運(yùn)用函數(shù)定義域教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生思維嚴(yán)密性

嚴(yán)戍樓

摘 要： 函數(shù)作為整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，函數(shù)的定義域、解析式、值域不僅是高考的重點(diǎn)，而且是求解函數(shù)的基礎(chǔ).本文以函數(shù)定義域求解函數(shù)問題為研究依據(jù)，介紹了運(yùn)用運(yùn)用函數(shù)定義域培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性、靈活性、嚴(yán)密性思維的辦法.

關(guān)鍵詞： 函數(shù)定義域 嚴(yán)密性 靈活性 發(fā)散性

函數(shù)教學(xué)貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)定義域是構(gòu)成函數(shù)的主要元素，函數(shù)定義域看似比較簡單，如果解決問題時(shí)不注意，就會(huì)讓人陷入錯(cuò)誤的思維中[1].思維品質(zhì)則是指體思維活動(dòng)中的外部表現(xiàn)形式.學(xué)生的思維品質(zhì)主要表現(xiàn)在思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的發(fā)散性等.數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考、分析問題，養(yǎng)成追根究底的好習(xí)慣.學(xué)生在解題時(shí)如果不注意定義域，存在不是忽略定義域或考慮錯(cuò)誤的現(xiàn)象，致使解題過程中出現(xiàn)形式各樣的錯(cuò)誤.本文以定義域?qū)?qiáng)化學(xué)生思維品質(zhì)為研究視角，分析了合理考慮定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響.這不僅能提高學(xué)生解題能力，而且有利于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展.

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)定義域就是指這一函數(shù)的有效范圍，其關(guān)于原點(diǎn)對稱是指它有效值關(guān)于原點(diǎn)對稱.對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解時(shí)必須把它的定義域考慮其中，預(yù)防求出錯(cuò)誤的關(guān)系式子.

例1：已知函數(shù)y=■的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)定義域就是求解函數(shù)解析式有意義的自變量取值最大范圍.根據(jù)題意可設(shè)：x∈R，解析式有意義就是指對于任意x∈R都會(huì)有ax■+4ax+3≠0成立，簡言之，就是說方程ax■+4ax+3=0沒有實(shí)根成立.進(jìn)行分類討論，如果a=0時(shí)，則3≠0滿足要求；如果a≠0時(shí)，則有△=16a■-12a<0，即0

二、函數(shù)奇偶性與定義域

函數(shù)奇偶性是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要知識點(diǎn)，想要判定某函數(shù)的定義域是不是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，如果該函數(shù)的區(qū)間關(guān)于某坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，就說明該函數(shù)具有奇偶性.

例2：判斷函數(shù)y=x■，x∈[-2，5]的奇偶性.

分析：如果學(xué)生求解該函數(shù)時(shí)不考慮其定義域，那么判斷該函數(shù)奇偶性就會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤結(jié)論：

∵f（-x）=（-x）■=f（x），∴函數(shù)y=x■，x∈[-2，5]是偶函數(shù).學(xué)生直接對該函數(shù)進(jìn)行判斷，未把該函數(shù)的定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱考慮其中，從而因?qū)W生的疏忽大意導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.由于函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此正確答案是此函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)的單調(diào)性也被稱為函數(shù)的增減性，是對于某個(gè)定義區(qū)間來說的，如果函數(shù)自變量增加，函數(shù)值也會(huì)因自變量的改變而發(fā)生變化，所以對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究時(shí)必須在定義域區(qū)間上進(jìn)行.

例3：求解函數(shù)f（x）=■-■的最大值.

解：f（x）=■-■=■，知f（x）=■-■在其定義域[3，+∞）上為減函數(shù)，

∴f（x）=■-■的最大值是f（x）=2.

解題技巧：若解題時(shí)，學(xué)生并未完全理解掌握函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識，就不會(huì)靈活運(yùn)用實(shí)際做題時(shí)，只會(huì)套用公式，無法深入理解解題方法.顯然由于變形后使得問題得以簡化，必須把函數(shù)定義域考慮其中方可獲取正確答案.

四、運(yùn)用函數(shù)定義域培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

（一）培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

學(xué)生的發(fā)散性思維是指運(yùn)用多方面的知識與經(jīng)驗(yàn)，從不同角度和方面思考問題的本質(zhì).數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性主要表現(xiàn)在可以捕捉有效形象，合理運(yùn)用對比、聯(lián)想，對各個(gè)數(shù)學(xué)題目設(shè)想不同的解法，即“一題多解”.研究數(shù)學(xué)問題必須具備邏輯、推理等思維，當(dāng)然也離不開靈活變通、想象豐富的發(fā)散性思維.

例4：求函數(shù)y=4x-1+■的值域.

錯(cuò)誤解法：令t=■，則2=t■+1，∴y=2（t■+1）-1+t=2t■+t+1=2（t+■）■+■≥■，故函數(shù)的值域是[■，+∞）.

分析：經(jīng)過換元之后，可以得到t≥0，此時(shí)函數(shù)y=2t■+t+1在[0，+∞）上為增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，y■=1，所以求得的函數(shù)值域是[1，+∞）.

例5：求解函數(shù)y=x+■的值域.

解法1：采用判別式解題：原函數(shù)經(jīng)過變形為：（y-x）■=（2-x）？搖？搖x■-2xy+y■-2+x=0；

關(guān)于x的二次方程：x■+（1-2y）？搖？搖x+y■-2=0有解，可得出△=（1-2y）■-4×1×（y■-2）≥0，

解出：y≤■，即函數(shù)y的值域是（-∞，■].

解法2：換個(gè)思考方式，使用換元法求解，因該函數(shù)中存在根號，可以假設(shè)t=■（x≤2）？鬯x=2-t■（t≥0）（必須注意t的取值范圍），于是：y=2-t■+t=-（t-■）■+■（t≥0），顯然：若t=■∈（-∞，■].

解題分析：從上述例題可以看出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，一般就是以解決問題為核心，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面進(jìn)行分析、觀察、聯(lián)想進(jìn)行解答.換言之，對學(xué)生進(jìn)行逆向思維、橫向思維及一題多解等訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的重要手段.同時(shí)，解答題目后對求得的答案進(jìn)行檢驗(yàn)，有助于學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)解決解題中的失誤，鍛煉學(xué)生的批判性思維，提升其思維品質(zhì).在教學(xué)過程中，為培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維品質(zhì)，可以引導(dǎo)學(xué)生對自己的解題結(jié)果進(jìn)行檢查，讓他們自己分析發(fā)現(xiàn)并解決存在的問題.

（二）培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維

嚴(yán)密性思維就是指思考的問題滿足邏輯切準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)運(yùn)算不存在錯(cuò)誤.在對函數(shù)的解析式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須注意函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，因此求函數(shù)的解析式時(shí)要把所求函數(shù)的定義域考慮在內(nèi)，尤其是求解實(shí)際的應(yīng)用問題，否則求出的函數(shù)解析式可能存在錯(cuò)誤.

例6：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底鐵皮箱，箱底邊長是多少，箱子的容積最大？計(jì)算其最大容積？

解：假設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高h(yuǎn)=■cm，求解箱子的容積為：V（x）=x■h=■.如果本題解到這一步停止，則本題的函數(shù)解析式為并未確定其自變量的取值范圍，沒有全面的解答.從另一個(gè)角度說明學(xué)生解題嚴(yán)密性不佳.若該自變量所取的數(shù)值是負(fù)數(shù)或不小于60時(shí)，V（x）的值就是負(fù)數(shù)，此時(shí)所求的容積與實(shí)際問題互相矛盾，所以必須設(shè)定自變量的取值范圍，該函數(shù)關(guān)系式為：

V（x）=x■h=■（0

由例6可以看出，運(yùn)用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題的過程中，需要把求解時(shí)函數(shù)定義域的取值范圍對其產(chǎn)生的影響考慮其中.若忽視定義域的取值范圍，就會(huì)讓學(xué)生的解題思維缺乏嚴(yán)密性，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.實(shí)際教學(xué)中，老師可以多設(shè)計(jì)一些有隱含條件的習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，更好地鍛煉學(xué)生的思維.

（三）培養(yǎng)學(xué)生的靈活性思維

靈活性思維就是學(xué)生可以把已經(jīng)學(xué)到的知識、解題方法舉一反三、靈活使用.數(shù)學(xué)思維的靈活性則要求學(xué)生根據(jù)客觀條件的變化及調(diào)整固有的思維模式，脫離思維定勢的束縛，從多個(gè)方面和角度找尋解決問題的辦法.具有靈活思維的人，可以擺脫固定思維模式的束縛，靈活變通的思考問題.具有靈活思維的人也可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)他人不曾注意的地方，從而深刻地認(rèn)識這一問題.實(shí)際教學(xué)中，為鍛煉學(xué)生思維的靈活性，老師可以設(shè)置以下題目讓他們解答.

例7：求解函數(shù)y=3x■-4x+1在[1，4]上的最值.

解：∵y=3x■-4x+1=3（x■-■x）+1=3（x-■）■-■，∴當(dāng)x=■時(shí)，y■=-■.

初看本題的求解，好像只存在最小值并未出現(xiàn)最大值.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤意識的原因是學(xué)生頭腦中所形成的二次函數(shù)圖像總是一根完整的拋物線，并未注意該函數(shù)定義域變化情況.定義域的改變致使函數(shù)圖像不再是完整的拋物線.這是呆板性思維的重要表現(xiàn)，說明學(xué)生缺少靈活性的思維.其實(shí)這個(gè)結(jié)論只對二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a>0）在R上使用，如果給定其定義區(qū)間為[p，q]，其最值會(huì)出現(xiàn)下述情況：

（1）若-■

（2）若-■>q時(shí)，f（x）在[p，q]上為單調(diào)遞增減函數(shù)：f（x）■=f（p），f（x）■=f（q）.

（3）若p≤-■≤q，y=f（x）在[p，q]上的最值的情況.

f（x）■=f（-■）=■，f（x）■=max{f（p），f（q）}.

本題還要繼續(xù)解下去：∵■<1，∴y=f（x）=3x■-4x+1在[1，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，

又f（1）=0，f（4）=33，所以函數(shù)y=3x■-4x+1在[1，4]上的最小值為0，最大值是33.

分析錯(cuò)誤的因素：實(shí)際教學(xué)中，老師過度重視解題的模式化教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生形成固定的思維模式，學(xué)生根據(jù)求解二次函數(shù)最值的模式解題，并未注意已知條件已經(jīng)存在變化.在實(shí)際教學(xué)中，為培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，必須重視數(shù)學(xué)教學(xué)的變化性，讓學(xué)生從多個(gè)方面進(jìn)行分析，并迅速建立自己的思路，達(dá)到“舉一反三”靈活運(yùn)用的效果；讓學(xué)生克服某些思維定勢，重視多角度思維模式聯(lián)系.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式時(shí)，要求學(xué)生把公式的不同變形熟練掌握、靈活應(yīng)用，這些都有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

綜上所述，在對函數(shù)關(guān)系式、值域、單調(diào)性、等問題求解時(shí)，可以對思維過程進(jìn)行細(xì)致檢查，判斷所求的函數(shù)其定義域是否有所變化，會(huì)不會(huì)影響解題結(jié)論，這樣有助于鍛煉學(xué)生的質(zhì)辨能力，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]張文忠.通過函數(shù)定義域的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性[J].貴州教育，2012（9）：42-43.