巧用極限思想探究函數(shù)圖象的走向

極限思想從數(shù)量上描述了變量在運動過程中的變化趨勢.函數(shù)圖象在間斷點附近或無窮遠時的變化趨勢等，均要用到極限思想來考慮，成為解答數(shù)學問題過程中的一個重要環(huán)節(jié).用這樣的策略來幫助學生理解極限思想，學生很容易接受，可以說效果很滿意.

例1（2013年高考山東卷·文9理8）函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析因為函數(shù)y=xcosx+sinx是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，這樣可排除B.又當x=π時，y=-π<0，這時可排除A.當x是一個無限接近于0的正數(shù)時，y>0，故可排除C.因此選D.

評注（1）此題用極限思想來解答的亮點是，當x是一個無限接近于0的正數(shù)時，y>0.（2）判斷函數(shù)的圖象問題，往往要把函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）、最值、在某區(qū)間上的函數(shù)值的正負、特殊點和極限思想綜合起來考慮.（3）此題不用極限思想也易解答，y=xcosx+sinx是奇函數(shù)，否定B.當00，否定C.當π

例2（2012年高考山東卷·文10理9）函數(shù)y=cos6x2x-2-x的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以排除A.當x→0+（x從y軸的右邊無限趨近于0）時，4x-1無限趨近于一個

很小的正數(shù)，如圖1，且（12）x無限趨近于1

（4x-1）·（12）x無限趨近于一個很小的正數(shù)圖1

1（4x-1）·（12）x無限趨近于一個很大的正數(shù)，即

1（4x-1）·（12）x→+∞.又12x-2-x=1（4x-1）（12）x，所以

12x-2-x無限趨近于一個很大的正數(shù)，即12x-2-x→+∞，又當x→0+（x從y軸的右邊無限趨近于0）時，cos6x→+1（cos6x從y軸的右邊無限趨近于1）.綜上，12x-2-x·cos6x→+∞（12x-2-x·cos6x無限趨近于一個很大的數(shù)）.

當x→+∞時，12x-2-x→0，而|cos6x|≤1，所以當x→+∞時，12x-2-x·cos6x→0，即f（x）→0.故選D.

評注（1）此題雖然可用函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）、零點及函數(shù)值的正負來解答，但是由此不容易看出函數(shù)圖象的走向.（2）用函數(shù)的性質(zhì)、零點及函數(shù)值的正負可有如下解答：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，由此排除A.令y=0得cos6x=06x=π2+kπ（k∈Z）x=π12+kπ6（k∈Z）函數(shù)有無窮多個零點，所以可排除C.因為函數(shù)y軸右側(cè)的第一個零點為π12，又函數(shù)y=2x-2-x為增函數(shù)，所以當00，cos6x>0，所以y=cos6x2x-2-x>0，由此排除B.故選D.

例3（2010年高考山東卷·文11理11）函數(shù)y=2x-x2的大致圖象是（）.

A.B.C.D.

分析由函數(shù)y=2x-x2可知2與4是其函數(shù)的兩個零點，由此可排除B和C.又當x→-∞（x從一個很大的負數(shù)向很小的負數(shù)無限趨近）時，2x→0，-x2→-∞2x+（-x2）→-∞，即2x-x2→-∞，即y→-∞，從而選A.

評注由函數(shù)y=2x-x2可知2與4是其函數(shù)的兩個零點，由此可排除B和C.又f（-1）=2-1-（-1）2=-12<0，由此可排除D.故選A.這種解答思路看不出函數(shù)y=2x-x2的圖象的走向.

例4（2009年高考山東卷·文6理6）函數(shù)y=ex+e-xex-e-x的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析若使函數(shù)有意義，必須使ex-e-x≠0x≠0，所以函數(shù)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，由此可排除C和D.又因為y=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，所以當x→0+（x從y軸的

右邊無限趨近于一個很小的正數(shù)）時，e2x-1

趨近于一個很小的正數(shù)，如圖2圖2

2e2x-1→+∞1+2e2x-1→+∞，即y→+∞，

故選A.

評注（1）由函數(shù)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}可排除C和D.當x=12時，y=1+2e-1>2，由此可排除B.故選A.這種解法看不出函數(shù)圖象的走向.（2）也可從x→0-入手.

有些題目表面上看雖然與極限無關(guān)，但是若用運動變化的觀點，靈活地運用極限思想來思考，往往可避免復(fù)雜的運算，優(yōu)化解題過程和解題方法，降低解題難度.極限思想也是一種探索解題思路或切入點的有效武器，在解題過程中有良好的導(dǎo)向作用.

極限思想的精髓是逼近、趨近、無限接近.利用這種變化趨勢，我們可以更形象、更直觀、更細致地認識函數(shù)的圖象，由此也就更深刻地認識了函數(shù)的性質(zhì).在高中數(shù)學教學中，特別是在高三數(shù)學復(fù)習教學中，教師應(yīng)該予以足夠重視.作者簡介武增明，男，1965年5月生，云南易門人，中學高級教師，玉溪市數(shù)學學科帶頭人，玉溪市勞模.在省級及其以上數(shù)學專業(yè)刊物上發(fā)表教育教學論文140余篇.主要從事高中數(shù)學教學及其研究.