函數(shù)三劍客之函數(shù)定義域

張文麗

摘 要： 函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，而函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三要素之一，注重定義域?qū)忸}結(jié)果的影響，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，提高他們的解題能力.

關(guān)鍵詞： 定義域 值域 奇偶性 函數(shù)最值

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三要素之一，若對(duì)函數(shù)的定義域沒(méi)有特別的說(shuō)明，則似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問(wèn)題中不加以注意，常常會(huì)得到錯(cuò)誤的答案，所以在解函數(shù)題中應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的作用.

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的.如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為200m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為（100-x）米，由題意得：

S=x（100-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（100-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍，也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于100的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：0

這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響.若考慮不到這一點(diǎn)，就表明學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出思維的嚴(yán)密性和良好的解題習(xí)慣.

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域.如：

例2：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域.

錯(cuò)解：令t= ，則2x=t +3

∴y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥

故所求的函數(shù)值域是[ ，+∞）.

解析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，y =1.

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）.

以上例子說(shuō)明，變量的允許值范圍是何等的重要.若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過(guò)程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說(shuō)，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過(guò)程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

三、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問(wèn)題.如果忽視定義域范圍，就會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤.如：

例3：求函數(shù)y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y =-2.

若按平時(shí)的解題思路，本題似乎沒(méi)有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒(méi)有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維定勢(shì)的一種表現(xiàn)，也說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性.其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)y=ax +bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-

（2）當(dāng)- >q時(shí)，y=f（x）在[p，q]上單調(diào)遞減函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）當(dāng)p≤- ≤q 時(shí)，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個(gè)值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1

f（5）=5 -2×5-1=14

∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14

∴函數(shù)y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.

這個(gè)例子說(shuō)明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過(guò)程中加以注意，則能體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.

四、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行.如：

例4：指出函數(shù)f（x）=log （x -2x）的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

∵x -2x>0

∴x>2或x<0

∴函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞）.

令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上時(shí)，u為減函數(shù)，

在x∈（2，+∞）上時(shí)，u為增函數(shù).

又∵f（x）=log u在[2，+∞）是增函數(shù).

∴函數(shù)f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù).

即函數(shù)f（x）=log （x -2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）.

在處理復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)遵循同增異減.如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒(méi)有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說(shuō)明學(xué)生的思維缺乏深刻性.

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考求解該函數(shù)的定義域，判斷該區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)就無(wú)奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.如：

例5：判斷函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：∵定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，

∴函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù).

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性就會(huì)得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

∵f（-x）=（-x） =x =f（x），

∴函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]是偶函數(shù).

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦](méi)有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題中，定義域都起了至關(guān)重要的作用，因此重視定義域?qū)忸}結(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生解題分析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，真正把數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活實(shí)際中.

參考文獻(xiàn)：

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[2]莊亞棟主編.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)（99.2、99.6）.揚(yáng)州：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版，1999.