“圓”來如此
——巧用軌跡圓解題舉隅

●江蘇省淮安市淮海中學 王開林

“圓”來如此
——巧用軌跡圓解題舉隅

●江蘇省淮安市淮海中學 王開林

圓，一中同長也.即平面內與定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內與兩個定點的距離之比為不等于1的正數的點的軌跡也是一個圓.在解題中也常會遇到許多軌跡是圓的問題，下面筆者結合具體的示例談談自己教學的體會.

一、阿波羅尼斯圓：平面內與兩個定點的距離之比為不等于1的正數的點的軌跡是一個圓

例1 （2013年高考江蘇第17題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

化簡得：x2+（y+1）2=4，即：點M的軌跡是以（0，-1）為圓心、2為半徑的圓，可記為圓D．

又因為點M在圓C上，故圓C與圓D的關系為相交或相切．

評析：點M的軌跡是一個阿波羅尼斯圓，運用交軌法可將問題轉化為兩圓位置關系問題來解決.

二、若過橢圓上兩點的切線互相垂直，則這兩條切線的交點的軌跡是一個圓

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

（2）設兩切線為l1、l2，

①當l1⊥x軸或l1∥x軸時，對應的l2∥x軸或l2⊥x軸，可知P（±3，±2）.

因為點P（±3，±2）滿足上式，綜上知點P的軌跡方程為x2+y2=13.

評析：此題的結論可推廣到一般情況：若過橢圓上兩點的切線互相垂直，則這兩條切線的交點的軌跡是一個圓.

三、平面內到兩個定點A、B的距離的平方之和為定值點的軌跡是圓

例3（2015年徐州三模第12題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，點A（0，2），若圓C上存在點M，滿足|MA|2+|MO|2=10，則實數a的取值范圍是_______.

解析：設點M（x，y）.

由|MA|2+|MO|2=10，得x2+y2+x2+（y-2）2=10，整理得：x2+（y-1）2=4.由題意知兩圓有公共點，則R-r≤d≤R+r，即1≤a2+（a-3）2≤32，解得0≤a≤3.

評析：滿足|MA|2+|MO|2=10的點M的軌跡是一個圓，運用交軌法可將問題轉化為兩圓的位置關系問題來解決.

四、直角三角形的直角頂點在一個定圓內，另外兩個頂點在圓上，斜邊的中點的軌跡是一個圓

例4（2014年常州市高三數學試題第14題）在平面直角坐標xOy中，已知圓O：x2+y2=16，點P（1，2），M、N為圓上不同的兩點，且滿足的最小值為______.

軌跡為圓的問題在此無法一一列舉，通過以上幾道例題，我們可以清楚地看到利用軌跡圓來解題，可以化繁為簡，事半功倍.A