的計(jì)算方法

歐陽(yáng)培昌，占小根，鄧志云，范發(fā)明

?

正多面體對(duì)稱群生成元的計(jì)算方法

*歐陽(yáng)培昌，占小根，鄧志云，范發(fā)明

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009)

借助三維正多面體的幾何意義，可以直接推導(dǎo)其矩陣生成元，但因在三維空間無(wú)法建立真實(shí)的正多胞體(regular polytopes，正多面體在更高維空間的推廣)，該方法難以推廣到正多胞體?；谡嗝骟w群的抽象表示，提出了一種純代數(shù)方法計(jì)算其矩陣生成元。因該方法完全是符號(hào)化的代數(shù)計(jì)算過(guò)程，可以類似推廣到高維正多胞體，用于確定高維有限反射群的生成元。

正多面體；對(duì)稱群；生成元；反射群

1 概述

由反射變換生成的反射群具有重要意義，其原因主要基于以下事實(shí)[1-4]：有一個(gè)一般性的理論框架覆蓋它們；此類群包含物理化學(xué)領(lǐng)域的至關(guān)重要的點(diǎn)群(point group)為子群。Coxeter群是歐氏空間的有限反射群，它們是三維歐氏空間正多面體的對(duì)稱群，或者是更高維歐氏空間正多胞體(regular polytopes)的對(duì)稱群[5-8]。研究顯示，此類對(duì)稱群與量子物理、晶體化學(xué)、離散幾何以及拓?fù)涞阮I(lǐng)域有深刻交集，無(wú)論在理論層面還是應(yīng)用領(lǐng)域，都具有深遠(yuǎn)意義[9-11]。

生成元是群的核心，它刻畫(huà)了群的本質(zhì)特征和發(fā)動(dòng)機(jī)。為方便起見(jiàn)，本文把維歐氏空間及該空間上的有限反射群分別記為和。因正多面體的低維屬性，借助幾何模型，人們可以較容易地建立它們的生成元。但即便如此，正十二面體或正二十面體群生成元的確立還是相當(dāng)復(fù)雜，這需要對(duì)它們的幾何結(jié)構(gòu)有非常深入的認(rèn)識(shí)。因正多胞體無(wú)直觀的真實(shí)幾何模型，直接觀察方法難以建立它們的生成元。

有鑒于此，本文提出一種純代數(shù)的計(jì)算方法，用于確定3。該方法可以輕松推廣到，給定的抽象表達(dá)式。本文將在探討其幾何意義的基礎(chǔ)上，給出其生成元的純代數(shù)計(jì)算方法。

2 G3抽象表示的幾何意義

定義1 對(duì)稱(symmetry)指的是物體的變換，該物體在此變換下保持不動(dòng)。該物體的所有對(duì)稱構(gòu)成一個(gè)群，稱為對(duì)稱群(symmetry group)。

數(shù)學(xué)上，對(duì)稱是一個(gè)等距變換，等距的含義與具體的測(cè)度有關(guān)[1]。

定義3 設(shè)一個(gè)離散對(duì)稱群的生成元全部是反射變換，則稱該群為完全反射群(reflection group)。

定義4 稱一個(gè)多面體是規(guī)則的，如果它的每個(gè)面是相等的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)都處于等價(jià)的地位。

為方便起見(jiàn)，下面介紹規(guī)則多面體的Schl?fi標(biāo)記[2]。記{}為正邊形，{}表示規(guī)則多面體，它的每個(gè)面都是相同的{}，且每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)相同的{}相交?？梢宰C明，三維空間總共有5個(gè)規(guī)則多面體(或正多面體，柏拉圖體)，其簡(jiǎn)便推導(dǎo)方法可簡(jiǎn)述如下。設(shè)和是兩個(gè)自然數(shù)，{}的每個(gè)立體角由個(gè)角度為圍成。因立體角小于，因此，和應(yīng)滿足

圖1 三維歐氏空間存在五個(gè)規(guī)則多面體

Fig.1 There are five regular solids in the three-dimensional Euclidean space

(a)正方體和正八面體互為對(duì)偶

(b) {,}的中心、頂點(diǎn)以及該頂點(diǎn)所在面的對(duì)邊中點(diǎn)確定的平面是{}的反射面

圖 2 正多面體對(duì)偶性及對(duì)稱性說(shuō)明

Fig. 2 The duality and symmetry of regular polyhedra

(3)

圖3 具有[3,4](左)和[3,5] (右)對(duì)稱性的球面拼砌圖

Fig. 3 The spherical tilings with the symmetries of [3,4](left) and [3,5] (right)

在球面幾何中，球面上兩條測(cè)地線(geodesics，即大圓弧)的夾角等于經(jīng)過(guò)測(cè)地線的平面的二面角。設(shè)和是兩個(gè)法向量，給定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面和，則這兩個(gè)平面的夾角滿足

幾何上看，兩個(gè)反射變換的乘積是一個(gè)角度兩倍于反射平面所構(gòu)成二面角的旋轉(zhuǎn)變換。據(jù)此，方程(2)的幾何意義是，和的夾角分別是、和。球面三角形的面積可用角超(angular excess)度量：圖3中的球面三角形面積為。任選一個(gè)這種三角形，在作用下，它的復(fù)制球面三角形可以完整地覆蓋一次。因此，這種球面三角形稱為在下的基本域(fundamental region)。因的面積為，反射群的階數(shù)(order)

3 完全反射群生成元的代數(shù)計(jì)算方法

沿用上述思路，為清晰起見(jiàn)，下面分3小節(jié)，分別給出[3,3]、[3,4]和[3,5]的生成元。

3.1 [3,3]的生成元

3.2 [3,4]的生成元

3.3 [3,5]的生成元

[3,5]的對(duì)稱性非常豐富，因它擁有一個(gè)異常復(fù)雜的生成元。理論上，仍可借助幾何模型來(lái)確定其生成元，但這需要對(duì)和的幾何結(jié)構(gòu)非常了解。但用本文介紹的算法，卻很容易可以獲得[3,5]的生成元。

參考文獻(xiàn)：

[1] Armstrong V E. Groups and symmetry[M]. New York: Springer-Verlag, 1987.

[2] Coxeter H S M. Generators and relations for discrete groups[M]. New York: Springer, 1980.

[3] Coxeter H S M. The complete enumeration of finite groups of the form[J]. J. London Math. Soc. 1935,1(1):21-25.

[4] Garling D J H, Gorenstein D, Dieck T,et al. Reflection groups and Coxeter groups[M]. Cambrideg:Cambridge University Press, 1990.

[5] Benson D J H. Polynomial invariant of finite groups [M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1993.

[6] Mcmulle P, Schulte E. Abstract regular polytopes[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 2002.

[7] Coxeter H S M. Regular polytopes[M]. New York: Dover, 1973.

[8] Humphreys J E. Geometry of Coxeter Groups[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

[9] T. Hahn, International tables for crystallography[M]. Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, 1996.

[10] Suck J B, Schreiber M, Haussler P. Quasicrystals: An Introduction to Structure[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[11] Johnson D L. Symmetry[M]. London: Springer-Verlag, 2001.

A METHOD FOR THE GENERATORS OF THE SYMMETRY GROUPS OF REGULAR SOLIDS

*OUYANG Pei-chang, ZHAN Xiao-geng, DENG Zhi-yun, FANG Fa-ming

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

According to the geometrical meaning of the regular solids, we can derive its matrix generators directly. However, it is difficult to achieve the generators of regular polytopes in higher dimension space for there are no visible models. Given an abstract presentation of a regular polyhedral group, we propose a pure algebraic method to establish its generators. The method can be similarly extended to deal with the regular polytopes in higher dimension space.

regular solids; symmetry group; generators; reflection group

1674-8085(2015)06-0008-04

TP391

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.06.002

2015-07-06；修改日期：2015-08-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (11461035)；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20142BAB211012)；井岡山大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(JZB1303)；吉安市科技計(jì)劃項(xiàng)目(吉市科計(jì)字[2014]36號(hào)12)

*歐陽(yáng)培昌(1980-)，男，江西贛州人，講師，博士，主要從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究(E-mail: g_fcayang@163.com);

占小根(1980-)，男，江西上饒人，講師，碩士，主要從事時(shí)間序列研究(E-mail: 63088664@qq.com );

鄧志云(1976-)，男，江西吉安人，副教授，碩士，主要從事組合數(shù)學(xué)研究(E-mail: danzhiyun163@163.com);

范發(fā)明(1971-)，男，江西吉安人，講師，主要從事組合數(shù)學(xué)研究(E-mail: famingfan@163.com).