化斜為直巧解斜三角形

海婷

在初中數(shù)學綜合復習中，通過各地近幾年的中考試題，綜合題中出現(xiàn)了一些關(guān)于解斜三角形的數(shù)學問題，而解這類問題的關(guān)鍵是進行轉(zhuǎn)化斜三角形，轉(zhuǎn)化的主要手段是運用“化斜為直”的數(shù)學思想方法，即在斜三角形中仔細觀察圖形的特征，通過作輔助線把斜三角形恰當構(gòu)造出直角三角形.涉及特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，再利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形知識即可解決.

針對斜三角形或不規(guī)則四邊形化歸為直角三角形，可采用解直角三角形的知識解決的方法.試舉下面兩道例題。

例1：已知：如圖，△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，點D是BC的中點，求∠DAC的正弦值.

探究過程：通過已知條件和圖形可知∠DAC在斜三角形△DAC中，要想求∠DAC的正弦值，必須將∠DAC放在直角三角形中，在直角三角形中計算出∠DAC所對的邊和斜邊或?qū)吅托边叺帽戎?而直角三角形中的邊邊關(guān)系、角角關(guān)系、邊角關(guān)系是解直角三角形的依據(jù)，它們只有在直角三角形中才成立，因此要想用它們解斜三角形，必須把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，轉(zhuǎn)化的方法一般是作高輔助線，如圖可以作DE⊥AC于E，才能使特殊的角∠DAC放在直角三角形中.這樣構(gòu)造例2：如圖，在△ABC中，∠A=30°，E為AC上一點，且AE：EC=1：3，EF⊥AB于F，求tan∠CFB.

探究過程：通過已知條件和圖形可知∠CFB.在斜三角形CFB中，要想求tan∠CFB值，必須將∠CFB這個特殊的角放在直角三角形中求出DC與DF，或者在另外的直角三角形找出與∠CFB相等的角，根據(jù)題目已知條件找不到與∠CFB相等的角，這就需要構(gòu)造∠CFB所在的直角三角形，通過點C作CD⊥AB于D，構(gòu)造了兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△CFD，

只需求出DC和FD，令AE=a，EC=3a，AC=4a，DC=ACsin∠A=2a，

解題過程：設(shè)AE=a，則EC=3a，AC=4a.過點C作CD⊥AB于D

探究評析：通過以上兩例求斜三角形中角的三角函數(shù)，發(fā)現(xiàn)“化斜為直”是運用解直角三角形的知識解斜三角形的根本方法，其做法是通過作斜三角形的一條高，把斜三角形構(gòu)造為直角三角形，再根據(jù)條件分別在直角三角形中做文章.如果在已知條件中沒有給定線段的具體值時往往設(shè)某一線段為常數(shù)，計算起來比較簡單，就會收到化難為易、事半功倍的效果.