基于Blackman自卷積窗及三譜線插值修正的介質(zhì)損失角計(jì)算方法

王永強(qiáng)，謝 軍，律方成

（華北電力大學(xué) 輸變電設(shè)備安全防御河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 保定 071003）

0 引言

介質(zhì)損失角是衡量電氣設(shè)備絕緣性能的一個(gè)重要參數(shù)［1］，對(duì)介質(zhì)損失角進(jìn)行精確監(jiān)測(cè)與計(jì)算能為電氣設(shè)備故障診斷提供可靠依據(jù)，為電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行提供重要保障［2-3］。

正常情況下，介質(zhì)損失角為一個(gè)很小的值，約為0.001～0.02rad［4］，實(shí)際測(cè)量中其真值常容易被誤差所湮沒?；谥C波分析理論（快速傅里葉變換（FFT）及其改進(jìn)算法）的介質(zhì)損失角計(jì)算方法由于算法易于實(shí)現(xiàn)、受直流及諧波分量的干擾小而成為了介質(zhì)損失角計(jì)算的典型方法［5-10］，但由于電力系統(tǒng)頻率常常發(fā)生波動(dòng)，難以保證對(duì)待分析信號(hào)準(zhǔn)確做到同步采樣，使FFT存在頻譜泄漏以及柵欄效應(yīng)，其計(jì)算結(jié)果尤其是相位結(jié)果誤差很大，難以直接用于介質(zhì)損失角的計(jì)算［11］?；?Blackman 窗［6］、Rife-Vencent窗［7］、Hanning 窗［8］、Kaiser 窗［9］、Nuttall 窗［10］等 加 窗插值FFT介質(zhì)損失角計(jì)算方法相繼被提出，通常這些方法是在信號(hào)加窗后利用目前應(yīng)用較廣的雙譜線插值算法減小頻譜泄漏及柵欄效應(yīng)的影響，使介質(zhì)損失角仿真計(jì)算結(jié)果絕對(duì)誤差小于10-5rad［6-8］。

然而，采用傳統(tǒng)加窗方法進(jìn)行介質(zhì)損失角計(jì)算時(shí)，計(jì)算量相對(duì)較大，且非同步采樣時(shí)，傳統(tǒng)窗函數(shù)抑制頻譜泄漏的能力是有限的；僅采用雙譜線插值會(huì)丟失與準(zhǔn)確頻譜相關(guān)的重要信息，甚至可能由于長(zhǎng)程頻譜泄漏的影響造成插值方向選擇錯(cuò)誤［12］，增大計(jì)算誤差。為減少頻譜泄漏對(duì)基波分析結(jié)果的影響，并提高插值法計(jì)算精度，進(jìn)一步減小介質(zhì)損失角的計(jì)算誤差，本文提出了一種基于Blackman自卷積窗BSCW（Blackman Self-Convolution Window）及三譜線插值修正的介質(zhì)損失角計(jì)算方法。在頻率波動(dòng)、介質(zhì)損失角真值變化、諧波比例變化、白噪聲影響等不同情況下，通過仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析了運(yùn)用本文所提方法、加Blackman自卷積窗結(jié)合雙譜線插值法、加Blackman窗結(jié)合雙譜線插值法這3種介質(zhì)損失角計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)討論了采樣頻率對(duì)本文算法結(jié)果的影響；搭建介質(zhì)損失角模擬測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提方法的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性。仿真與模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，運(yùn)用本文所提方法能夠有效抑制頻譜泄漏以及柵欄效應(yīng)，介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果精度有較大提高。

1 Blackman自卷積窗及其頻率特性

1.1 Blackman 自卷積窗定義

文獻(xiàn)［13］對(duì)矩形窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算構(gòu)造矩形自卷積窗從而提升了窗函數(shù)旁瓣性能。由于原始矩形窗旁瓣性能較差，進(jìn)行自卷積運(yùn)算旁瓣性能提升有限，為了進(jìn)一步提高旁瓣性能，參照文獻(xiàn)［13］方法，本文采用旁瓣性能較好且結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的Blackman窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算，構(gòu)造Blackman自卷積窗。

長(zhǎng)度為N的Blackman窗wB（n）可表示為：

其中，n=0，1，…，N-1。

由自卷積性質(zhì)，長(zhǎng)度為N的Blackman窗進(jìn)行P階自卷積后，所得新序列長(zhǎng)度為NP-（P-1），在該卷積序列末尾補(bǔ)零，可得P階Blackman自卷積窗wBP（n），即：

長(zhǎng)度為N的Blackman窗序列經(jīng)P階自卷積并補(bǔ)零后，所得P階Blackman自卷積窗長(zhǎng)度NP=NP。

1.2 Blackman自卷積窗頻率特性

根據(jù)離散傅里葉變換，長(zhǎng)度為N的Blackman窗的頻譜函數(shù)為：

其中，ω為歸一化角頻率；ah為Blackman窗各項(xiàng)系數(shù)，a0=0.42，a1=0.5，a2=0.08。

由卷積定理，信號(hào)在時(shí)域內(nèi)卷積等于其在頻域內(nèi)乘積，故P階Blackman自卷積窗頻譜函數(shù)為：

根據(jù)1.1節(jié)中的分析，長(zhǎng)度為N的Blackman窗P階自卷積后，新窗的長(zhǎng)度為NP=NP，對(duì)式（4）離散化，即 ω=2 kπ/NP（k=0，1，…，NP-1）。 P 階Blackman自卷積窗離散頻譜函數(shù)為：

當(dāng) k=（3+τ）NP/N（τ=0，1，…，N-4）時(shí)，上式成立。

由式（6），當(dāng)τ=0時(shí)，k為中心頻點(diǎn)右側(cè)首個(gè)過零點(diǎn)，此時(shí)k=3P，故中心頻點(diǎn)與右側(cè)首個(gè)頻率過零點(diǎn)之間的距離為6Pπ/NP，由離散傅里葉變換基本性質(zhì)，頻率分布關(guān)于中心頻點(diǎn)對(duì)稱。故主瓣寬度為：

由式（7）可知，P階Blackman自卷積窗的主瓣寬度和原Blackman窗主瓣寬度相等。

由式（6），τ=1時(shí)，k為中心頻點(diǎn)右側(cè)第2個(gè)過零點(diǎn)，故 k=（3+0.5）NP/N=3.5P 時(shí)，具有最大旁瓣值，則Blackman自卷積窗的旁瓣峰值電平B（單位為dB）為：

Blackman自卷積窗的旁瓣衰減速率V（dB/倍頻程）定義為倍頻程的旁瓣值之比的分貝數(shù)：

由式（8）、（9）知，隨著卷積階數(shù)的提高，旁瓣峰值迅速減小，旁瓣衰減速率迅速增大。P=4時(shí)，旁瓣峰值電平達(dá)-236dB，旁瓣衰減速率為72dB/倍頻程。由此可見，Blackman自卷積窗具有非常良好的旁瓣性能，能夠有效抑制頻譜泄漏效應(yīng)。

2 三譜線插值理論

待測(cè)信號(hào)經(jīng)采樣頻率為fs的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)后，被長(zhǎng)度為NP的P階Blackman自卷積窗截?cái)酁樾蛄衳W（n），對(duì)此序列進(jìn)行離散傅里葉變換，考慮到本文所提Blackman自卷積窗優(yōu)越的旁瓣性能，負(fù)頻率分量的頻譜泄漏影響作用可忽略不計(jì)［13］，忽略其余諧波產(chǎn)生的頻譜泄漏影響，基波頻譜函數(shù)為：

其中，A1為基波幅值；φ1為基波相位；q0為基波譜線在離散譜線中的位置，并有q0=fs/f0，f0為基波頻率。

非同步采樣時(shí)，q0為非整數(shù)，其不與任一離散譜線q重合，會(huì)有一定頻率偏移量。直接通過某離散譜線q計(jì)算基波各參量尤其是初相位會(huì)有較大誤差。常用的雙譜線插值法是利用q0附近兩幅值較大譜線進(jìn)行插值計(jì)算得到頻率偏移量近似值［6-8］。然而，最大幅值譜線及其左右緊鄰譜線往往均具有較大幅值，且這些譜線均主要是由基波頻譜泄漏產(chǎn)生的，含有豐富的基波相關(guān)信息，只用兩幅值較大譜線進(jìn)行插值運(yùn)算勢(shì)必會(huì)造成基波信息量的丟失［14］；且僅用兩幅值較大譜線插值運(yùn)算，當(dāng)這兩譜線幅值幾乎相等時(shí)，由于負(fù)頻率分量長(zhǎng)程泄漏作用可能會(huì)使插值方向選擇發(fā)生錯(cuò)誤，嚴(yán)重影響校正精度［12］。 文獻(xiàn)［14］提出利用最大幅值譜線及其左右緊鄰譜線這3根幅值較大譜線用于插值計(jì)算即三譜線插值頻譜校正方法避免上述影響，提高頻譜校正精度。

設(shè)幅值最大譜線為q2，則其左右幅值較大譜線分別為q1和q2，且有q1=q2-1、q3=q2+1。對(duì)應(yīng)的譜線幅值分別為由于 q0-q2?［-0.5，0.5］，引入?yún)?shù) λ，并令 λ=q0-q2，則 λ?［-0.5，0.5］。

由于 f（λ）=-f（-λ），即 β=f（λ）為奇函數(shù)，故其反函數(shù)λ=f-1（β）僅有奇次冪項(xiàng)，可由最小二乘法對(duì)λ=f-1（β）進(jìn)行擬合，進(jìn)而由 β 求得［15］。 考慮到算法計(jì)算精度與復(fù)雜程度，逼近次數(shù)一般不超過7次［14］，對(duì)于4階Blackman自卷積窗，其三譜線插值多項(xiàng)式擬合函數(shù)為：

由于幅值最大譜線最接近基波準(zhǔn)確譜線，且噪聲對(duì)其影響效果最小，用其值進(jìn)行修正，結(jié)果精度較高，故應(yīng)用q2譜線進(jìn)行修正。由λ＝q0-q2，有：

分別對(duì)電流與電壓信號(hào)進(jìn)行分析，可求得電流與電壓基波信號(hào)的相位角分別為φi1、φu1，則介質(zhì)損失角為：

3 介質(zhì)損失角仿真計(jì)算與結(jié)果分析

3.1 仿真模型

容性設(shè)備可采用電容串聯(lián)電阻或電容并聯(lián)電阻這2種等效電路進(jìn)行模擬，如圖1所示。

圖1 容性設(shè)備等效電路Fig.1 Equivalent circuit of capacitive equipment

設(shè)R、C分別為等效電路電阻及電容值，則并聯(lián)等效電路及串聯(lián)等效電路介質(zhì)損失角計(jì)算公式分別如式（15）、（16）所示。

本節(jié)采用串聯(lián)等效電路等效容性設(shè)備，其中電容值 C=591.02 pF，電阻值 R=22.67 kΩ，基波頻率為50 Hz時(shí)，介質(zhì)損失角為0.004209 rad。電壓信號(hào)由基波、3次諧波和5次諧波組成，其表達(dá)式為：因此，流過該容性設(shè)備的電流信號(hào)表達(dá)式為：i（t）=u（t） /Z，Z 為該容性設(shè)備等效電路阻抗值。

為了驗(yàn)證本文所提介質(zhì)損失角測(cè)量算法效果，采用了加Blackman自卷積窗結(jié)合三譜線插值法、加Blackman自卷積窗結(jié)合雙譜線插值法、加Blackman窗結(jié)合雙譜線插值法這3種基于FFT的介質(zhì)損失角計(jì)算方法，仿真分析在不同情況下介質(zhì)損失角的計(jì)算結(jié)果。雙譜線插值法采用文獻(xiàn)［6］中方法。其中，Blackman自卷積窗由原始長(zhǎng)度為64的Blackman窗構(gòu)建4階自卷積窗得到，即自卷積窗長(zhǎng)度為256，信號(hào)采樣長(zhǎng)度為256，采樣頻率為2.25 kHz；對(duì)于普通Blackman窗，窗函數(shù)長(zhǎng)度為512，信號(hào)采樣長(zhǎng)度為512，采樣頻率為 2.25 kHz。

3.2 基波頻率波動(dòng)對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果的影響

電力系統(tǒng)基波頻率波動(dòng)情況時(shí)有發(fā)生，為了驗(yàn)證基波頻率波動(dòng)對(duì)本文算法結(jié)果的影響，結(jié)合3.1節(jié)中仿真模型，基波頻率在49.6～50.4Hz范圍變化時(shí)，3種介質(zhì)損失角計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 基波頻率波動(dòng)對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果的影響Table 1 Influence of fundamental frequency on DLA calculation

由表1可知，系統(tǒng)基波頻率波動(dòng)時(shí)，相比普通Blackman窗，Blackman自卷積窗的介質(zhì)損失角計(jì)算誤差更?。蝗V線插值比雙譜線插值計(jì)算精度提高了大約2個(gè)數(shù)量級(jí)；基于本文方法的介質(zhì)損失角計(jì)算精度明顯提高，在正常頻率波動(dòng)范圍（49.8～50.2 Hz）內(nèi)，只需較少采樣數(shù)據(jù)和較小采樣頻率就可實(shí)現(xiàn)介質(zhì)損失角的高精度計(jì)算，且相對(duì)誤差小于2.5×10-7%。

3.3 介質(zhì)損失角真值變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

介質(zhì)損失角通常是一個(gè)很小的值，其真值越小，測(cè)量結(jié)果越容易被誤差所湮沒。為了分析介質(zhì)損失角真值變化對(duì)本文算法的影響，通過仿真模型中電阻值R的改變實(shí)現(xiàn)介質(zhì)損失角真值的變化?；l率為50.1 Hz時(shí)，不同介質(zhì)損失角真值下，3種計(jì)算方法的介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，3種介質(zhì)損失角計(jì)算方法均能有效跟蹤介質(zhì)損失角真值的變化；介質(zhì)損失角真值相同時(shí)，加普通Blackman窗的雙譜線插值法計(jì)算介質(zhì)損失角誤差最大，基于本文方法的介質(zhì)損失角計(jì)算精度最高；介質(zhì)損失角真值在 0.001～0.02 rad 范圍內(nèi)時(shí)，利用本文方法計(jì)算的介質(zhì)損失角相對(duì)誤差小于1×10-6%。

3.4 諧波比例變化對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果影響

由于頻譜泄漏的作用，諧波會(huì)對(duì)基波的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，諧波比例變化將直接影響到介質(zhì)損失角的測(cè)量結(jié)果。在基波頻率為49.9 Hz時(shí)，3次諧波注入比例從0變化至10%時(shí)，各方法介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表2 介質(zhì)損失角真值對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響Table 2 Influence of DLA true value on DLA calculation

表3 諧波比例對(duì)介質(zhì)損耗角計(jì)算結(jié)果的影響Table 3 Influence of harmonic ratio on DLA calculation

由表3結(jié)果可知，當(dāng)3次諧波注入比例發(fā)生變化時(shí)，采用相同插值方法，基于Blackman自卷積窗的介質(zhì)損失角計(jì)算精度明顯高于普通Blackman窗；加Blackman自卷積窗時(shí)，三譜線插值算法的計(jì)算精度比雙譜線插值法的計(jì)算精度高大約2個(gè)數(shù)量級(jí)?；贐lackman自卷積窗及三譜線插值法的介質(zhì)損失角計(jì)算方法能有效克服諧波比例變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

3.5 白噪聲對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果的影響

電氣設(shè)備介質(zhì)損失角及其正切測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)有大量的電磁噪聲。在白噪聲環(huán)境下，介質(zhì)損失角真值易被噪聲所湮沒?；l率設(shè)置為50 Hz，不同信噪比下，各方法介質(zhì)損失角的絕對(duì)誤差e如圖2所示。

圖2 白噪聲對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果的影響Fig.2 Influence of white noise on DLA calculation

對(duì)比分析3種方法的計(jì)算結(jié)果可知，白噪聲對(duì)本文算法的影響最小，采用本文介紹算法，可有效避免噪聲對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算精度的影響。當(dāng)信噪比大于60 dB時(shí)，本文方法介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果絕對(duì)誤差小于10-5rad，其準(zhǔn)確度比采用雙譜線Blackman自卷積窗介質(zhì)損失角計(jì)算方法高1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。

3.6 采樣頻率變化對(duì)本文算法介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果影響

為了研究采樣頻率對(duì)本文算法精度的影響，基波頻率設(shè)置為 49.8 Hz，改變采樣頻率，運(yùn)用 3.1 節(jié)中介紹的仿真模型對(duì)本文算法進(jìn)行仿真計(jì)算，其結(jié)果如表4所示。

表4 采樣頻率變化對(duì)介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果的影響Table 4 Influence of sampling frequency on DLA calculation

表4 結(jié)果表明，采樣數(shù)據(jù)過短時(shí)，介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)有所增加，這主要是因?yàn)椴蓸訑?shù)據(jù)較短時(shí)，負(fù)頻率部分頻譜泄漏效應(yīng)對(duì)基波的影響會(huì)加大，影響文中三譜線校正插值公式的適用條件，適當(dāng)增加采樣數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度可保證基波頻點(diǎn)距離ω=0較遠(yuǎn)，可有效避免負(fù)頻率部分頻譜泄漏影響［12］，保證介質(zhì)損失角的計(jì)算精度。因此采樣頻率變化時(shí)，本文算法能滿足介質(zhì)損失角計(jì)算精度的要求。

4 實(shí)驗(yàn)室模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際容性設(shè)備介質(zhì)損失角受溫度、濕度等因素的綜合影響，且西林電橋易受現(xiàn)場(chǎng)電磁場(chǎng)等干擾，難以直接得出介質(zhì)損失角準(zhǔn)確值，無法驗(yàn)證本文算法的計(jì)算結(jié)果精度。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的準(zhǔn)確性和有效性，本文在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行了介質(zhì)損失角模擬測(cè)量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)接線圖如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)接線Fig.3 Schematic diagram of experimental wiring

信號(hào)發(fā)生器用于產(chǎn)生固定頻率的正弦交流信號(hào)；采用并聯(lián)等效電路模擬容性設(shè)備［16］，其中，Rs為采樣電阻，等效電容Cx為4個(gè)標(biāo)稱值為22 μF的電容并聯(lián)而成，電阻Rx是1～15 kΩ的可變電阻，通過調(diào)節(jié)圖3中的旋鈕實(shí)現(xiàn)電阻的變化，進(jìn)而模擬容性設(shè)備不同介質(zhì)損失角真值。A1、A2為BCT-2型穿心式微電流傳感器，該傳感器基于Rogowski線圈原理，同時(shí)采用零磁通補(bǔ)償技術(shù)減小誤差，使測(cè)量電流在工頻附近時(shí)，相角誤差可以忽略。其中A1同采樣電阻配合，用于測(cè)定試品兩端電壓信號(hào)，A2用于測(cè)定試品泄漏電流信號(hào)；電壓信號(hào)、電流信號(hào)經(jīng)PCI-9812數(shù)據(jù)采集卡采集并保存送入計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；經(jīng)信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的電源信號(hào)為50.1Hz，采樣精度為12位，采樣頻率設(shè)置為1 MHz，為非同步采樣。

為了便于驗(yàn)證本文介紹介質(zhì)損失角計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，實(shí)驗(yàn)前用DMM4050型高精度數(shù)字萬用表測(cè)出 Cx、Rx的實(shí)際值，由式（15）計(jì)算出介質(zhì)損失角實(shí)際值。

運(yùn)用本文算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析并計(jì)算出介質(zhì)損失角。表5為不同介質(zhì)損失角真值下，運(yùn)用本文方法的介質(zhì)損失角測(cè)量結(jié)果。

表5 模擬實(shí)驗(yàn)介質(zhì)損失角測(cè)量結(jié)果Table 5 Measured DLAs by analogue experiment

由表5結(jié)果，考慮到實(shí)驗(yàn)干擾、采樣精度等對(duì)結(jié)果影響后，運(yùn)用本文方法得到的介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果仍然保持較高精度，驗(yàn)證了本文方法的有效性與準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

本文研究了Blackman自卷積窗的頻率特性，給出了Blackman自卷積窗旁瓣峰值電平及旁瓣衰減速率與自卷積階數(shù)的關(guān)系；在分析加窗信號(hào)離散頻譜基礎(chǔ)上，提出基于三譜線插值的FFT修正方法。結(jié)合上述分析，提出了一種基于Blackman自卷積窗和三譜線插值法的介質(zhì)損失角測(cè)量方法。在不同情況下，對(duì)比分析了本文所提算法與加普通Blackman窗及Blackman自卷積窗的雙譜線插值法的介質(zhì)損失角計(jì)算結(jié)果，給出了采樣頻率對(duì)本文算法結(jié)果的影響關(guān)系，并通過模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法計(jì)算結(jié)果的有效性與準(zhǔn)確性。本文結(jié)論如下：

a.Blackman自卷積窗旁瓣性能優(yōu)越，能有效抑制頻譜泄漏，提高介質(zhì)損失角計(jì)算精度；

b.相比雙譜線插值法，三譜線插值法可進(jìn)一步提高介質(zhì)損失角計(jì)算精度，且加同樣Blackman自卷積窗時(shí)，精度高約2個(gè)數(shù)量級(jí)；

c.本文方法計(jì)算結(jié)果精度高，為容性設(shè)備介質(zhì)損失角在線監(jiān)測(cè)提供了一種潛在的高精度算法。