張亞東 劉家源
摘 要: 為了了解中考數(shù)學(xué)“一元二次方程”試題的命題特點(diǎn)和規(guī)律,本文主要對(duì)2009-2014年蘭州市中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了對(duì)比分析,從而得到在各地中考試題中,一元二次方程的定義,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),而方程的解法及其應(yīng)用多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度不大,題量約3-5題,分值約占6%~10%,并對(duì)常考內(nèi)容進(jìn)行了歸納整理.
關(guān)鍵詞: 一元二次方程 中考試題 備考指導(dǎo)
一元二次方程及其應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是中考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一,下面從四個(gè)方面對(duì)一元二次方程??純?nèi)容加以敘述,期望在教師日常教學(xué)和學(xué)生復(fù)習(xí)備考中提供參考和建議.
一、一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想就是降次,一元二次方程的常見解法有四種:直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法.其中公式法是解一元二次方程的通法,配方法是公式法的基礎(chǔ),直接開平方法、因式分解法解某些特殊的一元二次方程方程非常簡(jiǎn)單,掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本.
(1)直接開平方法:形如(x±m(xù))■=n(n≥0)的一元二次方程就用直接開平方法求解.
(2)因式分解法:可化為a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的方程用因式分解法求解.
(2012·蘭州·第21題·6分)已知x是一元二次方程x■-2x+1=0的根,求代數(shù)式
■÷(x+2-■)
的值.
(3)公式法:求根公式為x=■(b■-4ac>0).
(2014·蘭州·第21題(2)·5分)當(dāng)x為何值時(shí),代數(shù)式x■-x的值等于1.
(2013·蘭州·第21題(2)·4分)解方程:x■-3x-1=0.
(4)配方法:若ax■+bx+c=0(a≠0)不易因式分解,可考慮配方為a(x+h)■=k(a≠0)再用直接開平方法求解.
(2013·蘭州·第8題·4分)用配方法解方程x■-2x-1=0時(shí),配方后所得方程為( )
A.(x+1)■=0 B.(x-1)■=0 C.(x+1)■=2 D.(x-1)■=2
(2011·蘭州·第10題·4分)用配方法解方程x■-x-5=0時(shí),原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)■=6 B.(x+2)■=9 C.(x-1)■=6 D.(x-2)■=9
(2009·蘭州·第21題(2)·5分)用配方法解一元二次方程:2x■+1=3x.
備考指導(dǎo):解一元二次方程時(shí),首先要觀察分析方程的特點(diǎn),然后選擇合適的方法解題,有些方程解法不唯一時(shí),一般按照“直接開平方法,因式分解法,公式法,配方法”的順序選擇.值得注意的是解形如(x-2)(2x+1)=3(x-2)一元二次方程時(shí)易丟根,有些同學(xué)同時(shí)除以x-2,走進(jìn)了失根的誤區(qū),最后需牢記一元二次方程的求根公式和配方法的一般步驟.
二、一元二次方程的根的判別式
(2014·蘭州·第10題·4分)一元二次方程ax■+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則b■-4ac滿足的條件是(?搖?搖)
A. b■-4ac=0?搖?搖?搖?搖B. b■-4ac>0 C. b■-4ac<0 D.b■-4ac≥0
(2013·蘭州·第17題·4分)若|b-1|+■=0,且一元二次方程kx■+ax+b=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是?搖 ?搖.
(2010·蘭州·第16題·4分)已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x■+x+1=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是?搖 ?搖
備考指導(dǎo):這類問題往往是與一元二次方程的定義相結(jié)合考查的,而考生易把二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件忽略,所以在牢記一元二次方程ax■+bx+c=(a≠0)根的情況與根的判別式b■-4ac的關(guān)系b■-4ac>0?圳一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;b■-4ac=0?圳一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;b■-4ac<0?圳一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根)的基礎(chǔ)上,必須考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零.
三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
(2012·蘭州·第27題·10分)若x■、x■是關(guān)于一元二次方程ax■+bx+c(a≠0)的兩個(gè)根,則方程的兩個(gè)根x■、x■和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系:x■+x■=-■,x■·x■=■.把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理.如果設(shè)二次函數(shù)y=ax■+bx+c(a≠0)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x■,0),B(x■,0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為:
AB=|x■-x■|=■=■=■=■.
參考以上定理和結(jié)論,解答下列問題:
設(shè)二次函數(shù)y=ax■+bx+c(a>0)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(x■,0)、B(x■,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然△ABC為等腰三角形.
(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),求b■-4ac的值;
(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),求b■-4ac的值.
(2009·蘭州·第19題·4分)閱讀材料:設(shè)一元二次方程ax■+bx+c=0(a≠0)的兩根為x■,x■,則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系:x■+x■=-■,x■·x■=■.根據(jù)該材料填空:已知x■、x■是方程x■+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根,則■+■的值為?搖 ?搖.
備考指導(dǎo):首先牢記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:若x■,x■是a■+bx+c=0(a≠0)的兩根,則有x■+x■=-■,x■+x■=■,其次在此基礎(chǔ)上能對(duì)下列各代數(shù)式進(jìn)行靈活變形:
x■■+x■■=(x■+x■)■-2x■x■;■+■=■;(x■-x■)■=(x■+x■)■-4x■x■;
■+■=■=■.
四、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
隨著新課程、新課標(biāo)的實(shí)施,素質(zhì)教育的不斷深入,與我們生產(chǎn)、生活有關(guān)的應(yīng)用問題不斷滲透到數(shù)學(xué)中,從而出現(xiàn)了一些融入新理念,設(shè)計(jì)新穎,創(chuàng)設(shè)新情境的實(shí)際問題,加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的考查.一元二次方程就是解決這類實(shí)際問題的一種有效模型,列一元二次方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決,利用一元二次方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是在透徹理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確找出已知量與未知量的關(guān)系,這樣才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù).分析等量關(guān)系時(shí),應(yīng)抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),盡量避免實(shí)際情境的干擾,剔除實(shí)際背景的文字?jǐn)⑹龀尸F(xiàn)數(shù)學(xué)化的形式,列出一元二次方程,求出一元二次方程的根后一定要根據(jù)具體情況進(jìn)行檢驗(yàn),把不符合實(shí)際意義的方程的解舍去,進(jìn)而達(dá)到求解的目的.再者要善于將應(yīng)用題分類,現(xiàn)把近幾年一元二次方程常見題型列舉如下:
(1)平均增長(zhǎng)(降低)率型
(2013·蘭州·第10題·4分)據(jù)調(diào)查,2011年5月蘭州市的房?jī)r(jià)均價(jià)為7600元/m2,2013年同期將達(dá)到8200元/m2,假設(shè)這兩年蘭州市房?jī)r(jià)的平均增長(zhǎng)率為,根據(jù)題意,所列方程為( )
A.7600(1+x%)■=8200 B.7600(1-x%)■=8200
C.7600(1+x)■=8200 D.7600(1-x)■=8200
(2010·蘭州·第12題·4分)上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元,連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元.下列所列方程中正確的是( )
A.168(1+a)■=128 B.168(1-a%)■=128
C.168(1-2a%)=128 D.168(1-a■%)=128
(2009·蘭州·第7題·4分)2008年爆發(fā)的世界金融危機(jī),是自上世紀(jì)三十年代以來世界最嚴(yán)重的一場(chǎng)金融危機(jī).受金融危機(jī)影響,某商品原價(jià)為200元,連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為148元,下面所列方程正確的是( )
A.200(1+a%)■=148 B.200(1-a%)■=148
C.200(1-2a%)=148 D.200(1-a■%)=148
備考指導(dǎo):解決這類有關(guān)平均增長(zhǎng)(降低)率的問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握基本關(guān)系式b=a(1±x)■,其中a為增長(zhǎng)(降低)的基礎(chǔ)數(shù)量,x為增長(zhǎng)(降低)率,n為增長(zhǎng)(降低)的次數(shù),b為增長(zhǎng)(降低)后的數(shù)量,解這類一元二次方程適合用直接開平方法,最后注意根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.
(2)幾何型
(2014·蘭州·第19題·4分)如圖,在一塊長(zhǎng)為22米、寬為17米的矩形地面上,要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行),剩余部分種上草坪,使草坪面積為300平方米.若設(shè)道路寬為x米,則根據(jù)題意可列出方程為?搖 ?搖.
(2012·蘭州·第10題·4分)某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為200m■的矩形花圃,它的長(zhǎng)比寬多10m,設(shè)花圃的寬為xm,則可列方程為( )
A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200
C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=200
備考指導(dǎo):幾何型問題多以面積為主,解決這類面積問題的關(guān)鍵是熟記特殊圖形的面積公式,其次會(huì)將不規(guī)則的圖形分割或割補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出一元二次方程.
(3)送照片、握手型
(2011·蘭州·第11題·4分)某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí),每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念,全班共送了2070張相片,如果全班有x名學(xué)生,根據(jù)題意,列出方程為( )
A.x(x-1)2070 B.x(x+1)=2070
C.2x(x+1)=2070 D.■2070
備考指導(dǎo):每個(gè)人送照片的張數(shù)是總?cè)藬?shù)減1,所有人送照片的總張數(shù)是總?cè)藬?shù)乘以總?cè)藬?shù)減1,所有人握手的總次數(shù)恰是所有人送照片的總張數(shù)的一半.
(4)銷售利潤(rùn)型
(2013·廣東汕頭澄?!さ?1題·7分)“友誼商場(chǎng)”某種商品平均每天可銷售100件,每件盈利20元.“五一”期間,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件該商品每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出10件.設(shè)每件商品降價(jià)x元.據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:
(1)降價(jià)后每件商品盈利?搖 ?搖元,商場(chǎng)日銷售量增加?搖 ?搖件(用含x的代數(shù)式表示);(2)在上述條件不變的情況下,求每件商品降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2240元?
備考指導(dǎo):解決銷售利潤(rùn)問題的關(guān)鍵是掌握利潤(rùn)問題中常用的關(guān)系式,特別是總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)*銷售量.
以實(shí)際問題為背景的題目,主要考查閱讀能力和理解能力,此類題能夠培養(yǎng)我們利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值,體會(huì)設(shè)未知數(shù)、列方程的代數(shù)方法,領(lǐng)略知識(shí)從實(shí)踐中來到實(shí)踐中去.以上例子都是近幾年運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的中考試題,綜觀上述各種問題的解法,我們要牢牢把握列方程解決實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié):一是整體地、系統(tǒng)地審清問題;二是把握問題中的等量關(guān)系;三是正確求解一元二次方程并檢驗(yàn)解的合理性.
通過以上分析總結(jié),得出了一元二次方程在中考中的命題規(guī)律,希望能為以后一元二次方程的教與學(xué)和復(fù)習(xí)備考提供參考意見.
參考文獻(xiàn):
[1]毛文鳳.講透教材[M].北京:北方婦女兒童出版社,2009.
[2]張奠宙,張廣祥.中學(xué)代數(shù)研究[M].北京:高等教育出版社,2006.