從一題多解談高階行列式的計(jì)算方法

摘 要：行列式的計(jì)算是求解線性方程組的重要工具，是線性代數(shù)的基礎(chǔ)。其中，高階行列式的計(jì)算方法尤為重要。由于高階行列式的計(jì)算應(yīng)用定義法較為復(fù)雜，本文通過求解一道習(xí)題，給出計(jì)算高階行列式除基本算法—— 化三角形法外，還有疊加法、加邊法、析因法、輔助行列式、遞推公式法和數(shù)學(xué)歸納法等6種計(jì)算方法，并給出每個(gè)方法適應(yīng)的條件和解題步驟。行列式計(jì)算方法多種多樣，高階行列式形式雖然復(fù)雜，只要在計(jì)算過程中，仔細(xì)觀察行列式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，既可以在保證計(jì)算速度，又可以保證計(jì)算質(zhì)量，還可以使高階行列式的計(jì)算變得簡單。計(jì)算就會(huì)變得比較容易。

關(guān)鍵詞：高階行列式 計(jì)算 方法

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）07（b）-0224-02

行列式的計(jì)算是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基礎(chǔ)，是求解線性方程組的基礎(chǔ)，但行列式的計(jì)算方法很多，綜合性較強(qiáng)。首先介紹一下行列式的定義與性質(zhì)。

1 行列式的定義與性質(zhì)

1.1 行列式的定義

將個(gè)數(shù)排成n行n列并在左右兩邊各加一豎線后得到的算式稱為n階行列式，通常用大寫字母表示。記為。其中D為n階行列式指的n！項(xiàng)的代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能的取自D1的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積。項(xiàng)的符號(hào)為，如果是偶排列時(shí)，這一項(xiàng)是正的，如果是奇排列時(shí)，這一項(xiàng)是負(fù)的。

1.2 行列式的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：行與列互換，行列式的值不變。

（2）性質(zhì)2：交換兩行（列）的位置，行列式的值變號(hào)。

（3）性質(zhì)3：某行（列）的公因子可以提到行列式的符號(hào)外。

（4）性質(zhì)4：如果某行（列）的所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和；這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之一，其余各行（列）元素與原行列式相同。

（5）性質(zhì)5：某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式的值不變。

有以上性質(zhì)還可以得出以下方面。

（1）推論1：兩行（列）對(duì)應(yīng)元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式的值為0。

（2）推論2：某行（列）元素全為0，行列式的值為0。

（3）推論3：兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，行列式的值為0。

2 高階行列式的計(jì)算方法與應(yīng)用舉例

行列式是求解線性方程組的重要工具，在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在文獻(xiàn)[7]中主要研究的是求解特殊行列式—— 缺行范德蒙行列式的計(jì)算方法，但是對(duì)應(yīng)一般的高階行列式?jīng)]有歸納總結(jié)。

行列式的計(jì)算方法多種多樣，一般用行列式的定義、性質(zhì)、化三角形法等方法計(jì)算行列式，但對(duì)于一些高階行列式或含有字母的行列式，用一般方法計(jì)算顯得有些費(fèi)勁，甚至是不容易求解出來。通過參考教材[1-3]及文獻(xiàn)[4-6]，收集一些計(jì)算行列式的計(jì)算方法。下面以一道題目為例，介紹幾種計(jì)算高階行列式的方法。

例Dn=

2.1 化三角形法

通過運(yùn)用行列式的性質(zhì)，對(duì)行（或列）進(jìn)行消去變換，消去變換可將原行列式主對(duì)角線一側(cè)的元素全化為零（三角行列式）。此方法是求解行列式最常用的方法。

例題解法1

2.2 疊加法

仔細(xì)觀察這個(gè)行列式，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一行（列）構(gòu)成的元素相同，將第2行、第3行、…、第n行加到第一行再進(jìn)行計(jì)算。該方法適用于每行（列）構(gòu)成元素相同，即把所有的行（列）加起來相同。

例題解法2

2.3 加邊法

根據(jù)行列式的特點(diǎn)，在原行列式的基礎(chǔ)上添行列使其升階構(gòu)造一個(gè)容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。此方法適合行列式除了字母以外行對(duì)應(yīng)元素?cái)?shù)字構(gòu)成相同。

例題解法3

2.4 析因法

析因法是根據(jù)行列的性質(zhì)結(jié)合多項(xiàng)式的理論而成的方法。如例題，可以將行列式Dn看作一個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式f（x），然后對(duì)行列式施行某些變換或求導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的互素的一次因式，使f（x）與這些因式的乘積h（x）只相差一個(gè)常數(shù)k，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較f（x）與h（x）的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出c值，便可求得Dn=ch（x）。

例題解法4

設(shè)Dn=f（x），根據(jù)Dn的形式，當(dāng)x=a（行列式元素相同根據(jù)性質(zhì)行列式值為0），x=（n-1）a（行列式的第一列是第2列、第3列、第4列…、第n列的和，根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式值為0）是Dn=0，所以（x-a）、（x-（n-1）a）是f（x）的一次因子。

根據(jù)行列式的求導(dǎo)法則，可以得：

一般地，遞推公式法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，然后按行（列）展開，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系，再把再根據(jù)此關(guān)系遞推求得所給行列式的值。

2.6 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是常用的證明方法，利用數(shù)學(xué)歸納法來計(jì)算行列式分兩步進(jìn)行：第一步是發(fā)現(xiàn)和猜想；第二步是證明猜想的正確性。

一般地，若要證的結(jié)果已知時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法來證明，其步驟如下：（1）驗(yàn)證n取第一個(gè)值（n=0，1或2等）時(shí)公式成立；（2）假定n=k時(shí)公式成立，驗(yàn)證當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立，若要求的結(jié)果未知時(shí)，也可先猜想其結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想結(jié)果成立。

2.7 輔助行列式法[4]

輔助行列式法的解題步驟是：在行列式的各元素中加上一個(gè)數(shù)x，使新行列式除主對(duì)角線外，其余各元素均為0，然后計(jì)算新行列式的主對(duì)角線上各元素的代數(shù)余子式，最后所求行列式。

例題解法7

對(duì)行列式每一個(gè)元素加-a，得到的新行列式為：

通過上述計(jì)算，可以看出行列式的計(jì)算是靈活多樣的，只要在高階行列式的計(jì)算過程中，仔細(xì)觀察行列式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，既可以在保證計(jì)算速度，又可以保證計(jì)算質(zhì)量，還可以使高階行列式的計(jì)算變得簡單。該文通過例題的多解，總結(jié)求解計(jì)算高階行列式的幾種方法。

參考文獻(xiàn)

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[3]徐仲，陸全，張凱院，等.高等代數(shù)（北大·第3版）導(dǎo)教·導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)考[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2003.

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