非擴張映射的公共最佳逼近點問題

隋林林，肖 松

(哈爾濱師范大學)

1 引言及預備知識

最佳逼近點理論的研究源于對不動點理論的研究.1969 年，Ky Fan［1］在 Tvchonoff［6］不動點定理的基礎上，提出了經典的最佳逼近點定理.

定理1.1［1］設X是賦范線性空間E中的非空緊凸子集，映射T:X→E是連續(xù)映射.則存在y0∈X，使得

對于非線性規(guī)劃問題

不一定能找到最優(yōu)解x.使得d(x，Tx)的誤差達到全局最小值.

事實上，若A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，對于任意的x∈A，Tx∈B，一定有d(x，Tx)≥d(A，B).如果存在x*滿足條件d(x*，Tx*)=d(A，B)，則x*是這個非線性規(guī)劃問題的解.因此，x*是最佳逼近點.

定義1.1 設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，設映射T:A→B，若存在x*∈A，使得d(x*，Tx*)=d(A，B)，則稱x*為T的最佳逼近點.

在不動點理論的研究中，具有壓縮條件的映射的不動點定理一直扮演著很重要的角色.它最初起源于1922年Banach提出的壓縮影像原理.他指出完備度量空間中每個壓縮映射都有唯一不動點.之后，一些學者對Banach壓縮映射原理進行了推廣.其中，在2003年，Kirk［2］等人提出了以下結論.

定理1.2［2］設A，B是完備度量空間X中的非空子集，映射T:A∪B→A∪B滿足T(A)?B，T(B)?A.若對任意的x∈A，y∈B，α∈(0，1)，有

則A∩B≠?，T在A∩B中有唯一不動點.

上述結論中，當α=1時，壓縮映射變?yōu)榉菙U張映射.

定義1.2 設(X，d)是距離空間，映射T:X→X.若對任意的x，y∈X，有d(Tx，Ty)≤d(x，y)，則稱T是X上的非擴張映射.

2005 年，Eldred，Kirk和Veeramani［3］推廣了Milman和Brodskii［4］所提出的正規(guī)結構，給出了逼近正規(guī)結構的概念.

定義1.3［3］設在Banach空間中的凸集對(K1，K2)具有逼近正規(guī)結構是指:對任意的有界閉凸逼近對(H1，H2)? (K1，K2)，若d(H1，H2)=d(K1，K2)，并且δ(H1，H2)＞d(K1，K2)，則一定存在(x1，x2)∈H1×H2，使得

δ(x1，H2)＜δ(H1，H2)，δ(x2，H1)＜δ(H1，H2)

定理1.3［3］設(A，B)是 Banach 空間中的非空弱緊凸對，(A，B)具有逼近正規(guī)結構.若映射T:A∪B→A∪B滿足下列條件:

則存在(x，y)∈A×B，使得

2009 年，A.Thagafi和 Shahzad［5］引進了一種新的壓縮映射，叫做循環(huán)φ-壓縮映射.并給出了循環(huán)φ-壓縮映射的最佳逼近點定理.

定義1.4［5］設A，B是度量空間X中的非空子集，映射T:A∪B→A∪B滿足T(A)?B，T(B)?A.若存在嚴格增的函數φ:［0，+∞)→［0，+∞)使得

則稱T是循環(huán)φ-壓縮映射.

定理1.4［5］設A，B是一致凸的Banach空間X中的非空子集，A是閉凸集，T:A∪B→A∪B是循環(huán)φ-壓縮映射.若對于x0∈A，定義xn+1=Txn，n=0，1，2，…，則存在x∈A，使得x2n→x，T2x=x，并且d(x，Tx)=d(A，B).

2011年，Sankar［7］在P-性質的條件下證明出對于一個弱壓縮映射存在最佳逼近點.2012 年，Abkar和 Gabeleh［8］基于 Sankar的理論，證明了在一個非擴張映射下的最佳逼近點問題.

上述所研究的是一個映射的最佳逼近點問題，下面考慮，是否存在兩個映射的公共最佳逼近點.設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，S:A→B和T:A→B為非自身映射，那么方程Sx=x和Tx=x不一定有公共解，即映射S和T不一定存在公共不動點.因此，在公共解不存在的情況下，將嘗試找到一個x，使得在某種條件下，d(Sx，x)與d(Tx，x)的誤差同時達到全局最小值.對于兩個非自身映射來說，考慮公共最佳逼近點問題.

定義 1.5［9］設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，映射S:A→B和T:A→B為非自身映射.若對?x∈A滿足d(x，Sx)=d(x，Tx)=d(A，B)，則稱x是映射S和T的公共最佳逼近點.

顯然，若映射為自身映射，則公共最佳逼近點為公共不動點.

2012年，Basha［9］在度量空間中通過給出交換逼近和能被逼近地交換的定義，且存在非負實數 α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，?x1，x2∈A的情況下，證明出了公共最佳逼近點的存在.同年，Gabeleh［11］在集合具有P-性質的條件下，將Basha論文中的“能被逼近地交換和逼近緊”的條件弱化，進而證明出存在公共最佳逼近點.

下面給出該文所涉及的相關定義及結論.

設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，定義:

定義1.6 設A是線性空間X中的非空子集.若存在點p∈A，使得對任意的x∈A，α∈［0，1］，有

則稱集合A為星形集.點p為A的中心.

定義1.7［10］設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，若對任意的x，u，v∈A，映射S:A→B和T:A→B滿足以下條件:

則稱S，T為交換逼近的.

定義1.8［10］設A，B是度量空間(X，d)中的非空子集，若對任意的u，ν∈A，y∈B，映射S:A→B和T:A→B滿足以下條件:

則稱S，T能被逼近地交換.

定義 1.9［7］設(A，B)是度量空間(X，d)中非空子集對，其中A0非空，對于x1，x2∈A0，y1，y2∈B0，有

則稱非空閉子集對(A，B)具有p-性質.

顯然，對于X中任意非空子集A，(A，A)有p-性質.

定義1.10［12］設A，B為賦范線性空間中的非空凸子集，若對任意的x，y∈A或者x，y∈B，存在λ∈(0，1)，有

則稱映射T:A→B為仿射映射.

定理1.5［13］設A，B是Banach空間中分別以p，q為中心的星形集，‖p-q‖=d(A，B).則A0，B0分別是以p，q為中心的星形集.

定理1.6［10］設A，B是完備度量空間X中的非空閉子集.A關于B是逼近緊集.若A0，B0非空，且非自身映射S:A→B和T:A→B滿足以下條件:

(a)存在非負的實數α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，?x1，x2∈A.

(b)映射T是連續(xù)的.

(c)S，T是逼近交換映射.

(d)S，T能被逼近地交換.

(e)S(A0)?B0，S(A0)?T(A0).則存在一個元素x∈A，使得

進而，若x*是映射S，T的另一個公共最佳逼近點，則有d(x，x*)≤2d(A，B).

定理1.7［11］設(A，B)是完備度量空間X中的非空閉子集對.假設A0為非空集，非空閉子集對(A，B)具有P-性質，且非自身映射S:A→B和T:A→B滿足以下條件.

(a)存在非負的實數α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，?x1，x2∈A.

(b)映射S，T是連續(xù)的.

(c)S，T是逼近交換映射.

(d)S(A0)?B0，S(A0)?T(A0).則映射S，T存在公共最佳逼近點.

該文主要在上述定理的基礎上，考慮緊的星形集上當“α=1”的情況下，公共最佳逼近點的存在性問題.

2 主要結論

定理2.1 設A，B是Banach空間X中分別以p，q為中心的星形集，‖p-q‖ =dist(A，B).映射S:A→B和T:A→B是非自身映射，若(A，B)具有P-性質，A是緊集，且滿足以下條件:

(a)d(Sx1，Sx2)≤d(Tx1，Tx2)，?x1，x2∈A.

(b)映射S，T是連續(xù)的.

(c)S，T是逼近交換映射.

(d)S(A0)?B0，S(A0)?T(A0).

(e)T是仿射，Tp=q.則存在元素x∈A，使得

證明 由于A，B是Banach空間中分別以p，q為中心的星形集，‖p-q‖ =dist(A，B).則由定理1.5知，A0，B0是分別以p，q為中心的星形集.

對任意正整數k≥1，作映射Sk:A→B，其中

則有Sk(A0)?B0，且對于任意的x，y∈A0，有

事實上，對于 ?x∈A0，Skx∈Sk(A0)，又S(A0)?B0，則有Sx∈B0，由B0是q-星形集，則有

即Sk(A0)?B0.

對于 ?x，y∈A0，‖Skx-Sky‖

由S和T是逼近交換的，則對于任意的u，ν，x∈A，‖u-Sx‖ = ‖ν-Tx‖=d(A，B)，有Sν=Tu.

下面證明，若任意的uk∈A及ν滿足:‖ν-Tx‖ = ‖uk-Skx‖=d(A，B)，則有Skv=Tuk成立.

事實上，由

d(A，B).所以有

由P-性質可知

又因為T是仿射的，所以有

這就證明了T與Sk是逼近交換的.

由定理1.7可知，對于每個k≥1，在A中均存在公共最佳逼近點.

即對于每個k≥1，存在唯一的uk∈A0，使得

且 ‖uk-Skuk‖=d(A，B)

又因為 ‖uk-Suk‖ =‖uk-Skuk+Skuk-Suk‖

容易知道，存在正整數m，由于q∈B0，uk∈A0，所以Suk∈B0，由于A具有緊性，所以A0?A是有界的，從而B0是有界的，且有

d(A0，B0)=d(A，B)，則有

所以當k→∞時，→0.則‖uk-Suk‖ →d(A，B).

由于A具有緊性，則在A中存在收斂子列{un}，不妨設un→u0∈A，(n→∞).由于S和T是連續(xù)的.則有Sun→Su0，Tun→Tu0∈B，(n→∞).從而有

則 ‖u0-Tu0‖=d(A，B)

即存在公共最佳逼近點.且當A0=B0時，公共最佳逼近點變?yōu)楣膊粍狱c.

3 結束語

該文主要研究了具有P-性質的緊的星形集上兩個連續(xù)逼近交換仿射映射，當“α=1”的情形下的公共最佳逼近點的存在性問題，推廣了已有結論.

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