關(guān)于反對稱矩陣

繆應(yīng)鐵

摘 要：本文給出了反對稱矩陣的概念，討論了它的行列式、特征值、合同標(biāo)準(zhǔn)形及秩等方面的性質(zhì)和一些重要結(jié)果.

關(guān)鍵詞： 反對稱矩陣 行列式 特征多項式 特征值

1.反對稱矩陣的定義

定義1設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，如果A′=-A.稱A為一個n階反對稱矩陣.

2.反對稱矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)2.1反對稱矩陣的和、差、數(shù)乘矩陣仍為反對稱矩陣.

性質(zhì)2.2奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式值為0.

性質(zhì)2.3反對稱實矩陣的特征值是零或純虛數(shù).

性質(zhì)2.4反對稱矩陣的主對角元素全為零.

性質(zhì)2.5反對稱矩陣的秩為偶數(shù).

性質(zhì)2.6反對稱矩陣的行列式為非負實數(shù).

性質(zhì)2.7設(shè)A為反對稱矩陣，則A+E可逆（否則，-1為A的特征值，出現(xiàn)矛盾）.

性質(zhì)2.8設(shè)A為反對稱矩陣，則A合同于矩陣.

性質(zhì)2.9反對稱矩陣A的特征值為零的充要條件為A=0.

性質(zhì)2.10設(shè)λ是實反對稱矩陣A的特征值，則-λ也是A的特征值.

3.重要結(jié)論

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