從“意義”入手，實(shí)現(xiàn)“運(yùn)算律”的構(gòu)建

朱學(xué)堯

《教學(xué)月刊》2015年第6期刊載了張奠宙和戎松魁兩位教師撰寫的《正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動(dòng)理解運(yùn)算律》文章，文章的副標(biāo)題是：“關(guān)于加法和乘法交換律的討論”（以下簡(jiǎn)稱《正》文）。筆者也曾撰文寫過關(guān)于對(duì)加法交換律和結(jié)合律教學(xué)思考的文章，并在課堂教學(xué)中實(shí)踐過，收到很好的教學(xué)效果。拜讀《正》文后，深受感觸，受兩位教師文末的“六個(gè)”觀點(diǎn)的啟發(fā)，又一次引起了筆者對(duì)蘇教版教材“運(yùn)算律”單元教學(xué)的思考。

蘇教版教材在四年級(jí)下冊(cè)把“運(yùn)算律”單設(shè)單元，來完成加法和乘法的5個(gè)定律，單設(shè)單元集中教學(xué)幾個(gè)“運(yùn)算律”，其目的是便于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)，集中體現(xiàn)用字母表示幾個(gè)運(yùn)算規(guī)律的概括性和簡(jiǎn)潔性。但是筆者以為，此時(shí)沒有必要再花時(shí)間和創(chuàng)設(shè)情境來讓學(xué)生經(jīng)歷幾個(gè)運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證的過程。因?yàn)閷W(xué)生在一、二年級(jí)時(shí)，對(duì)加法和乘法的意義以及幾個(gè)運(yùn)算律已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，只不過這時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是感性的、模糊的、零碎的，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺(tái)，讓學(xué)生借助加法和乘法的意義，從本源上來說清道理，從“運(yùn)算律”生長(zhǎng)的“根”上來理性地分析。

一、基于學(xué)生對(duì)“運(yùn)算律”已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的分析

筆者以為，在學(xué)習(xí)交換律之前，學(xué)生對(duì)加法和乘法的交換律的認(rèn)知并不是一張空白紙，如在一年級(jí)加法單元教學(xué)，不同版本教材都創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中來建構(gòu)加法意義和各部分名稱。以蘇教版教材為例：

教材創(chuàng)設(shè)了小朋友澆花的情境，學(xué)生在回答“澆花的一共有多少個(gè)小朋友”的問題時(shí)，由于還沒有正式學(xué)過用一個(gè)加法算式來表示，因而，大部分同學(xué)用“數(shù)數(shù)”累加的方法。如先數(shù)正在澆花的有3個(gè)小朋友，再數(shù)又來的2個(gè)小朋友，也就是從3往后累加數(shù)2個(gè)，即澆花的一共有5個(gè)小朋友。當(dāng)然，也有部分同學(xué)是從2往3來累加數(shù)的。然后，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生想：“怎樣把剛才數(shù)的過程，用一個(gè)算式來表示呢？”教師再適時(shí)介紹3+2=5或2+3=5這兩個(gè)加法算式。從這里可以看出，從一年級(jí)“加法認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)開始，學(xué)生就已經(jīng)接觸了加法的交換律。先數(shù)左邊3個(gè)同學(xué)再接著數(shù)右邊2個(gè)同學(xué)與先數(shù)右邊2個(gè)同學(xué)再接著數(shù)左邊3個(gè)同學(xué)，其結(jié)果是不變的，這就是加法交換律的“雛形”，是“具體”的、“情景化”的。隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，這種“雛形”將日益完善，這個(gè)“規(guī)律”將被學(xué)生逐步內(nèi)化成：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)用加法來計(jì)算，合并是不考慮先后的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的。

同樣，學(xué)生對(duì)乘法交換律的“雛形”，早在二年級(jí)就已經(jīng)有了初步的感知。如二年級(jí)上冊(cè)第一單元“乘法認(rèn)識(shí)”。教學(xué)時(shí)教材創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：

依托情境圖讓學(xué)生分別列出求各有多少只小動(dòng)物，然后讓學(xué)生觀察這些算式的特點(diǎn)都是求幾個(gè)相同加數(shù)和的運(yùn)算（這就是乘法的意義）。這種特殊的加法算式還可以用一道乘法算式來表示，由此，引出乘法算式。如2+2+2可以寫成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3個(gè)2相加，寫成乘法算式是2×3，3+3表示2個(gè)3相加，寫成乘法算式是3×2;兩位教授在《正》文中，特別強(qiáng)調(diào)了此事，說把“2×7和7×2看作是同一件事，混淆了兩種不同的計(jì)算過程，使乘法交換律變得沒有意義，缺乏科學(xué)性。”其實(shí)，若避開具體的情境來看2+2+2這個(gè)算式，把這三個(gè)相同的加數(shù)寫成兩個(gè)相同加數(shù)的形式就是3+3，同樣，3+3若寫成三個(gè)相同加數(shù)的形式就是2+2+2。從這一點(diǎn)來說，兩個(gè)乘法算式的計(jì)算結(jié)果雖然是一樣的，所體現(xiàn)的過程（實(shí)際上也是意義）是不一樣的，如《正》文所說。但筆者以為，教材不再讓學(xué)生來區(qū)分2×3和3×2過程上的不同，是基于教師易教、學(xué)生易理解的角度上考慮的。因而，在后面的解決問題以及“乘法口訣”教學(xué)時(shí)，只要是涉及用乘法列式的，學(xué)生就不會(huì)考慮兩個(gè)乘數(shù)的前后位置關(guān)系了。

加法和乘法的結(jié)合律，是交換律的拓展，可以把它看作一種“特殊”交換律來教學(xué)。因?yàn)橛辛藘蓚€(gè)加數(shù)交換位置和不變的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生便可類推出三個(gè)加數(shù)甚至更多個(gè)加數(shù)相加，任意交換它們的位置和也會(huì)不變的。之所以可以這樣說，因?yàn)閷W(xué)生已有了加法和乘法意義的支撐。如口算2+3+4，表示三個(gè)數(shù)合并在一起，既然是合并（累加）就不分先后。同樣，在口算3×2×4時(shí)，學(xué)生能體會(huì)到先算3×2得6，6×4與4×6結(jié)果又是一樣的，因此，3、2、4這三個(gè)乘數(shù)可以先任意兩個(gè)數(shù)相乘。這就是加法結(jié)合律構(gòu)建的“萌芽”時(shí)期，這是在“做”中積累的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)結(jié)合律時(shí)，需要讓學(xué)生進(jìn)一步明白的是：三個(gè)數(shù)在一起計(jì)算，是有一定順序的，不像兩個(gè)數(shù)相加（乘），只存在位置上的變化，不存在順序上的改變。為了體現(xiàn)這種運(yùn)算順序的改變，在計(jì)算時(shí)，我們一般要用“（）”來表示，這樣，便于讓學(xué)生感知結(jié)合律就是交換律的拓展和延伸，體會(huì)結(jié)合律產(chǎn)生的必要性和價(jià)值，更突出了兩個(gè)運(yùn)算律的聯(lián)系和區(qū)別。

同樣，乘法的分配律，學(xué)生在二年級(jí)計(jì)算一位數(shù)乘法時(shí)，也初步體會(huì)到這種規(guī)律的存在，如對(duì)于12×4，學(xué)生都知道它表示12+12+12+12相加的結(jié)果，在用加法計(jì)算時(shí)，需要4個(gè)2相加和4個(gè)10相加，再把兩次相加的結(jié)果合在一起。因此，用4乘12時(shí)，自然需要把12分成10和2的和與4相乘，也就是（10+2）×4=10×4+2×4。這個(gè)等式從右往左看，是和中的每一個(gè)加數(shù)都要與4相乘一次，這是基于對(duì)12×4豎式計(jì)算運(yùn)算合理性的一種表示;若從右往左看，是10個(gè)4再加2個(gè)4，結(jié)果是12個(gè)4，左右是恒等道理一清二楚。從乘法計(jì)算的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來建構(gòu)乘法的分配律，是尋“根”的過程。

二、意義框架下幾個(gè)運(yùn)算律教學(xué)的路徑

（一）加法的交換律和結(jié)合律

第一層次：可出示教材情境圖

在學(xué)生得出28+17=17+28之后，教師可喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，不讓學(xué)生舉例，引導(dǎo)學(xué)生回顧加法意義，讓學(xué)生運(yùn)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來解釋交換兩個(gè)加數(shù)和不變的原因，并概括出這一運(yùn)算律。

第二層次：在學(xué)生得出28+17+23=？之后，引導(dǎo)學(xué)生想一想：兩個(gè)數(shù)相加可以交換兩個(gè)加數(shù)位置和不變，三個(gè)數(shù)相加也可以這樣交換嗎？為什么？進(jìn)而得出三個(gè)數(shù)相加與兩個(gè)數(shù)相加不同點(diǎn)是三個(gè)數(shù)相加有先后順序，交換位置，意味著運(yùn)算順序改變了，為了體現(xiàn)順序的改變，需要用“（）”來表示，并借機(jī)用字母概括出這一運(yùn)算律。

（二）乘法的交換律和結(jié)合律

第一層次：?jiǎn)拘褜W(xué)生已有的乘法意義的認(rèn)知。如3+3和2+2+2可以寫成什么樣的乘法形式？既然乘法是特殊加法算式的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，由加法兩個(gè)運(yùn)算律，能類推出乘法是否也有這樣的運(yùn)算律？讓學(xué)生運(yùn)用乘法的意義和已有的生活經(jīng)驗(yàn)加以解釋和說明。在此環(huán)節(jié)，也可配合使用《正》文中提及的“以形解數(shù)”的方法。如讓學(xué)生數(shù)數(shù)這堆石子有多少顆？

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最后得出不管豎著數(shù)還是橫著數(shù)，結(jié)果都是6，所以2×3=3×2。

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想，兩個(gè)數(shù)相乘可以交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積不變，三個(gè)數(shù)相乘也可以這樣交換嗎？為什么？同樣得出三個(gè)數(shù)相乘，有運(yùn)算的先后順序，任意交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，其運(yùn)算順序改變了，需要用“（）”來表示的道理，并借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用字母概括的過程。

（三）乘法的分配律

第一層次：師生交流，乘法的交換律和結(jié)合律，在乘法計(jì)算時(shí)，有普遍的運(yùn)用，教師適時(shí)出示12×4的豎式計(jì)算題。引導(dǎo)學(xué)生回憶每一步計(jì)算的過程，以及為什么可以這樣計(jì)算？教師可適時(shí)用圖來“以形解數(shù)”。 如右圖長(zhǎng)方形面積可以怎樣計(jì)算？

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想，由乘法豎式計(jì)算還可以概括出一種什么樣的運(yùn)算律？并用字母概括這一規(guī)律。

三、基于意義框架下，運(yùn)算律單元教學(xué)整體思路的調(diào)整

教學(xué)思路由原來借助具體情境下解決實(shí)際問題，依托列出的算式，基于在發(fā)現(xiàn)、列舉、驗(yàn)證和歸納中得出運(yùn)算律的感性認(rèn)知，走向喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，依托算式內(nèi)部的意義，進(jìn)行理性分析的過程。然后再把這一運(yùn)算律進(jìn)行抽象概括并在解決實(shí)際問題中加以運(yùn)用。教學(xué)思路是：感悟、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的存在—經(jīng)歷規(guī)律的尋根過程—規(guī)律的運(yùn)用過程。“運(yùn)算律”的存在，是蘊(yùn)含在算式的意義和計(jì)算的算理之中，是“固有”的，而不是依靠在解決同一問題時(shí)，出現(xiàn)了幾種不同的算式，然后再進(jìn)行驗(yàn)證、歸納、總結(jié)的過程，這勢(shì)必會(huì)有點(diǎn)“本末顛倒”之感。

把運(yùn)算律單元教學(xué)變成一節(jié)知識(shí)的回顧、梳理、提升的總結(jié)課，這樣簡(jiǎn)化了教學(xué)過程，幾個(gè)規(guī)律的概括由原來三四節(jié)課的課時(shí)量變成了一節(jié)課的課時(shí)量，留出更多的時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷體會(huì)幾個(gè)運(yùn)算律之間的聯(lián)系和區(qū)別上，體會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律來解決實(shí)際問題的意識(shí)和價(jià)值上，這樣的探索經(jīng)歷的過程更具有數(shù)學(xué)味。

（安徽蚌埠禹會(huì)區(qū)教育局教研室 ? 233000）