數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

陳賢兵

摘 要：就數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用問題，從“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”“化數(shù)為形”“以形論數(shù)”四個(gè)方面進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)圖象；向量；復(fù)數(shù)；圓

著名數(shù)學(xué)家華羅庚常把數(shù)學(xué)引入詩，闡述哲理。他曾經(jīng)這樣寫道：數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬歲休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。此詩把數(shù)學(xué)的具體形象——數(shù)形結(jié)合的思維方式作為載體，用節(jié)奏鮮明、生動(dòng)有趣的語言，把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行了辨證的闡述，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性。以下我通過分析解決問題來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

一、以形助數(shù)

利用函數(shù)圖象探討方程的根及其分布。

例1.求方程lgx-sin x=0的解的個(gè)數(shù)。

分析：此方程解的個(gè)數(shù)即y=lgx的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：∵sin x≤1 lgx≤1

∴0

這題是2005年湖北的一道高考題。這題若用正弦定理或余弦定理較為復(fù)雜。利用坐標(biāo)向量，使得運(yùn)算更為簡單。但要確保兩個(gè)函數(shù)圖象都易作。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生的常規(guī)思路是將利用平方法將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式求解，以解脫根式的糾纏與困擾。但與此同時(shí)，需嚴(yán)格注意不等式兩邊的等號(hào)，往往運(yùn)算煩瑣冗長。若我們細(xì)心觀察，抓住題目特征，因題定法，選擇合理的途徑，則可避開討論，優(yōu)化解題過程，提高解題效率。

三、化數(shù)為形，以形論數(shù)

有時(shí)在解題中，就數(shù)論數(shù)，往往會(huì)受阻，這時(shí)我們可應(yīng)用逆向思維，先把“數(shù)”對應(yīng)的“形”畫出，再結(jié)合“形”去思考“數(shù)”，就會(huì)加大透明度，找到簡捷準(zhǔn)確的解題方法。

例3.已知復(fù)數(shù)Z的模為2，求Z-i的最大值。

分析：若用代數(shù)形式思考

如果用數(shù)形結(jié)合的方法來思考這道題，由Z=2知，Z表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓。Z-i表示圓上到點(diǎn)（0，1）的距離。由圖2可知其最大值，顯然是過點(diǎn)的最遠(yuǎn)端（0，2）到該點(diǎn)的距離3。

由上面的解題過程可知，數(shù)形結(jié)合是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把鑰匙。它利用直觀的圖形來解題，巧妙地簡化了大量繁瑣的計(jì)算和邏輯推理過程，解題簡潔明了。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的直觀性研究數(shù)與式之間的關(guān)系。通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力。

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編輯 韓 曉