中考中的一元二次方程

古作軍

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要內(nèi)容，是以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是中考必考的知識(shí)點(diǎn).

考點(diǎn)一 解一元二次方程

例1 （2014·浙江舟山）方程x2-3x=0的根為_(kāi)________.

【考點(diǎn)】用因式分解法解一元二次方程.

【分析】根據(jù)所給方程的系數(shù)特點(diǎn)，可以對(duì)左邊的多項(xiàng)式提取公因式，進(jìn)行因式分解，然后解得原方程的解.

【解答】因式分解得x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用.

考點(diǎn)二 一元二次方程解的概念

例2 （2014·江蘇揚(yáng)州）已知a，b是方程x2-x-3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值為_(kāi)________.

【考點(diǎn)】一元二次方程的解.

【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，則2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a(bǔ)2=a+3代入后合并即可.

【解答】∵a，b是方程x2-x-3=0的兩個(gè)根，

∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5

=2a（a+3）+（b+3）+3（a+3）-11a-b+5

=2a2-2a+17

=2（a+3）-2a+17

=2a+6-2a+17

=23.

故答案為23.

考點(diǎn)三 一元二次方程根的判別式

例3 （2014·江蘇揚(yáng)州）已知關(guān)于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求k的值.

【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義.

【分析】根據(jù)根的判別式令Δ=0，建立關(guān)于k的方程，解方程即可.

整理得k2-3k+2=0，即（k-1）（k-2）=0，

解得：k=1（不符合一元二次方程定義，舍去）或k=2.∴k=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式Δ的關(guān)系：

（1） Δ>0？圳方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2） Δ=0？圳方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3） Δ<0？圳方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

考點(diǎn)四 利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題

例4 （2014·貴州安順）天山旅行社為吸引游客組團(tuán)去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（如圖所示）：

某單位組織員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給旅行社旅游費(fèi)用27 000元，請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【分析】首先根據(jù)共支付給旅行社旅游費(fèi)用27 000元，確定旅游的人數(shù)的范圍，然后根據(jù)每人的旅游費(fèi)用×人數(shù)=總費(fèi)用解題.設(shè)該單位這次共有x名員工去黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，由對(duì)話框可知，超過(guò)25人的人數(shù)為（x-25）人，每超過(guò)1人每人降低20元，共降低了20（x-25）元，實(shí)際每人收了[1 000-20（x-25）]元，列出一元二次方程求解.

【解答】設(shè)該單位去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)旅游人數(shù)為x人，則人均費(fèi)用為[1 000-20（x-25）]元.

由題意得：x[1 000-20（x-25）]=27 000，

整理得：x2-75x+1 350=0，

解得：x1=45，x2=30.

當(dāng)x=45時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 000-20（x-25）=600<700，不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)x=30時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 000-20（x-25）=900>700，符合題意.

答：該單位這次共有30名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游.

【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)題目貼近生活，有利于培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的能力.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.特別提醒：求解后，要檢驗(yàn)其解是否滿(mǎn)足題意.

例5 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊(duì)購(gòu)買(mǎi)某種服裝時(shí)，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10件，單價(jià)為80元；如果一次性購(gòu)買(mǎi)多于10件，那么每增加1件，購(gòu)買(mǎi)的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元.按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購(gòu)買(mǎi)這種服裝付了1 200元.請(qǐng)問(wèn)她購(gòu)買(mǎi)了多少件這種服裝？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)一次性購(gòu)買(mǎi)多于10件，那么每增加1件，購(gòu)買(mǎi)的所有服裝的單價(jià)降低2元，表示出每件服裝的單價(jià)，進(jìn)而得出一元二次方程，解出方程即可.

【解答】設(shè)購(gòu)買(mǎi)了x件這種服裝，

根據(jù)題意得：

[80-2（x-10）]x=1 200，

解得：x1=30，x2=20，

當(dāng)x=30時(shí)，80-2（30-10）=40<50，不合題意舍去；

當(dāng)x=20時(shí)，80-2（20-10）=60>50，符合題意.

答：她購(gòu)買(mǎi)了20件這種服裝.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出每件服裝的單價(jià)是解題關(guān)鍵.特別提醒：求解后，要檢驗(yàn)其解是否滿(mǎn)足題意.

通過(guò)以上四個(gè)考點(diǎn)的分析，希望同學(xué)們對(duì)一元二次方程的考點(diǎn)有足夠的理解，進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，在中考中提高一元二次方程考點(diǎn)的得分率.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）