探究函數(shù)思想，提高考研數(shù)學課堂教學質(zhì)量

李霞

摘 要： 函數(shù)是考研數(shù)學中最重要的基本概念之一，而由此產(chǎn)生的函數(shù)思想更是重要的.在考研數(shù)學教學中，重視函數(shù)思想的滲透與貫穿，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和提高課堂教學質(zhì)量均具有非常深遠的意義.

關(guān)鍵詞： 函數(shù)思想 考研數(shù)學課堂教學 應(yīng)用

函數(shù)是考研數(shù)學中最重要的基本概念之一，而由此產(chǎn)生的函數(shù)思想對于微積分理論的學習更加重要，它幾乎貫穿考研高等數(shù)學教學內(nèi)容的始終，非常值得探究.所謂函數(shù)思想，就是運用函數(shù)的方法，必要時引入輔助函數(shù)，化靜為動、化離散為連續(xù)、化特殊為一般、化形式為內(nèi)容、化常量為變量、化未知為近似、化存在為內(nèi)在規(guī)律，將所討論的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題并加以解決的一種重要的思想方法.在考研數(shù)學課堂教學中，重視函數(shù)思想的滲透與貫穿，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和提高課堂教學質(zhì)量均具有非常深遠的意義.

一、以函數(shù)為橋梁，化靜為動——函數(shù)思想在方程根的存在性問題中的應(yīng)用

代數(shù)方程與函數(shù)相比，前者是靜止，后者是運動，方程的根可視為對應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值.在研究方程問題時，特別是證明方程根的存在性與個數(shù)時，若從函數(shù)的觀點出發(fā)，化靜為動，往往能將問題化難為易，化繁為簡.

例1：證明方程x■+x-1=0只有一個正根.

解：設(shè)函數(shù)f（x）=x■+x-1，x∈[0，+∞），因為f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且f（0）=-1<0，f（1）=1>0，所以由零點定理知，至少存在一點ξ∈（0，1），使f（ξ）=0，也即方程x■+x-1=0至少有一個正根ξ.又因為f′（x）=5x■+1>0恒成立，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增加，故方程x■+x-1=0只有一個正根.

二、以函數(shù)為背景，化離散為連續(xù)——函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

數(shù)列通項可看作定義在正整數(shù)集上的離散函數(shù)u■=f（n）（n∈Z■），而將它連續(xù)化后的函數(shù)y=f（x）（x∈（0，+∞））通常很可能具有可導(dǎo)性等良好的性質(zhì).從函數(shù)的觀點出發(fā)，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)化函數(shù)問題，是求解數(shù)列問題的有效方法之一.

例2：試求數(shù)列{■}的最大項.

分析與求解：數(shù)列{■}各項分別為1，■，■，■，…，■，若想通過比較法求解最大項，十分困難.現(xiàn)采用函數(shù)方法求解，將數(shù)列{■}連續(xù)化為函數(shù)f（x）=■，在（0，+∞）上作一般討論.因f（x）=■=x■=e■，故f′（x）=（e■）′=■■，令f′（x）=0得f（x）在（0，+∞）上唯一駐點x=e，當x>e時，f′<0，f（x）單調(diào)減少，當x0，f（x）單調(diào)增加，故f（x）在x=e處取得最大值e■.而2

又f（2）=■≈1.414

三、以函數(shù)為背景，化特殊為一般——函數(shù)思想在級數(shù)求和問題中的應(yīng)用

例3：求級數(shù)■■的和.

分析與求解：此問題直接求解相當困難，于是想引入一個適當?shù)暮瘮?shù)項級數(shù)■u■（x），使得當x取某個特定值x■時，■u■（x■）恰好等于■■，且函數(shù)項級數(shù)■u■（x）的和函數(shù)比較容易得到.為此，引入s（x）=■■，則■■=s（■）.冪級數(shù)■■的收斂區(qū)間為（-1，1），顯然x■=■∈（-1，1）.利用逐項積分公式得，

S（x）=■■=x■■=x■？蘩■■x■dx=x？蘩■■（■x■）dx=x？蘩■■■dx=-xln（1-x）

故■■=s（■）=-■ln■=■ln2.

四、以函數(shù)為中心，化形式為內(nèi)容——函數(shù)思想在不等式證明問題中的應(yīng)用

在證明不等式時，可以將不等式問題化為以函數(shù)為中心的問題思考，化形式為內(nèi)容，從而為解決問題帶來方便.

例4：證明不等式■≤■+■

分析與證明：通過觀察不等式的形式特征，發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)容實質(zhì)上是以函數(shù)f（x）=■，x∈[0，+∞）為中心的問題.事實上，因為f′（x）=■>0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增加.又因為0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即■≤■，

而■=■+■≤■+■，

所以由不等式的傳遞性得■≤■+■.

五、以函數(shù)為媒介、化常量為變量——函數(shù)思想在積分問題中的應(yīng)用

例5：證明微積分基本公式？蘩■■f（x）dx=F（b）-F（a）.

分析與證明：牛頓和萊不尼茲在證明微積分基本公式？蘩■■f（x）dx=F（b）-F（a）時，將常量b一般化為變量x，引入變上限函數(shù)φ（x）=？蘩■■f（t）dt，于是定積分？蘩■■f（x）dx可看作φ（x）在x=b處的值，只需先證明φ（x）=F（x）-F（a），事實上，由于變上限函數(shù)φ（x）=？蘩■■f（t）dt與F（x）都是f（x）的原函數(shù)，因此二者之間只相差一常數(shù)C，即？蘩■■f（t）dt=F（x）+C，令x=a得C=-F（a），因此？蘩■■f（t）dt=F（x）-F（a），再將x=b代入即可得到要證明的結(jié)論.這是用函數(shù)思想研究積分問題的典型代表.

六、以函數(shù)為工具、化未知為近似——函數(shù)思想在近似計算中的應(yīng)用

求解某些常數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，化未知為近似，應(yīng)用函數(shù)微分與函數(shù)增量之間的關(guān)系作出近似計算.

例6：計算■.

解：■=■=5■，設(shè)f（x）=■，x■=1，△x=-■，則f（1）=1，f′（1）=■，

因為|△x|=■較小，所以f（x■+△x）-f（x■）≈f′（x■）△x，即■≈1+（-■）×■=■，

所以■≈5×■≈4.6667.

七、以函數(shù)為紐帶、化存在為內(nèi)在規(guī)律——函數(shù)思想在討論中間值存在性問題中的應(yīng)用

例7：設(shè)b>a>0，證明存在ξ∈（a，b），使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）成立.

分析與證明：由于要證中間值ξ的存在性，這類問題顯然要用到中值定理，關(guān)鍵要從所證等式中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律性，找到要構(gòu)造出何種函數(shù)應(yīng)用中值定理.所證等式經(jīng)過變形，實質(zhì)上等價于■=lnξ-1，還是看不出要找的函數(shù)，為了湊出f（b）-f（a）的形式，繼續(xù)變形為■=lnξ-1，這樣就能看出應(yīng)對函數(shù)■，■在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理.事實上，設(shè)函數(shù)f（x）=■，g（x）=■，則它們在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，

所以，存在ξ∈（a，b），使得■=■，即■=■，

化簡得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）.

參考文獻：

[1]高等數(shù)學（第六版）.同濟大學應(yīng)用數(shù)學系編.高等教育出版社.