雙曲線因漸近線而精彩

●江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗

雙曲線因漸近線而精彩

●江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗

漸近線是雙曲線所特有的性質(zhì)，因此學(xué)好漸近線對(duì)學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)有很大的幫助.解決雙曲線的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，在深刻理解漸近線含義的基礎(chǔ)上，掌握一些常用的技巧和方法是必要的，本文以2015年江蘇卷中一道雙曲線客觀題為引例，探討一些與漸近線有關(guān)的命題及其解法.

引例 （2015年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)________.

解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x≥1），易發(fā)現(xiàn)直線x-y+1=0平行于漸近線x-y=0，所以c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題，通過(guò)挖掘隱含條件，即直線x-y+1=0與雙曲線x2-y2=1的漸近線平行，從而利用雙曲線與漸近線的關(guān)系解決問(wèn)題.

人教版選修2-1課后探究中，探究出了漸近線的存在，即當(dāng)雙曲線向外無(wú)限延伸時(shí)與直線無(wú)限地接近，但永遠(yuǎn)不會(huì)與這兩條直線相交.直線稱為雙曲線的漸近線.

（1）對(duì)圓錐曲線來(lái)說(shuō)，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì).利用雙曲線的漸近線并結(jié)合對(duì)稱性，可以幫助我們比較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙曲線的草圖.

（4）等軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線.雙曲線方程變成x2-y2=a2（或b2），其漸近線方程為y=±x.

總之，漸近線是雙曲線教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).下面就與雙曲線有關(guān)的命題展開(kāi)探究.

一、由漸近線方程確定離心率

在橢圓中，離心率反映的是橢圓圓或扁的程度，雙曲線的離心率反映了雙曲線的什么性質(zhì)？我們不妨從離心率與漸近線的關(guān)系來(lái)分析.設(shè)雙曲線方程（a>0，b>0），離心率漸近線的斜率越大，則離心率越大，雙曲線的開(kāi)口越開(kāi)闊，因此建立了漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.

例1（2013年重慶卷）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，且所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（% ）.

解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上.由題意知該雙曲線的一條漸近線的斜率k（k>0）必須滿足又雙曲線的離心率

點(diǎn)評(píng)： 由|A1B1|＝|A2B2|知兩直線A1B1和A2B2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，有且只有一條這樣的直線所成的角為60°，即存在兩直線與x軸的夾角為30°的情況，不存在兩直線與x軸的夾角為60°的情況，據(jù)此來(lái)確定漸近線的斜率，進(jìn)而求出雙曲線離心率的范圍.

二、由離心率反探漸近線

三、由漸近線方程確定曲線方程

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)確定的雙曲線有兩條確定的漸近線，而與兩條漸近線對(duì)應(yīng)的雙曲線有無(wú)數(shù)個(gè)，因此，已知漸近線求雙曲線方程還必須具備另一個(gè)條件.學(xué)習(xí)中要特別注意對(duì)逆向問(wèn)題的分析，提高解決逆向問(wèn)題的能力．本題通過(guò)利用共漸近線的雙曲線方程之間的關(guān)系，直接設(shè)出曲線方程，再利用已知條件確定參數(shù)的值即可.

四、利用漸近線確定直線與雙曲線的關(guān)系

對(duì)橢圓或圓來(lái)說(shuō)，如果其與某條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與曲線相切.但對(duì)于雙曲線和拋物線是否也成立呢？結(jié)論是否定的.將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立，代入消元（消x或y）得到一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，利用判別式等于0，可得出k的值.當(dāng)判別式為0時(shí)，直線與漸近線平行.

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

解析：當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，4）的直線與漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線與雙曲線的左支相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn).

故滿足條件的直線共有4條，答案為D.

點(diǎn)評(píng)：題目沒(méi)有要求求出直線的斜率，故只要判斷出滿足條件的直線有幾條即可，因此可利用數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)潔求解.注意當(dāng)直線與x軸垂直這一特殊情況，不要忽略.A