考慮全面 觸類(lèi)旁通

陳俊

“分類(lèi)討論”思想是數(shù)學(xué)研究的一種重要思想，常常要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分別對(duì)各種不同的情況予以分析，培養(yǎng)同學(xué)們思維的條理性、縝密性和科學(xué)性.本文以一元二次方程為例，談?wù)劮诸?lèi)討論思想在解題中的運(yùn)用.

一、 對(duì)“方程類(lèi)型”的討論

例1 已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

【分析】當(dāng)二次項(xiàng)m2x2的系數(shù)m2=0時(shí)，方程是一元一次方程，確有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m2≠0時(shí)，方程是一元二次方程，由題意得Δ≥0，最后將兩種情況的答案加以綜合.

解：（1） 當(dāng)m2=0，即m=0時(shí)，方程為一元一次方程x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=-1；

（2） 當(dāng)m2≠0，即m≠0時(shí)，方程為一元二次方程，由題意得：

【點(diǎn)評(píng)】由于這里二次項(xiàng)系數(shù)為待定系數(shù)，所以不能從形式上認(rèn)為這一定是一元二次方程，故要考慮是一元一次方程的可能.

變式題1 已知方程m2x2+3mx+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

二、 對(duì)“方程的根”的討論

例2 當(dāng)整數(shù)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù).

【分析】第一道方程是一元二次方程，則m≠0.“根是整數(shù)”包含兩層含義：①方程有根，即Δ≥0；②取得整數(shù)根.根據(jù)題意，先解出m的取值范圍，再得出m的整數(shù)值，從而驗(yàn)證兩道方程是否都同時(shí)有整數(shù)根.

解：由題意得，m≠0.

∵方程均有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)m=-1時(shí)，方程mx2-4x+4=0為x2+4x-4=0，解得方程的根為x=-2±2，它的根不是整數(shù)，故m=-1舍去.

當(dāng)m=1時(shí)，方程mx2-4x+4=0的根為x1=x2=2，方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根為x1=5，x2=-1，均為整數(shù)，所以m=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)方程的“特殊根”的討論.當(dāng)m=±1時(shí)，只能說(shuō)明兩道方程有實(shí)數(shù)根，還需進(jìn)一步討論有整數(shù)根的情況.

例3 已知關(guān)于x的方程：x2-（m-2）x-=0.

（1） 求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根.

（2） 若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2滿足x2=x1+2，求m的值及相應(yīng)的x1、x2.

【分析】（1） 根據(jù)方程根的判別式判斷根的情況，只要證明判別式Δ的值恒為正值即可；

（2） 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=m-2，x1·x2=-≤0，再去掉絕對(duì)值符號(hào)得到x2=-x1+2或-x2=x1+2，然后分類(lèi)解方程.

解：（1） Δ=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2+2，

∵2（m-1）2≥0，

∴2（m-1）2+2>0，即Δ>0，

所以方程總有兩個(gè)相異的實(shí)根.

（2） 根據(jù)題意得，x1+x2=m-2，x1·x2=

-≤0，

∴x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0.

①若x1≤0，x2≥0，則x2=-x1+2，

即x1+x2=2，∴m=4.

此時(shí)x2-2x-4=0，

②若x1≥0，x2≤0，則-x2=x1+2，

即x1+x2=-2，

∴m=0，此時(shí)x2+2x=0，

x1=0，x2=-2.

【點(diǎn)評(píng)】本例是根據(jù)方程根的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵.

變式題2 關(guān)于x的一元二次方程為（m-1）x2-2mx+m+1=0.

（1） 求出方程的根；

（2） m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)？

參考答案

變式題1：

解：當(dāng)m=0時(shí)，不合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，方程是一元二次方程，由題意得，Δ=（3m）2-4m2=5m2≥0，∴m≠0.

變式題2：

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）