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    列方程的方法與技巧

    2015-09-10 07:22:44楊???/span>
    考試周刊 2015年4期
    關(guān)鍵詞:列方程技巧方法

    楊???/p>

    摘 要: 宇宙間從宏觀到微觀,事物之間相互有一定的數(shù)量關(guān)系.其中,方程是它們的關(guān)系之一.尋找等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟,而設(shè)定待定未知數(shù)又是列方程的關(guān)鍵.

    關(guān)鍵詞: 列方程 方法 技巧

    宇宙間從宏觀到微觀,事物之間相互有一定的數(shù)量關(guān)系.其中,方程是它們的關(guān)系之一.尋找等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟.而設(shè)定待定未知數(shù)又是列方程的關(guān)鍵.如何設(shè)待定未知數(shù),也就是如何設(shè)元.當(dāng)然是先審題,了解已知條件和所要解決的問題及問題的個數(shù).如果是一個問題,首先考慮一元方程解決的方案,如果是多個問題則考慮多元方程組解決的方案.

    1.直接設(shè)元法

    就是將要解決的問題直接設(shè)為待定未知數(shù),然后把設(shè)定的未知數(shù)和已知的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題列等式,即列方程或方程組,通過解方程或方程組解決實際問題.如:列一元一次方程解應(yīng)用題,首先要根據(jù)題意及題中的數(shù)量關(guān)系,找出能夠反映應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系,然后再設(shè)未知數(shù)布列方程求解.對于條件表達(dá)不夠明確的應(yīng)用題,可用如下的方法尋找相等關(guān)系.

    (1)動態(tài)問題靜止看.靜態(tài)的問題是指題中關(guān)系對應(yīng)的量處于相對穩(wěn)定的狀態(tài),而動態(tài)的問題則是指題中條件所表達(dá)的是不斷變化的相等關(guān)系,對于這類問題,要善于在動中取靜,以靜制動.

    例1:甲乙兩人同時從A、B兩地出發(fā),A、B兩地的距離為2100m,甲騎自行車,平均每分鐘騎260m,乙跑步,平均每分鐘跑160m,問經(jīng)過多長時間后相遇?分析:甲、乙兩人出發(fā)后,所走過的路程、時間都在發(fā)生變化,但A、B兩地的距離是固定不變的,是一個靜態(tài)量,即甲與乙走的路程和為2100m,據(jù)此,可布列方程求解設(shè)兩人經(jīng)過x分鐘相遇,根據(jù)題意,得260x+160x=2100.解得x=5,即經(jīng)過5分鐘兩人相遇.

    (2)虛實相生關(guān)系.在應(yīng)用題中,除了有實實在在的條件外,有時還要人為地虛構(gòu)一些條件,幫助我們尋找相等關(guān)系而解題.例如設(shè)輔助未知數(shù)(又稱參數(shù)),它在題目的條件中沒有給出,在解答的結(jié)果中也不存在,但正是這些虛擬的條件,卻起到了“橋梁”的作用.

    例2:某超市在“十一黃金周”期間為了促銷一批庫存的商品,先將該商品提價40%,然后再打折銷售,為了使該商品打折后與調(diào)價前的銷售價格相同,問該商品應(yīng)按幾折銷售?分析:此題要求“該商品按幾折銷售”,但題目中沒有直接給出漲價后的價格,由題意知,漲價后的價格與原標(biāo)價有關(guān)系,若將原標(biāo)價設(shè)為a元,進(jìn)而可將漲價后的價格表示出來,使得題目中的數(shù)量關(guān)系明朗化,根據(jù)提價并打折后銷售價格與原標(biāo)價相等,即可列出方程.設(shè)該商品的原標(biāo)價為a元,提價40%后應(yīng)按x折銷售,根據(jù)題意得a(1+40%)x%=a.解得x≈71,即該商品應(yīng)按七一折銷售.

    2.間接設(shè)元法

    就是當(dāng)用根據(jù)設(shè)定的未知數(shù)和已知的條件列不出方程或方程組時,就要換思路間接設(shè)元.也就是用直接設(shè)元法解決不了問題時,把與要解決問題相關(guān)的條件設(shè)元,然后列出方程或方程組,求出間接設(shè)元未知數(shù)的值,為解決初始問題創(chuàng)造條件.有時按這個間接設(shè)定的待定未知數(shù)也列不出相關(guān)的方程或方程組,就換與初始問題相關(guān)的其他條件設(shè)元.如果還是列不出相關(guān)的方程或方程組,就又要換思路,把與初始問題相關(guān)的條件姑且視為二級初始問題,又把與二級初始問題相關(guān)的條件設(shè)元,然后列方程或方程組求二級初始問題的值.這樣逐級逐層地間接設(shè)元,直到解決問題為止.對于條件表達(dá)不夠明確的應(yīng)用題,可用如下的方法尋找相等關(guān)系,下面列舉兩個簡單的例子.

    (1)變化之中找不變.許多問題情景是在不斷變化的,但在變化的問題情景中,肯定存在著不變量,找到這個不變量,我們就可以根據(jù)相等關(guān)系布列方程.

    例3:隴西縣教育系統(tǒng)組織全縣骨干教師去外縣參觀學(xué)習(xí),若單獨(dú)租用46座的客車若干輛,則剛好坐滿;若單獨(dú)租用62座的客車,則可以少租一輛,且空余2個座位,試問該這次去外縣參觀學(xué)習(xí)去的有多少人?

    分析:無論采用哪種租車方式,去參觀學(xué)習(xí)去的人數(shù)是不變的,故可以此為相等關(guān)系,即租46座客車的坐車人數(shù)=租62座客車的坐車人數(shù),采用間接設(shè)元的方法布列方程求解,設(shè)租46座客車x輛,則租62座客車(x-1)輛,根據(jù)題意得46x=62(x-1)-2,解得x=4.于是46x=46×4=184(人).即這次去外縣參觀學(xué)習(xí)去的有184人.

    (2)挖掘隱含條件.顯性的相等關(guān)系是指根據(jù)所給的條件及所學(xué)的公式、性質(zhì)、定律等一目了然就能看出的相等關(guān)系,而隱性的相等關(guān)系則是指問題中有一些隱含的條件,這類條件如果不認(rèn)真去挖掘、分析,擺到“桌面”上,就不能清晰地看出其中的相等關(guān)系.

    例4:楊溪與楊河姐弟倆,楊溪對楊河說:“當(dāng)我像你這么大年齡時,你就21歲了,而當(dāng)你到了我現(xiàn)在的年齡時,我就27歲了”根據(jù)以上對話,你能算出楊溪與楊河兩人現(xiàn)在的年齡嗎?分析:此題初看似乎沒有明顯的等量關(guān)系可尋,但生活經(jīng)驗告訴我們,年齡問題中隱含著的條件是“要長都長”,也即楊溪與楊河兩人的年齡差不變據(jù)此條件,并借助于線段圖:

    楊溪過去年齡-楊河(21歲)=年齡差

    楊溪現(xiàn)年-楊河現(xiàn)年=年齡差

    楊溪27歲-楊河年齡(增長)=年齡差

    可知題目蘊(yùn)藏著的等量關(guān)系是:3×年齡差=27-21.設(shè)兄弟兩人的年齡差為x歲,根據(jù)題意,得3x=27-21,解得x=2.于是楊河的年齡為2+21=23(歲),楊溪的年齡為27-2=25(歲).

    常言之,熟能生巧,所以知道方法和技巧,并不一定對列方程、方程組和因式分解就得心應(yīng)手,貴在多練習(xí)和思考,只有在練習(xí)和思考中,才能不斷進(jìn)步.

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