產(chǎn)出增長(zhǎng)率與通貨膨脹率預(yù)測(cè)研究

蔡宇

摘 要：本文在“預(yù)測(cè)”及“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”兩種情境下分別使用混頻數(shù)據(jù)取樣方法研究高頻股票收益率對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)率和通貨膨脹率的預(yù)測(cè)精度。筆者采用近年來(lái)新提出的頻域過(guò)濾因子對(duì)股票收益率進(jìn)行過(guò)濾，以排除季度趨勢(shì)及高頻噪音對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響；使用從實(shí)際數(shù)據(jù)所估算出來(lái)的MIDAS權(quán)重參數(shù)對(duì)高頻股票數(shù)據(jù)進(jìn)行加總。本文發(fā)現(xiàn)MIDAS模型對(duì)美國(guó)和新加坡兩國(guó)具有相當(dāng)好的預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)；MIDAS；頻域過(guò)濾因子；Diebold-Mariano檢驗(yàn)

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000176X（2015）05001208

一、引 言

預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的趨勢(shì)是中央銀行、金融企業(yè)以及其它經(jīng)營(yíng)績(jī)效取決于商業(yè)周期條件的經(jīng)濟(jì)實(shí)體的一項(xiàng)重要任務(wù)。不幸的是，很多重要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量都沒(méi)有在相同的頻率采樣，例如，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）數(shù)據(jù)一般是每季度公布一次，通貨膨脹率數(shù)據(jù)為每個(gè)月公布一次，而股票市場(chǎng)指數(shù)則一般是每日甚至每隔數(shù)秒就產(chǎn)生一次。不同頻率的采樣數(shù)據(jù)給經(jīng)濟(jì)變量的精確預(yù)測(cè)造成了一個(gè)兩難困境：一方面，高頻率的經(jīng)濟(jì)變量包含潛在的有用信息；另一方面，標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間序列模型要求所有的經(jīng)濟(jì)變量的頻率必須是相同的，如果模型中有一些變量是低頻率的，我們就不能直接利用高頻率信息來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Ghysels等[1]-[3]針對(duì)該兩難困境提出了一個(gè)直接的解決辦法，即所謂的混頻數(shù)據(jù)取樣（Mixed Data Sampling，MIDAS）方法，該方法允許計(jì)量模型等式兩邊的經(jīng)濟(jì)變量的頻率不同的，高頻率經(jīng)濟(jì)變量通過(guò)一個(gè)參數(shù)化的多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)進(jìn)行加總，變成與低頻率經(jīng)濟(jì)變量處于同一頻率的變量，從而可以利用傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行研究。

雖然高頻數(shù)據(jù)包含潛在的有用信息，它也可能包含噪音和其它多余因素，這些因素對(duì)于低頻宏觀經(jīng)濟(jì)變量的預(yù)測(cè)不具有幫助作用。因此，我們?cè)谶M(jìn)行預(yù)測(cè)之前先對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行過(guò)濾，以對(duì)比哪個(gè)頻率區(qū)間的高頻數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)和通貨膨脹具有最高預(yù)測(cè)精度。同時(shí)，當(dāng)我們?cè)趥鹘y(tǒng)的時(shí)間序列回歸模型里使用加總的高頻金融變量時(shí)會(huì)產(chǎn)生估計(jì)的問(wèn)題，Andreou等[4]指出在采用相同加總權(quán)重的回歸模型里，所估計(jì)出的“斜率”參數(shù)呈漸進(jìn)非有效而且在許多情況下不具有一致性。眾所周知，非有效及不一致的參數(shù)估計(jì)會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)造成負(fù)向影響。

在（1）所表示的混頻框架下，變量x（m）t的滯后觀測(cè)值數(shù)目有可能是許多個(gè)。例如，如果季度變量yt受六個(gè)月的x（m）t滯后值影響，我們就需要132個(gè)滯后高頻滯后變量（K=132）。如果不對(duì)滯后多項(xiàng)式的參數(shù)數(shù)目加以限制（或B（k）不依賴(lài)于θ），我們需要估計(jì)的參數(shù)數(shù)目將會(huì)非常之多。在MIDAS回歸方程當(dāng)中，滯后算子L1/m中的系數(shù)由已知函數(shù)B（k；θ）所捕獲，而B(niǎo)（k；θ）只需一個(gè)低維的參數(shù)向量即可概括。在本文中，我們將會(huì)探討兩種B（k；θ）函數(shù)的具體形式。最后，參數(shù)β1描述了滯后變量x（m）t對(duì)yt整體影響。

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分為文獻(xiàn)綜述；第三部分為MIDAS模型方法的詳細(xì)介紹和討論；第四部分描述了用于預(yù)測(cè)的實(shí)際數(shù)據(jù)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)MIDAS回歸模型的參數(shù)估計(jì)及Outliaris和 Corbae[5]提出的最優(yōu)頻域過(guò)濾因子。第五部分陳述了我們對(duì)采用頻域過(guò)濾因子過(guò)濾過(guò)及沒(méi)有過(guò)濾過(guò)的高頻股票收益率的預(yù)測(cè)結(jié)果，同時(shí)介紹了Diebold-Mariano檢驗(yàn)，此檢驗(yàn)常被用于比較不同預(yù)測(cè)指標(biāo)之間的預(yù)測(cè)準(zhǔn)度。第六部分得出結(jié)論。

二、文獻(xiàn)綜述

Ghysels等[1]研究了MIDAS回歸估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)，并與傳統(tǒng)的分布滯后模型進(jìn)行比較。他們發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)時(shí)候MIDAS回歸模型相比傳統(tǒng)的將高頻序列加總為低頻序列的方法更有效。且在某些情況下，當(dāng)所有序列都處于最高頻率時(shí)，MIDAS回歸模型同樣可以與分布滯后模型（Distributed Lag Model）相媲美。

之后MIDAS方法被廣泛應(yīng)用于市場(chǎng)波動(dòng)性的預(yù)測(cè)。Ghysels等[2]采用1928—2000年的美國(guó)月度及每日市場(chǎng)回報(bào)數(shù)據(jù)，并使用條件方差的MIDAS模型。研究表明市場(chǎng)波動(dòng)和預(yù)期收益之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系，證實(shí)了Merton[5]提出的跨期資本資產(chǎn)定價(jià)模型（ICAPM）。作者同時(shí)將商業(yè)周期變量與對(duì)稱(chēng)及非對(duì)稱(chēng)的條件方差MIDAS估計(jì)量分別考慮在ICAPM等式內(nèi)，發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)與預(yù)期收益之間的權(quán)衡關(guān)系大致維持不變，且條件方差對(duì)預(yù)期收益的解釋力不受其它新加入預(yù)測(cè)變量的影響。

Ghysels等[3]應(yīng)用MIDAS回歸模型研究了收益波動(dòng)率的可預(yù)測(cè)性。MIDAS回歸框架使得他們能夠探究高頻數(shù)據(jù)的使用是否必然導(dǎo)致在不同的預(yù)測(cè)區(qū)間都有更好的波動(dòng)性預(yù)測(cè)，且保持較大的靈活性。他們發(fā)現(xiàn)“每日實(shí)現(xiàn)力”（Daily Realized Power，即高頻絕對(duì)收益的總和[6]-[7]）是未來(lái)波動(dòng)率（以二次變分的增量來(lái)衡量）的最佳預(yù)測(cè)指標(biāo)，且優(yōu)于以“已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率”（定義為二次變分的過(guò)去增量）為預(yù)測(cè)指標(biāo)的模型。

Ghysels等[8]提出了MIDAS的各種擴(kuò)展模型，如廣義MIDAS回歸、非線性MIDAS回歸，以及多元MIDAS回歸等。他們應(yīng)用這些拓展的MIDAS模型從10年的日道瓊斯指數(shù)收益數(shù)據(jù)中估計(jì)條件期望收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)即使樣本周期（Sample Period）或者參數(shù)權(quán)重（Parameter Weights）不一樣，條件期望與風(fēng)險(xiǎn)（條件方差）依然存在統(tǒng)計(jì)顯著的正向關(guān)系，這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)與收益的權(quán)衡是美國(guó)股市的穩(wěn)健特征。

Alper等[9]探討了基于平方日收益率（Squared Daily Returns）的線性單變量MIDAS回歸模型相對(duì)每周股票市場(chǎng)波動(dòng)性的預(yù)測(cè)表現(xiàn)，并利用四個(gè)發(fā)達(dá)國(guó)家與十個(gè)發(fā)展中國(guó)家的數(shù)據(jù)與基準(zhǔn)GARCH（1，1）模型（簡(jiǎn)稱(chēng)基準(zhǔn)模型）進(jìn)行比較。他們的研究結(jié)果表明，MIDAS 平方日收益率回歸模型在四個(gè)發(fā)達(dá)國(guó)家的表現(xiàn)顯著優(yōu)于基準(zhǔn)模型。此外，基準(zhǔn)模型沒(méi)能在十個(gè)發(fā)展中國(guó)家中的任何一個(gè)有優(yōu)于MIDAS回歸模型的表現(xiàn)。然而，對(duì)于波動(dòng)性相對(duì)較小的發(fā)達(dá)國(guó)家群體，兩者的表現(xiàn)差異不是很明顯。

Alper等[10]使用單變量MIDAS模型評(píng)估了十個(gè)新興股票市場(chǎng)的樣本外預(yù)測(cè)并與基準(zhǔn)模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明MIDAS模型在經(jīng)濟(jì)處于動(dòng)蕩時(shí)期時(shí)（如2008—2013年金融市場(chǎng)的動(dòng)蕩）相比基準(zhǔn)模型有更好的預(yù)測(cè)，表現(xiàn)為兩者的均方預(yù)測(cè)誤差（MSPEs）之比低于1。不過(guò)他們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)經(jīng)濟(jì)處于平穩(wěn)時(shí)期時(shí)， MIDAS模型對(duì)股票市場(chǎng)周波動(dòng)率沒(méi)有相比基準(zhǔn)模型更好的預(yù)測(cè)。

以上研究是MIDAS模型在市場(chǎng)波動(dòng)性領(lǐng)域的最新研究成果，關(guān)于MIDAS模型在高頻數(shù)據(jù)（如股票市場(chǎng)收益率）預(yù)測(cè)產(chǎn)出增長(zhǎng)率等領(lǐng)域的應(yīng)用，同樣是MIDAS模型十分具有前景的研究領(lǐng)域。例如，Tay[11]在季度一階自回歸模型（AR（1））中分別引入日收益率及r-日收益率，并使用MIDAS方法進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)估。結(jié)果表明MIDAS模型對(duì)實(shí)際產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)比基準(zhǔn)模型高出20%—30%。

Clements[12]稱(chēng)該回歸方程為AR-MIDAS模型。他們研究發(fā)現(xiàn)在本季度中采用月度數(shù)據(jù)顯著改善了對(duì)本季度及未來(lái)5個(gè)季度產(chǎn)出增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)。實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的使用也證實(shí)了他們的研究結(jié)果。

對(duì)通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，Andreou等[13]發(fā)現(xiàn)使用單變量MIDAS模型預(yù)測(cè)后一季度的CPI指數(shù)相比傳統(tǒng)的移動(dòng)窗口（RW）模型、自回歸（AR）模型及因子-自回歸（FAR）模型分別有85%、53%及19%的改進(jìn)。

相較于以前的研究，本文主要做了以下三方面的工作：首先，本文采用最優(yōu)頻域?yàn)V波器對(duì)每日股票收益數(shù)據(jù)進(jìn)行過(guò)濾處理，使得我們能夠清楚知道哪個(gè)頻率區(qū)間的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)產(chǎn)出增長(zhǎng)率和通貨膨脹率最有幫助。其次，本文研究發(fā)現(xiàn)MIDAS方法對(duì)通貨膨脹率的預(yù)測(cè)比產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)更為有效。最后，本文利用Diebold-Mariano檢驗(yàn)比較不同預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果，并得出一些新的見(jiàn)解。

二、MIDAS權(quán)重函數(shù)

本節(jié)我們探討（1）式中權(quán)重函數(shù)B（k；θ）的具體表達(dá)式。我們已經(jīng)知道MIDAS回歸模型使用非常簡(jiǎn)約的分布滯后項(xiàng)來(lái)描述因變量（通常是低頻）對(duì)高頻解釋變量的反應(yīng)，以防止參數(shù)數(shù)目過(guò)多。

我們稱(chēng)式（2）為指數(shù)Almon滯后項(xiàng)。權(quán)重函數(shù)B（k；θ）的形式靈活多變，僅使用少數(shù)幾個(gè)參數(shù)呈現(xiàn)各種形狀。Ghysels等[2]使用了兩個(gè)參數(shù)值的Almon滯后項(xiàng)，即T=2或者θ=[θ1，θ2]。從兩個(gè)參數(shù)的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)在不同的參數(shù)值下的靈活形態(tài)可以看出，即使只有兩個(gè)參數(shù)，指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)的形態(tài)也是十分豐富的。需要指出的是，權(quán)重函數(shù)遞減的速度決定了式（1）當(dāng)中滯后項(xiàng)的個(gè)數(shù)，且由于參數(shù)是利用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)的，一旦B（k；θ）的形式確定，滯后項(xiàng)長(zhǎng)度的選擇純粹是由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的。

圖2顯示了（3）式在θ1與θ2取不同值時(shí)的不同形態(tài)。β權(quán)重函數(shù)可以呈現(xiàn)許多不同的形態(tài)。，圖2僅顯示了其中一部分，用以說(shuō)明Beta權(quán)重函數(shù)的靈活性。正如在指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)部分所提到的，Beta權(quán)重函數(shù)的權(quán)重遞減速度決定了MIDAS回歸方程所包含的滯后變量數(shù)目。

我們僅介紹了MIDAS多項(xiàng)式的兩種基本表達(dá)式，隨著該領(lǐng)域研究成果的增多，許多新的MIDAS多項(xiàng)式被介紹到對(duì)混頻數(shù)據(jù)的研究當(dāng)中。限于本文的目的及篇幅，就不再贅述。接下來(lái)我們本文將通過(guò)在Matlab中編程從實(shí)際數(shù)據(jù)中估計(jì)出MIDAS權(quán)重多項(xiàng)式的參數(shù)值。

三、數(shù)據(jù)與參數(shù)估計(jì)

我們使用混合頻率（每日及每季度）的數(shù)據(jù)集，

本文使用的所有原始數(shù)據(jù)（高頻及低頻）皆來(lái)自CEIC數(shù)據(jù)庫(kù)。目的是利用每日股票收益率預(yù)測(cè)季度產(chǎn)出增長(zhǎng)率及通貨膨脹率。本文使用（最優(yōu)頻域?yàn)V波器）過(guò)濾過(guò)的及原始的道瓊斯工業(yè)指數(shù)（DJI）日收益率來(lái)預(yù)測(cè)美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率和通貨膨脹率。我們選取的時(shí)間區(qū)間為1951年1月1日至2010年12月31日。我們選擇了三對(duì)樣本內(nèi)回歸區(qū)間及樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間，分別為：（1）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1951年第1季度至2008年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2009年第1季度至2010年第4季度。（2）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1951年第1季度至2006年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2007年第1季度至2010年第4季度。（3）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1951年第1季度至2004年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2005年第1季度至2010年第4季度。每個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間的均方預(yù)測(cè)誤差（MSFE）都被計(jì)算以方便不同預(yù)測(cè)模型之間的比較。類(lèi)似地，我們采用同樣的方法預(yù)測(cè)新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率和通貨膨脹率。所采用的日股票收益數(shù)據(jù)為1986年1月1日至2010年12月31日的海峽時(shí)報(bào)指數(shù)（STI），我們同樣選擇了三對(duì)樣本內(nèi)回歸區(qū)間及樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：（1）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1986年第1季度至2008年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2009年第1季度至2010年第4季度。（2）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1986年第1季度至2006年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2007年第1季度至2010年第4季度。（3）樣本內(nèi)回歸區(qū)間：1986年第1季度至2004年第4季度；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間：2005年第1季度至2010年第4季度。

1.頻域?yàn)V波器

Ouliaris和 Corbae[14]提出了一種新的頻域?yàn)V波器（簡(jiǎn)稱(chēng)為FDF），該濾波器可以提取水平時(shí)間序列中的周期性成分，并且能夠輕松地處理時(shí)間序列的隨機(jī)及確定性趨勢(shì)（對(duì)平穩(wěn)序列顯然）。通過(guò)一系列的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，利用數(shù)據(jù)生成過(guò)程如美國(guó)實(shí)際產(chǎn)出增長(zhǎng)率，發(fā)現(xiàn)該頻域?yàn)V波器相比流行的時(shí)域?yàn)V波器（HP濾波器及BK濾波器），其均方預(yù)測(cè)誤差要低得多。此外，Ouliaris和 Corbae[14]建議的頻域?yàn)V波器相比Marianne和Robert[15]以及Hodrick和 Prescott[16]分別提出的BK濾波器和HP濾波器有一個(gè)重要優(yōu)勢(shì)，就是它只需要我們?cè)O(shè)定一個(gè)商業(yè)周期的區(qū)間，而不需要設(shè)定任何參數(shù)。以本文為例，我們提取了6—32季度（即1.5—8.0年）區(qū)間的產(chǎn)出成分，或者等價(jià)地，395.0—2 088.5天區(qū)間的每日股票收益成分。圖3至圖5顯示了我們使用頻域?yàn)V波器過(guò)濾后的季度產(chǎn)出，通貨膨脹及每日股票收益率結(jié)果。

2.參數(shù)估計(jì)

MIDAS方法關(guān)鍵的一步在于估計(jì)MIDAS權(quán)重函數(shù)式（2）及式（3）當(dāng)中參數(shù)（θ1，θ2）的值。參數(shù)（θ1，θ2）不僅決定了MIDAS權(quán)重函數(shù)的形狀，而且同樣決定了式（1）中所包含的滯后項(xiàng)數(shù)目的多少。本文試圖從“預(yù)測(cè)”（Forecasting）及“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”（Nowcasting）兩種情境下分別估計(jì)（θ1，θ2）。限于篇幅，我們僅使用如下包含指數(shù)Almon 權(quán)重函數(shù)的AR-MIDAS回歸方程：

在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，通過(guò)對(duì)AR-MIDAS進(jìn)行NLS估計(jì)，我們得出參數(shù)值（β0，β1，β2）及（θ1，θ2）的估計(jì)值，如表1所示。

將表1中所得到的參數(shù)估計(jì)值代入Almon權(quán)重函數(shù)，就能得到在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下Almon權(quán)重與滯后日之間的關(guān)系。類(lèi)似地，，如圖6及圖7所示：圖6以FDF日股票收益率為解釋變量；圖7以原始日股票收益率為解釋變量。從圖中我們可以看出，即使在一個(gè)季度的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，Almond權(quán)重函數(shù)與日滯后變量之間的關(guān)系已經(jīng)十分清晰了。

從圖6中可以看出，以FDF日股票收益率為解釋變量，結(jié)果顯示：在（美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率、美國(guó)、新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率）三個(gè)子圖當(dāng)中，Almon權(quán)重函數(shù)在0到1天的區(qū)間之內(nèi)均呈線性遞減趨勢(shì)，且在1天以外直到第66天均為0值。說(shuō)明只有當(dāng)天的FDF日股票收益率為預(yù)測(cè)美國(guó)（新加坡）的產(chǎn)出增長(zhǎng)率以及美國(guó)的提供了有用信息。解釋變量為原始日股票收益率的情況反映在圖7中。在（美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率）子圖當(dāng)中，Almon權(quán)重函數(shù)呈現(xiàn)出良好的駝峰形狀。新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率及通貨膨脹率的Almon權(quán)重函數(shù)形狀與美國(guó)的Almon函數(shù)形狀類(lèi)似。

在“預(yù)測(cè)”情境下，我們利用式（5）AR-MIDAS模型得出參數(shù)值（β0，β1，β2）及（θ1，θ2）估計(jì)值，如表2所示。

圖8和圖9反映了在“預(yù)測(cè)”情境下，分別以FDF日股票收益率和原始日股票收益率為解釋變量，且有四個(gè)不同因變量時(shí)Almon權(quán)重函數(shù)的形態(tài)。對(duì)比圖8與圖6可知，對(duì)于美國(guó)與新加坡的產(chǎn)出增長(zhǎng)率以及美國(guó)季度通貨膨脹率的Almon權(quán)重函數(shù)，“預(yù)測(cè)”情境下的形態(tài)與“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下的形態(tài)十分類(lèi)似，即所有對(duì)預(yù)測(cè)有用的信息都包含在了當(dāng)日的FDF股票收益率當(dāng)中，而之后的65個(gè)日滯后FDF股票收益率對(duì)美國(guó)與新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率及美國(guó)通貨通膨率沒(méi)有影響。然而對(duì)新加坡的Almon權(quán)重函數(shù)有些特殊。與遞減的或駝峰型的Almon權(quán)重函數(shù)不同，該Almon權(quán)重函數(shù)是隨著日滯后日的增多而增加的，因此最大的權(quán)重總是賦予最遠(yuǎn)滯后日。

其中，Yt代表名義或者對(duì)數(shù)差分化后的產(chǎn)出增長(zhǎng)率。Sqt（Sqt-1）代表對(duì)數(shù)差分化后的原始季度股票回報(bào)率，且經(jīng)過(guò)如式（4）或者式（5）的“季節(jié)反應(yīng)”處理，即乘以因子（1-1L）以剔除“季節(jié)反應(yīng)”（下同）。Sudt（Sudt-1）代表對(duì)數(shù)差分化后的原始日股票回報(bào)率的季度加總，Sfd1（Sfdt-1）代表對(duì)數(shù)差分化后的FDF日股票回報(bào)率的季度加總。我們?cè)凇皩?shí)時(shí)預(yù)報(bào)”與“預(yù)測(cè)”情境下分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，且在每種情境中選擇以原始季度股票回報(bào)率為解釋變量的預(yù)測(cè)模型作為我們的基準(zhǔn)模型，例如，式（6）為“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下的基準(zhǔn)模型；式（7）為“預(yù)測(cè)”情境下的基準(zhǔn)模型。這樣處理的目的：一方面，因?yàn)榧径裙善被貓?bào)率數(shù)據(jù)與產(chǎn)出增長(zhǎng)率及數(shù)據(jù)處于同一頻率，因而我們可以直接使用其對(duì)后者進(jìn)行預(yù)測(cè)；另一方面，通過(guò)比較（加總的）日股票回報(bào)率與季度股票回報(bào)率的預(yù)測(cè)結(jié)果，我們可以知道高頻股票回報(bào)數(shù)據(jù)是否包含任何對(duì)預(yù)測(cè)產(chǎn)出增長(zhǎng)率有用的信息，且是季度股票回報(bào)數(shù)據(jù)所沒(méi)有捕捉到的。同樣地，使用這樣的處理方式可以讓我們檢測(cè)MIDAS方法的有效性，即使用MIDAS權(quán)重函數(shù)對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行加總的同時(shí)，盡可能多地保留對(duì)預(yù)測(cè)有用的信息。此外，通過(guò)比較FDF日股票回報(bào)率（即使用頻域?yàn)V波器過(guò)濾后的日股票回報(bào)率）與原始日股票回報(bào)率的預(yù)測(cè)結(jié)果，我們可以知道，在剔除了超高頻的噪音以及可能的季節(jié)趨勢(shì)之后，我們的預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)不會(huì)比原始數(shù)據(jù)來(lái)得更好。

我們將對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)率與通貨膨率的預(yù)測(cè)結(jié)果列示在表3和表4中。我們分別在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”與“預(yù)測(cè)”情境下計(jì)算出每一個(gè)預(yù)測(cè)模型的均方預(yù)測(cè)誤差（MSFE），并且除以每種情境下基準(zhǔn)模型的均方預(yù)測(cè)誤差以便比較。另外，從數(shù)據(jù)部分的介紹可知，我們所采用的樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間分別為h=8， h=16，h=24。

1.名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果分析

從表3可以看出，原始股票回報(bào)率以及經(jīng)頻域過(guò)濾器過(guò)濾過(guò)的日股票回報(bào)率對(duì)預(yù)測(cè)美國(guó)名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的作用十分微小，計(jì)算出的均方預(yù)測(cè)誤差（MSFE）與基準(zhǔn)模型的均方預(yù)測(cè)誤差比值都大于1，說(shuō)明我們所選取的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果比基準(zhǔn)模型要差。同時(shí)，在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”與“預(yù)測(cè)”情境下，我們很難甄別以原始股票回報(bào)率為解釋變量的預(yù)測(cè)模型（式（8）與式（9））和以FDF股票回報(bào)率為解釋變量預(yù)測(cè)模型（式（10）與式（11））之間的優(yōu)劣。

以上是針對(duì)美國(guó)名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果分析，看上去令人有些沮喪，因?yàn)樵诩尤敫哳l股票回報(bào)率的信息之后，我們的預(yù)測(cè)模型相比基準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)效果反而更差。不過(guò)對(duì)新加坡名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果讓人重拾對(duì)MIDAS預(yù)測(cè)模型的信心，對(duì)新加坡的預(yù)測(cè)結(jié)果更是相當(dāng)?shù)毓奈枞诵?。我們接下?lái)分析對(duì)新加坡名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)名義通貨膨脹率的預(yù)測(cè)分析留到下一部分。

表3中用黑體顯示的數(shù)值表示，式（8）預(yù)測(cè)模型以及式（10）預(yù)測(cè)模型的均方預(yù)測(cè)誤差相比基準(zhǔn)模型式（6）都要低，說(shuō)明兩者的預(yù)測(cè)精度比基準(zhǔn)模型要高。換句話說(shuō)，在引入高頻股票數(shù)據(jù)后（無(wú)論是原始的還是經(jīng)頻域過(guò)濾因子過(guò)濾過(guò)的），我們改進(jìn)了對(duì)新加坡名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)精度。另外，很容易看出式（8）預(yù)測(cè)模型在三個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間h=8、h=16、h=24的相對(duì)均方預(yù)測(cè)誤差都比式（10）預(yù)測(cè)模型的均方預(yù)測(cè)誤差小。這說(shuō)明在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，式（8）預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度要比式（10）更高。

在“預(yù)測(cè)”情境下，我們一方面能看出式（8）預(yù)測(cè)模型和式（10）預(yù)測(cè)模型在三個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間的均方預(yù)測(cè)誤差均比相應(yīng)的基準(zhǔn)模型式（6）和式（7）大，說(shuō)明引入高頻股票回報(bào)率信息后，我們對(duì)新加坡名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)精度反而降低了。另外，對(duì)比式（8）與式（10）的預(yù)測(cè)結(jié)果可知，在“預(yù)測(cè)”情境下，且在三個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間當(dāng)中，式（8）預(yù)測(cè)模型的相對(duì)均方誤差都比式（10）預(yù)測(cè)模型的相對(duì)均方誤差小。

綜上所述，對(duì)于美國(guó)名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，無(wú)論在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”還是“預(yù)測(cè)”情境下，我們的MIDAS預(yù)測(cè)模型不但沒(méi)有提供相比基準(zhǔn)模型更多的有用信息，反而降低了預(yù)測(cè)精度。而且我們也不能在式（8）與式（10）、式（9）與式（11）預(yù)測(cè)模型做出優(yōu)劣的判斷。對(duì)于新加坡名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，式（8）以及式（10）預(yù)測(cè)模型相比基準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)均有改進(jìn)，雖然在“預(yù)測(cè)”情境下我們不能得出類(lèi)似的結(jié)論。最后，無(wú)論是在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”還是“預(yù)測(cè)”情境下，式（8）預(yù)測(cè)模型都比式（10）預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度更高。這說(shuō)明，我們?cè)趯?duì)原始海峽時(shí)報(bào)指數(shù)（STI）使用頻域過(guò)濾因子進(jìn)行過(guò)濾的過(guò)程當(dāng)中，可能把對(duì)預(yù)測(cè)產(chǎn)出增長(zhǎng)率有益的信息也過(guò)濾掉了，而這些有用的信息包含在高頻噪音以及長(zhǎng)期趨勢(shì)當(dāng)中。在以后的研究當(dāng)中，我們可以進(jìn)一步探討這個(gè)問(wèn)題。

2.名義通貨膨脹率的預(yù)測(cè)結(jié)果分析

與名義產(chǎn)出增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)的情形類(lèi)似，Yt代表美國(guó)或者新加坡的季度通貨膨脹率，sudt（sudt-1）代表對(duì)數(shù)差分化的原始日股票回報(bào)率季度加總，而sfdt（sfdt-1）代表對(duì)數(shù)差分化的FDF日股票回報(bào)率的季度加總。預(yù)測(cè)結(jié)果如表4所示。

預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，引入高頻股票回報(bào)率信息之后，式（8）—式（11）模型的均方預(yù)測(cè)誤差（MFSE）相比基準(zhǔn)模型都小于1（只有使用FDF日股票回報(bào)率對(duì)美國(guó)進(jìn)行“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”與“預(yù)測(cè)”時(shí)情況例外），說(shuō)明高頻股票回報(bào)率數(shù)據(jù)包含有預(yù)測(cè)有用的信息。具體而言，對(duì)美國(guó)名義通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，無(wú)論在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”還是“預(yù)測(cè)”情境下，以原始日股票回報(bào)率為解釋變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型相比基準(zhǔn)模型有更高的預(yù)測(cè)精度。以FDF日股票回報(bào)率為解釋變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型相比基準(zhǔn)模型隨著預(yù)測(cè)區(qū)間的不同而預(yù)測(cè)結(jié)果不一樣。且在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，原始日股票回報(bào)率相比FDF日股票回報(bào)率包含有更多的有用信息，而在“預(yù)測(cè)”情境下，我們不能得出類(lèi)似的結(jié)論。對(duì)于新加坡名義通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”還是“預(yù)測(cè)”情境下，在對(duì)原始海峽時(shí)報(bào)指數(shù)（STI）使用頻域過(guò)濾因子進(jìn)行過(guò)濾后，剔除掉了高頻噪音及長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響，的確改進(jìn)了新加坡通貨膨脹率的預(yù)測(cè)效果。

3. Diebold-Mariano檢驗(yàn)

Diebold和Mariano[17]提出了一種比較不同預(yù)測(cè)模型的直接方法，該方法可用于二次損失函數(shù)、多期預(yù)測(cè)以及預(yù)測(cè)誤差。我們將應(yīng)用該檢驗(yàn)比較不同預(yù)測(cè)指標(biāo)的預(yù)測(cè)效果。在實(shí)際應(yīng)用中，我們選取均方誤差損失為我們的損失函數(shù)。我們?cè)凇皩?shí)時(shí)預(yù)報(bào)”以及“預(yù)測(cè)”情境下分別進(jìn)行比較，而且也對(duì)“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下的預(yù)測(cè)指標(biāo)以及“預(yù)測(cè)”情境下的預(yù)測(cè)指標(biāo)進(jìn)行了交叉比較。從表5可知，在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，對(duì)美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，以原始日股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度相比基準(zhǔn)自回歸預(yù)測(cè)模型要弱（在5%的顯著性水平下），但與以FDF日股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型沒(méi)有顯著差別。然而，對(duì)美國(guó)季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)以原始股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度比基準(zhǔn)模型以及以FDF日股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型都要高（在10%的顯著性水平下），但后兩者之間的差別卻不明顯。對(duì)于新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，本文所采納的三個(gè)預(yù)測(cè)模型之間的預(yù)測(cè)精度對(duì)比沒(méi)有顯著差別。我們對(duì)新加坡季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)得出一些新的結(jié)果：分別以原始日股票收益率和以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型相比基準(zhǔn)自回歸模型的預(yù)測(cè)精度都要高（顯著性水平為10%）。特別地，我們看到FDF日股票收益率MIDAS模型的預(yù)測(cè)精度要比原始日股票收益率MIDAS模型高（顯著性水平同樣為10%），這說(shuō)明當(dāng)我們將高頻STI指數(shù)可能的季度趨勢(shì)以及高頻的噪音過(guò)濾掉以后，模型對(duì)新加坡季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)精度相應(yīng)提高。

在“預(yù)測(cè)”情境下（如表5中欄所示），我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率以及季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，本文所應(yīng)用的三個(gè)預(yù)測(cè)模型之間的預(yù)測(cè)精度均沒(méi)有顯著差別。對(duì)新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，檢驗(yàn)結(jié)果告訴我們，以原始日股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度相比基準(zhǔn)自回歸模型要稍差（顯著性水平為10%），然而，后者與以FDF日股票收益率為自變量的預(yù)測(cè)模型之間的預(yù)測(cè)精度沒(méi)有顯著差別。對(duì)新加坡季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型的預(yù)測(cè)精度比以原始日股票收率為自變量的MIDAS模型以及基準(zhǔn)模型都要高（顯著性水平為5%），雖然后兩者之間的預(yù)測(cè)差別并不明顯。這證實(shí)了我們?cè)凇皩?shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下對(duì)新加坡季度通貨膨脹率預(yù)測(cè)的結(jié)論。我們?cè)僖淮慰吹?，采用最?yōu)頻率過(guò)濾器過(guò)濾后的數(shù)據(jù)在某種程度上的確改進(jìn)我們的預(yù)測(cè)精度。

我們對(duì)比“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”及“預(yù)測(cè)”情境下的預(yù)測(cè)模型之間的預(yù)測(cè)精度，即交叉對(duì)比，結(jié)果顯示在表5下欄。對(duì)于美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)以實(shí)時(shí)原始日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度相比以滯后一期的原始日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型并沒(méi)有顯著改進(jìn)。對(duì)于FDF日股票收益率（實(shí)時(shí)和滯后一期）情形類(lèi)似。這說(shuō)明引進(jìn)當(dāng)前季度的股票數(shù)據(jù)并沒(méi)有顯著改善我們對(duì)該季度的美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)效果。然而，對(duì)于基準(zhǔn)模型，引進(jìn)當(dāng)前季度的股票數(shù)據(jù)的確改進(jìn)了我們對(duì)該季度的美國(guó)產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)效果（在10%的顯著性水平下），盡管程度比較弱。對(duì)美國(guó)季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)以實(shí)時(shí)股票信息為自變量的“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”模型與以滯后一期的股票信息為自變量的“預(yù)測(cè)”模型之前的預(yù)測(cè)并沒(méi)有顯著差別。對(duì)新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，以實(shí)時(shí)原始日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度相比以滯后一期的原始日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型要高，且顯著性水平為1%，但對(duì)于其它兩個(gè)預(yù)測(cè)模型，實(shí)時(shí)股票信息的引進(jìn)并沒(méi)有明顯改善對(duì)新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)效果。對(duì)新加坡季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)以實(shí)時(shí)FDF股票信息為自變量的“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”模型的預(yù)測(cè)精度比以滯后一期的FDF股票信息為自變量的“預(yù)測(cè)”模型之前要低（顯著性水平為5%）。該結(jié)論與我們?cè)趫D 8右下圖所看到的圖像是吻合的。

五、結(jié)論與展望

本文研究了每日股票收益率對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)率和季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)效果。我們采用一個(gè)新的頻域?yàn)V波器對(duì)每日股票收益率進(jìn)行過(guò)濾，以剔除長(zhǎng)期趨勢(shì)和高頻噪音的影響，并且我們使用從實(shí)際數(shù)據(jù)中估計(jì)出來(lái)的參數(shù)值代入指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)以對(duì)每日股票數(shù)據(jù)進(jìn)行加總。我們發(fā)現(xiàn)使用MIDAS回歸的預(yù)測(cè)指標(biāo)對(duì)季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)效果要比對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)效果更理想。我們使用MIDAS模型對(duì)新加坡季度通貨膨脹率的預(yù)測(cè)精度比基準(zhǔn)模型要高，無(wú)論是原始日股票收益率還是使用頻域?yàn)V波器過(guò)濾過(guò)的（即FDF）日股票收益率都是如此。此外，使用FDF日股票收益率為自變量的MIDAS預(yù)測(cè)模型比以原始日股票收益率為自變量的MIDAS模型的預(yù)測(cè)精度要高。在“預(yù)測(cè)”情境下，使用FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型在三個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)相比基準(zhǔn)模型的MSFE值平均要小45%，而在“實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)”情境下，相對(duì)MSFE要比基準(zhǔn)模型小25%，這與我們?cè)贒iebold-Mariano檢驗(yàn)得出的結(jié)論是一致的。對(duì)美國(guó)通脹率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)以原始日股票收益率為自變量的MIDAS模型比以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型預(yù)測(cè)精度要高，且實(shí)時(shí)股票收益率改進(jìn)了預(yù)測(cè)效果。對(duì)于美國(guó)和新加坡產(chǎn)出增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)MIDAS回歸模型的預(yù)測(cè)效果相比基準(zhǔn)模型并沒(méi)有明顯的改善。

有幾個(gè)方面可以對(duì)本文的研究進(jìn)行拓展：值得說(shuō)明的是：首先，限于篇幅，本文只考慮了指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)參數(shù)的估計(jì)，以及使用它對(duì)日股票收益率進(jìn)行加總。在混頻數(shù)據(jù)取樣文獻(xiàn)當(dāng)中，本文所介紹的β權(quán)重函數(shù)因其靈活性特別高而被廣泛采用。除了這兩個(gè)常見(jiàn)的加總函數(shù)以外，線性權(quán)重函數(shù)、雙曲權(quán)重函數(shù)以及幾何權(quán)重函數(shù)等都成為MIDAS權(quán)重函數(shù)的來(lái)源，我們可以根據(jù)研究的需要來(lái)采用合適的權(quán)重加總函數(shù)。其次，本文主要考慮日股票收益率對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量產(chǎn)出增長(zhǎng)率和通貨膨脹率的預(yù)測(cè)，而在MIDAS文獻(xiàn)當(dāng)中，使用該方法對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)性的預(yù)測(cè)是極為普遍的，也是MIDAS方法的主要應(yīng)用領(lǐng)域。

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Abstract：In this paper， we study the predictive power of daily stock returns on output growth and inflation with Mixed Data Sampling （henceforth， MIDAS） regression models both in forecasting and nowcasting contexts. We filter the daily stock returns with a newly proposed frequency domain filter， and aggregate the daily data with MIDAS weights using estimated parameter values. We find that predictors with MIDAS regressions perform quite well in USA and Singapore.

Key words： Forecasting； MIDAS； Frequency Domain Filter； Diebold-Mariano Test

（責(zé)任編輯：韓淑麗）