概率，了解不確定性

方弦

“概率”這兩個字，除了出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課本中外，最常出現(xiàn)的地方也許就是天氣預(yù)報中的“降水概率”了，也就是未來幾天下雨的可能性有多大。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，概率論是專門研究“可能性”的一個分支。它涉及的問題非常廣泛，涵蓋的內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了課本里那些刻板的習(xí)題。

一切隨機(jī)或者不確定的事件，都是概率論研究的范疇。上至氣象下至金融，甚至連“磁鐵的磁性是怎么來的”這種物理問題，都可以用概率的方法進(jìn)行研究。

不過，雖然概率論的應(yīng)用范圍非常廣泛，但這門學(xué)科的誕生卻有些“不太光彩”。

來自賭博的問題

1654年的一天早上，法國數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）收到了他的朋友貢博的一封來信。這位朋友自稱“來自梅雷的騎士”，也算是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。他向帕斯卡提出了如下問題：兩位貴族A與B正在進(jìn)行一場賭局，賭注是每人500法郎。游戲規(guī)則很簡單，兩人輪流擲硬幣，得到正面則A得一分，反面則B得一分，每局兩人得分的機(jī)會相等，誰先得到6分誰就拿走這1000法郎。兩人激戰(zhàn)至2比4之際，B突然有事需要提前中止賭局。那么問題來了，究竟應(yīng)該如何分配賭資才最公平呢？

在數(shù)學(xué)中，這一類問題被稱為點數(shù)分配問題。早在16世紀(jì)就有人研究過，不過當(dāng)時數(shù)學(xué)家給出的答案并不令人滿意，在某些極端情況下，甚至?xí)o出非常不合理的分配方案。也許這位“梅雷騎士”正是見識過現(xiàn)實中因這類賭局和突發(fā)狀況而引起的矛盾，因此才特意寫信給帕斯卡，希望他能夠完美地解決這個問題。

作為一代數(shù)學(xué)大家，帕斯卡對此也產(chǎn)生了濃厚的興趣。隨即，他便向另一位業(yè)余數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre Fermat）發(fā)去了一封信，共同討論這個問題。“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬很快就給出了一個答案。他認(rèn)為，不能單憑賭局停止時的比分或者各自獲勝所需要的分?jǐn)?shù)來決定賭注的分配，而是應(yīng)該考慮所有比賽可能出現(xiàn)的狀況，從而計算出雙方的獲勝比例。當(dāng)然，列舉所有可能性的計算量非常大，于是帕斯卡提出了一個簡化算法，并完美地解決了點數(shù)分配問題。

實際上，他們的解答就相當(dāng)于在計算兩位玩家勝利概率的大小。在研究中，帕斯卡提出了“數(shù)學(xué)期望”的概念，以及著名的“帕斯卡三角形”（我國稱其為“楊輝三角形”，即二項式展開式的系數(shù)規(guī)律）。某個結(jié)果為實數(shù)的隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)期望，也就是所有結(jié)果按照發(fā)生概率加權(quán)之后的平均值。

數(shù)學(xué)期望這個概念，掀開了概率論研究的序幕。無疑，帕斯卡和費(fèi)馬對早期概率論的發(fā)展起到了極大的影響。

什么是概率

很多概率問題都有著特別的結(jié)構(gòu)。以某個非常簡單的隨機(jī)事件來說，比如拋擲硬幣。我們知道每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大小，而這類事件就被稱為“基本事件”。我們可以多次重復(fù)這些基本事件，假定它們發(fā)生的可能性不會改變，而且這些重復(fù)沒有相互影響。如果我們將這些基本事件以合適的形式組合起來，就能得到一個更為復(fù)雜而有趣的系統(tǒng)。

事實上，許多概率問題就是對這些隨機(jī)系統(tǒng)的各種性質(zhì)的研究。比如說，在點數(shù)分配問題中，基本事件就是硬幣的拋擲，而系統(tǒng)則是賭局的具體規(guī)則，最后我們希望得知的則是每一方獲勝的可能性大小。

在概率論的早期發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家研究的問題大多比較簡單，不僅基本事件只有有限的幾種結(jié)果，就連組合的方式也相對單一。這樣構(gòu)成的隨機(jī)系統(tǒng)就被稱為古典概型。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家開始考慮更加復(fù)雜的模型。18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家布豐（Der Buffon）提出了這樣一個問題：在數(shù)條間隔相等的平行線之間，隨機(jī)投下長度與間距相等的一根針，那么它與這些平行線相交的概率是多少？在這個問題里，由于角度與距離都是連續(xù)的值，因此這樣的基本事件就有著無數(shù)種不同的結(jié)果。這樣的隨機(jī)系統(tǒng)就被稱為幾何概型。

其實早在19世紀(jì)，概率論就已經(jīng)成為了一門枝繁葉茂的數(shù)學(xué)分支。但有趣的是，直到20世紀(jì)，“概率”這個概念才有了嚴(yán)格定義。雖然古典概型的結(jié)果數(shù)量有限，其定義相對簡單，并沒有什么含糊之處，但幾何概型的情況顯然更為復(fù)雜。

我們不妨考慮這樣一個問題：圓中有一條隨機(jī)的弦，它的長度比圓內(nèi)接正三角形的邊長更長的概率是多少？其實，這個問題又叫做貝特朗悖論，它的奇特之處在于，選取“隨機(jī)的弦”的方法不同，得到的概率也不盡相同。

直到1933年，俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）為概率論建立公理體系之后，這個問題的解答才變得昭然若揭。柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕誓Ｐ徒⒃谀骋活愃^的“σ代數(shù)上的測度”上，這樣的測度可以有很多種，而不同的測度則對應(yīng)著不同的“隨機(jī)”。在貝特朗悖論中，選取隨機(jī)弦的方法實際上對應(yīng)著不同測度的選取，也就是不同的“隨機(jī)”概念，自然會得到不同的結(jié)果。

如今，概率模型的種類已經(jīng)變得越來越多，也越來越復(fù)雜，系統(tǒng)可以包含無限個基本事件，而具體的組織方式也更加繁復(fù)、更為有趣——隨機(jī)圖、滲流模型、自回避行走……這些概率模型早已不能用古典概型或幾何概型來概括了。不過，也正是因為有了這些復(fù)雜的模型，我們才能用概率論解決在現(xiàn)實世界中碰到的種種難題。

>>將弦的一段固定在等邊三角形的某一個頂點上，然后將另一端繞著圓周旋轉(zhuǎn)?？梢栽趫D一中發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)另一端點位于上方的圓弧時，這條弦的長度才會超過三角形的邊長，由此可得所求概率為13。

>>根據(jù)幾何學(xué)原理，圓內(nèi)弦的長度與弦到圓心的距離有關(guān)。從圖二可以看出，當(dāng)弦心距小于12時，這條弦的長度大于三角形邊長，所以這樣求出的概率為12。

>>再來考慮一條弦的中點，根據(jù)圖三可以得出：只有當(dāng)弦的中點位于半徑為12的小圓內(nèi)部時，這條弦的長度才滿足要求，同時因為這個小圓的面積是大圓的14倍，所以所求概率也是14。

無處不在的分布

如果讓數(shù)學(xué)家評選概率論中最重要的定理，桂冠可能非中心極限定理（Central Limit Theorem）莫屬。它不僅是概率論中許多重要結(jié)果的基石，就是在其他學(xué)科，尤其是計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，它也有相當(dāng)重要的應(yīng)用。而在現(xiàn)實生活中，它還是整整一個行業(yè)賴以生存的理論基礎(chǔ)。

其實，中心極限定理不止一個，它的本質(zhì)是一連串定理的總稱，我們可以把它視為“大數(shù)定理”的細(xì)化與推廣。

假設(shè)我們有一枚硬幣，它擲出正反面的概率相等，那么，如果我們連續(xù)拋擲這枚硬幣一萬次，常識告訴我們，其中為正面的結(jié)果大概是五千次。這就是大數(shù)定理：如果對某個基本事件獨(dú)立地重復(fù)多次，那么某個可能性發(fā)生的次數(shù)占總數(shù)的比例就會趨近于這個可能性發(fā)生的概率。

與大數(shù)定理不同的是，中心極限定理處理的則是那些結(jié)果是實數(shù)的隨機(jī)基本事件。它告訴我們，如果將許多相同而又獨(dú)立的基本事件的結(jié)果取平均值的話，那么這個平均值會趨向某個概率分布。如果根據(jù)大數(shù)定理，這個分布的數(shù)學(xué)期望就是基本事件的數(shù)學(xué)期望。而中心極限定理則告訴了我們額外的一點——這個概率分布必定是一個所謂的“正態(tài)分布”（Normal distribution），而它的方差，也就是概率分布的“分散”程度，是基本事件的方差除以事件數(shù)目的平方根。也就是說，基本事件越多，平均值的不確定性就越小。

如果我們將這個正態(tài)分布畫成曲線的話，那么它就像是一口大鐘，中間高，兩端則呈指數(shù)衰減，這也為它贏得了“鐘形曲線”這么一個形象的名字。其實，中心極限定理可以推廣到取值范圍是高維空間中任意一點的情況，而“相同的基本事件”這個要求也可以被不那么嚴(yán)苛的條件代替——這些基本事件只要滿足某些要求即可，不需要完全相同。

正態(tài)分布在自然界中隨處可見，比如說人的身高和智力就服從正態(tài)分布。這是因為自然界中的很多現(xiàn)象，都是由各種因素相互交織而成的，其中并沒有什么特別突出的因素。我們以人的身高為例，除了由許多不同的基因調(diào)控外，后天的營養(yǎng)、環(huán)境、健康，甚至是偶然的意外，都對身高有著各自的影響。在這種情況下，如果我們將每個因素都看成一個基本事件，并且假定這些因素各自的影響能力都差不多，那么將其綜合考慮，根據(jù)中心極限定理，我們就會得到一個非常接近于正態(tài)分布的結(jié)果。

也許你很難想象，中心極限定理也是保險這一整個行業(yè)的基礎(chǔ)。我們每個人都會遇到各種各樣的風(fēng)險，比如事故、疾病等等。雖然這些風(fēng)險發(fā)生的概率都很低，可一旦發(fā)生，其后果將非常嚴(yán)重，并非每個人都能承受。而保險業(yè)實際上正是基于這一點，通過保費(fèi)與保險賠付的方式，將上千萬人連結(jié)了起來——每個人都只付出相對小的代價，但在不幸襲來時，就能獲得一定的保障。根據(jù)中心極限定理，我們可以得知，由數(shù)量龐大的個案相加而成的保險業(yè)務(wù)，因偶然因素導(dǎo)致大額賠付的概率非常小，而且參與的人數(shù)越多，風(fēng)險就越小。為了確定保費(fèi)與賠付額，盡可能地獲得盈利，保險公司實際上要做的就是根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，精準(zhǔn)地確定意外發(fā)生的概率，隨后根據(jù)意外概率與收益，確定保費(fèi)與賠付的金額。這也正是現(xiàn)代保險公司越來越重視概率與統(tǒng)計的原因。

理解復(fù)雜世界

除了與不確定性相關(guān)的問題之外，概率論與物理也有著千絲萬縷的聯(lián)系。法國物理學(xué)家皮埃爾·居里（Pierre Curie）在攻讀博士學(xué)位時，就發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)于磁鐵的有趣性質(zhì)：無論磁力多強(qiáng)的鐵制磁鐵，在將其加熱到770℃時，都會突然失去磁性。這個溫度后來就被稱為鐵的居里點。那么，為什么磁鐵會突然失去磁性？通過概率論與統(tǒng)計物理分析，我們現(xiàn)在明白，這種現(xiàn)象與冰雪消融、開水沸騰類似，都屬于相變的范疇。

我們可以將磁鐵里的鐵原子想象成一個又一個的小磁針，在磁鐵還有磁性時，這些小磁針都會齊刷刷地指向同一個方向。但因為分子熱運(yùn)動的關(guān)系，每個小磁針都會時不時地動一下，但很快就會被附近的小磁針重新同化。物理學(xué)家將這個場景抽象成所謂的伊辛模型。通過對伊辛模型的研究，概率學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)溫度達(dá)到某個臨界值時，整個體系就會由于熱運(yùn)動而不能保持統(tǒng)一的指向，這也意味著磁鐵失去了磁性。這個臨界值就是我們之前提到的居里點，而對伊辛模型的研究也部分揭示了磁鐵一些微觀結(jié)構(gòu)的成因。

相變不僅僅局限于物理現(xiàn)象。流言的傳播、傳染病的爆發(fā)，還有微博的轉(zhuǎn)發(fā)，都是一種相變過程，都存在著某種臨界值。例如在“三人成虎”這個成語中，“三”就是所謂的臨界值。又比如說傳染病，在適當(dāng)?shù)哪Ｐ拖?，如果每個病人傳染人數(shù)的平均值低于某個臨界值時，那么疾病就能被控制；如果高于臨界值，就很可能導(dǎo)致疫病的全面爆發(fā)。雖然對于疾病傳播的研究，屬于流行病學(xué)研究的范疇，但在概率論被引入流行病學(xué)研究之后，我們對如何防止與控制疫病爆發(fā)有了更深入的了解，這是能夠挽救成千上萬人性命的知識。

當(dāng)然，概率論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。大至失事飛機(jī)搜救，小至垃圾郵件過濾，我們都能在其中找到概率論的身影。這個復(fù)雜的世界充滿了不確定性，有些無傷大雅，有些卻能致命。若要駕馭這些不確定性，就要先從了解它們開始，這就是概率論的意義。

概率論不能為我們帶來一個沒有風(fēng)險的世界，但它卻能教會我們?nèi)绾闻c風(fēng)險和平共處，雖然它帶來的僅僅是一種關(guān)于不確定性的知識。

但知識，往往就是力量。