新課程下數(shù)學(xué)解題中的另類做法

周忠堂 董永明

文學(xué)上有“天高任鳥飛，海闊憑魚躍”的對仗句，數(shù)學(xué)上也有在直角坐標(biāo)平面內(nèi)“點(diǎn)有坐標(biāo)，線有方程”的對偶語，還有“和與積”，“或與且”，“奇與偶”，“sinα與cosα”，“直線與平面”的對偶詞.數(shù)學(xué)中的對偶是指在一個命題的結(jié)構(gòu)中，將其一個（或幾個）元素?fù)Q成對偶的一個（或幾個）元素而獲得一個新的命題.若變換前后的兩個命題都是真命題，則稱這兩個命題互為對偶命題，數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造對偶，享受數(shù)學(xué)美.

1.構(gòu)造“直線”與“平面”對偶，再造“新像”

新課程人教版高中數(shù)學(xué)必修2中，在研究直線與直線，直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)將一些命題中直線、平面對換后，真命題仍是真命題，假命題仍是假命題，這正是直線、平面一種和諧的對偶。

案例1.1）空間直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c是真命題。對偶空間平面α，β，γ，若α∥β，β∥γ，則α∥γ是真命題。

2）空間垂直于同一直線的兩直線互相平行是假命題。

對偶：空間垂直于同一平面的兩平面互相平行是假命題。

3）空間垂直于同一平面的兩直線互相平行是真命題。

對偶：空間垂直于同一直線的兩平面互相平行是真命題。

4）設(shè)x，y，z表示空間不同的直線或平面，且直線不在平面內(nèi);則下列選項(xiàng)中能夠使命題：“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”成立的序號是？搖 ?？搖？搖？搖？搖.

①x，y，z表示空間不同的直線。②x，y，z表示空間不同的平面。③x，y表示空間不同的直線，z表示平面。④x，y表示空間不同的平面，z表示直線。⑤x，z表示空間不同的直線，y表示平面。⑥x，z表示空間不同的平面，y表示直線。

選擇方法是由實(shí)物作模板，對偶作想象，可迅速作判斷;選③④⑤⑥.

2.構(gòu)造正余弦對偶，出奇制勝

4.構(gòu)造“任一”與“某一”對偶，其樂無窮

新課程人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1特稱與全稱命題中“某一”與“任一”;“某一”是專門指“某某”的單稱，如“某一方程”，就專門指那一個方程，那一個方程是未知還是已知，它都是一個確定的方程。而“任一”指“任意一個”是泛指的單稱，它雖然指一個，但實(shí)質(zhì)上包括了“全體”、“所有”?！叭我弧彼哂械男再|(zhì)，就是“全體”具有性質(zhì)，反之，由于全體不能一一表示出來，因此可轉(zhuǎn)為“某一”解決。“任一”與“某一”并非文字游戲，即不能用“某一”代替“任一”使問題失去一般性，但在否定“任一”都成立的問題時，而不能不用“某一”而使問題變得復(fù)雜，玩玩這樣的游戲，真是其樂無窮。

數(shù)學(xué)中的對偶現(xiàn)象豐富多彩、多種多樣，解題時只要認(rèn)真觀察，仔細(xì)聯(lián)想，就可創(chuàng)造形狀各異的對偶，對培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性極有好處。同時也看到對偶概念方法更是對稱概念方法的推廣及延伸，構(gòu)造對偶就成為追求數(shù)學(xué)美的方式。

參考文獻(xiàn)：

[1]王仲春，李元中，等編.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論.高等數(shù)學(xué)教育出版社，1990.

[2]梅向明，劉增賢，編.高等幾何.高等教育出版社，1980.