常微分方程的應(yīng)用探討

刁菊芬

摘 要： 微分方程是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要分支，本文通過對一些醫(yī)學(xué)模型的分析，說明了常微分方程在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用。隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展，以及社會(huì)的日趨數(shù)字化，微分方程應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣泛，相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。

關(guān)鍵詞： 微分方程 應(yīng)用 醫(yī)學(xué)模型

一、引言

微分方程作為《數(shù)學(xué)分析》的一個(gè)重要的分支，萌芽于17世紀(jì)，建立于18世紀(jì)。從17世紀(jì)末開始，科學(xué)家們在研究擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論及天體力學(xué)等實(shí)際問題時(shí)，引出了一系列的常微分方程。在當(dāng)代，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，如飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、自動(dòng)控制、人口發(fā)展模型、交通流模型、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。因此，微分方程的研究是與人類社會(huì)密切相關(guān)的。下面我就通過一些實(shí)際模型，討論常微分方程在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用。

二、應(yīng)用舉例

1.模型一：胰臟功能檢測

有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里檢查其功能，正常胰臟每分鐘吸收掉染色的40%，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3克染色，30分鐘后還剩0.05克，試問此人的胰臟正常嗎？

解：假設(shè)此人的胰臟是正常的。

用P（t）表示注射染色后t分鐘時(shí)此人胰臟中的染色量。由于正常胰臟每分鐘吸收染色的40%，即染色的衰減率為40%，從而得到

■=-0.4，即■=-0.4P（1）

這是一階可分離變量的微分方程，分離變量可得■=-0.4dt

兩邊積分可得？蘩■=-？蘩0.4dt

故方程（1）的通解為ln|P|=-0.4t+C■，整理得

P（t）=Ce■

由P（0）=0.3有C=0.3，故胰臟中所含的染色量與時(shí)間的關(guān)系為

P（t）=0.3e■

30分鐘后剩下的染色應(yīng)為P（30）=0.3e■。這與實(shí)際上30分鐘后還剩下0.05克染色相矛盾，故此人的胰臟不正常。

2.模型二：靜脈輸液問題

靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療手段。為了研究的方便，假設(shè)葡萄糖以固定的速度輸入到血液中。與此同時(shí)，血液中的葡萄糖會(huì)轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)轉(zhuǎn)移到其他地方，其速率與血液中的葡萄糖含量成正比。那么，血液中葡萄糖的含量與輸液時(shí)間之間存在什么關(guān)系呢？

解：設(shè)G（t）為t時(shí)刻血液中的葡萄糖含量，葡萄糖的輸入數(shù)率為a克/每分鐘。

因?yàn)檠褐衅咸烟呛康淖兓省龅扔谠黾铀俾逝c減少速率之差，增加速率為常數(shù)a，減少速率為kG（t），其中k為比例常數(shù)。所以

■=a-kG（t）（2）

這是一個(gè)一階線性微分方程，其通解為

G（t）=e■[C+？蘩ae■dt]=e■[C+■e■]=Ce■+■

若最初血液中的葡萄糖含量用G（0）表示，則有

G（0）=C+■，即C=G（0）-■

這樣便得到血液中葡萄糖的含量與時(shí)間的關(guān)系：

G（t）=■+[G（0）-■]e■

三、結(jié)語

除了上面列舉的模型之外，還有很多的醫(yī)學(xué)模型可以用微分方程解決，例如血管中血液的流速問題、人體的主動(dòng)脈脈壓、腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型等。隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會(huì)的日趨數(shù)字化，常微分方程作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)活躍的分支，應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣泛，相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。我們要充分發(fā)揮常微分解決實(shí)際問題的潛力，讓科學(xué)更好地為人類服務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

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