發(fā)生教學法：起源、理論基礎與應用

張俊忠+綦春霞

德國生物學家赫克爾在1866年提出了“生物發(fā)生原理”，即“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.[1]類推于教育得出：個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程.對于數學教育，即“個體對數學知識的理解過程遵循數學知識的發(fā)生發(fā)展過程.”這樣要求教師將數學史融入數學教育中，教師需要理解人類是如何獲得某些數學概念或事實，從而對學生應該如何理解這些知識作出更好的判斷.把數學史作為教學線索，不明確地談論數學史，用數學史來啟示教學，這就是數學發(fā)生教學法.

1 發(fā)生教學法的起源

古希臘哲學家亞里士多德（公元前384-公元前322）認為，兒童在發(fā)展過程中必須一個時期一個時期地重演人類從野蠻到文明的發(fā)展階段.瑞士教育學家裴斯泰洛奇（1746—1827）認為教學要以人的心理為依據，要尋找和認識教學的心理根源.德國教育家弗羅貝爾（1782—1852）認為每一個注意到自己發(fā)展的人，都可以在他自己身上認識和研究種族發(fā)展的歷史.英國教育家斯賓塞（1820—1903）認為“兒童的教育，無論在方式上，或在安排上，均須與歷史上人類的教育相對應.”[2]

從語義學上看，發(fā)生學來自17世紀以來逐漸形成的胚胎學，主要探討生物學領域的發(fā)生發(fā)育和演化問題.1759年，法國醫(yī)生卡·沃爾夫最先提出，后來由許多學者發(fā)展得到一個重要結論是：生物的胚胎發(fā)育、個體發(fā)育以濃縮的形式重演相應物種的系統(tǒng)發(fā)育，稱之為“重演律”.德國生物學家赫克爾用他自己的話來說，即“個體發(fā)生學（個體動物的發(fā)展）扼要的重演了系統(tǒng)發(fā)育學（動物種類的進化歷史）.”[1]類推于教育，即個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程，這就是歷史發(fā)生原理.

從已有的文獻上來看，首先使用“發(fā)生教學”這個詞的是德國教育家第斯多惠（1790—1866），第斯多惠認為：所有的學科都應接受“發(fā)生教學”，因為這是學科興起和進入人類意識的方式[3].德國數學家F·克萊因（1849—1925）在為中學教師所撰寫的《高觀點下的初等數學》中，經常從歷史發(fā)展的角度來引入一個新概念.

歷史發(fā)生原理的思想在20世紀20年代就初具雛形.在20世紀50年代末和70年代初，美國和歐洲一些國家出現“新數運動”，在中小學介紹大學水平的嚴格概念，導致學生在學習和理解概念的過程中經歷了明顯的困難.為了應對“新數運動”中出現的問題，促成了歷史發(fā)生原理向教學領域的遷移，發(fā)生教學法（the genetic approach to teaching and learning）應運而生.數學家托普利（1881—1940）和數學家波利亞（1887—1985）是發(fā)生教學法的主要闡述者.

2 發(fā)生教學法的理論基礎

發(fā)生教學法的本質是通過追尋思想的起源，激發(fā)學習動機，再研究創(chuàng)始人所做工作的背景，以尋求他試圖回答的關鍵問題.從心理學的觀點來看，解決一個問題而不知道問題的起源是很困難的.在保持數學探究和教學結構嚴謹性的同時，還要剖析數學的演繹呈現方式，讓學生認識到數學的發(fā)展過程，而不僅僅是邏輯順序.發(fā)生教學法的基礎是數學史，但并不是研究數學史，而是選擇相關的歷史背景.歷史僅僅是提供有利于學生學習的素材，發(fā)展學生的直覺，教學的目的不是講授歷史，而是尋找學生學習的最佳方式.人的心理產生于一定的歷史文化環(huán)境，文化與認知相互依存，不可分割[4].

發(fā)生教學法介于嚴格的歷史方法與嚴格的演繹方法之間，強調借鑒歷史引入主題，但需要掌握恰當的教學時機.由于學生學習某個主題往往需要解決問題，因此在教學中，教師要關注“主題的必要性”和“主題的可接受性”.應當保護和發(fā)展學生對未知事物獵奇的天性，積極引導學生經歷知識的發(fā)生過程[5].發(fā)生教學法的理論基礎有歷史發(fā)生原理、學習動機理論和皮亞杰的發(fā)生認知原理等.

2.1 歷史發(fā)生原理

生物的胚胎發(fā)育、個體發(fā)育以濃縮的形式重演相應物種的系統(tǒng)發(fā)育，稱之為“重演律”.從“重演律”的角度來看，對生物系統(tǒng)兩個歷史過程對比的重演律研究，為我們研究其他物質系統(tǒng)和精神系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律提供了啟示.類推于教育，即個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程，這就是歷史發(fā)生原理.人類認識真理的過程，往往要經過無數次的“實踐—認識—再實踐—再認識”，有時要經過無數次的挫折和失敗，甚至經過許多人的努力才能得到比較準確的認識，而每一個體的認識過程也是這樣.

教育的任務是使學生的心智通過前人所經歷的歷程，快速而不遺漏地通過每一階段.即有效的學習是要求每位學習者追溯正在學習的主題在歷史中演變的主要步驟，有意識地安排一些必要的曲折和彎路，重蹈人類思維發(fā)展中的那些關鍵性步子.

2.2 學習動機理論

學習動機是直接推動學生進行學習的一種動力.它是一種學習的需要，這種需要是社會和教育對學生學習的客觀要求在學生頭腦里的反映，它表現為學習的意向、愿望或興趣等形式.學習動機是激發(fā)個體進行學習活動、維持已引起的學習活動，并使個體的學習活動朝向一定的學習目標的一種內部啟動機制.它與學習活動可以相互激發(fā)、相互加強.學生的學習活動是由各種不同的動力因素組成的整個系統(tǒng)所引起的.其心理因素包括：學習的需要，學習的必要性的認識及信念，學習興趣、愛好或習慣等.從事學習活動，除要有學習的需要外，還要有滿足這種需要的學習目標.學習目標同學生的需要一起，成為學習動機的重要構成因素.

學習動機是影響學生學習活動的重要因素，它不僅影響學習的發(fā)生，而且還影響到學習進程和學習結果.教師既要善于激發(fā)學生學習的內部動機，又要恰當激發(fā)學生學習的外部動機.因此教師在教育中，教師要通過情境，引出“主題的必要性”.激發(fā)學生的學習動機，讓學生認識到所引入的新主題乃是解決問題的需要.

2.3 皮亞杰的發(fā)生認知原理

在認識過程中，同化指主體把客體納入自己的圖式之中，從而引起了圖式的量的變化，順應是指主體的圖式不能同化客體，因而導致圖式質的變化，去適應客體.兒童每遇到新事物，總是力圖用原有的圖式去同化它，如果獲得成功，原有的圖式便得到鞏固和加強，認識達到平衡；如果失敗，便做出順應，建立新的圖式去適應現實，直至達到認識上的新的平衡.這種不斷發(fā)展著的平衡，就是皮亞杰所說的認識結構的建構過程，從而描述了認識的發(fā)生、發(fā)展的有序性和階段性.

兒童認識的建構過程可劃分為四大階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段.在發(fā)展過程中，每一個結構起始于前面階段的結構，把前面階段的結構整合為一個新的結構，而這個結構本身又繼續(xù)向前發(fā)展，或遲或早地整合成為下一階段的結構.自我調節(jié)是生命組織的最基本的特征，正是這種自我調節(jié)作用，主動地、不斷地協(xié)調著有機體和環(huán)境之間的關系，從而為認識結構中同化、順應等機能提供了生物學前提，使認識的發(fā)生和不斷建構成為可能.教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷，通過某些階段而不跳過任何階段.

3 發(fā)生教學法的應用

3.1 發(fā)生教學法的策略

運用發(fā)生教學法進行教學設計的關鍵在于教師，對教師的要求是：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發(fā)展過程中的關鍵環(huán)節(jié)；（3）掌握一個環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個環(huán)節(jié)的原因是什么？遇到的困難和障礙是什么？（4）重構歷史環(huán)節(jié)，使其適合于課堂教學；（5）設計出一系列由易到難、環(huán)環(huán)相扣的問題.可以是歷史上的問題，也可以是改編的問題.

具體實施時，通常從四個角度分析教學內容的發(fā)生過程：歷史、邏輯、心理學和社會文化.設計可以分為四個階段：（1）創(chuàng)設問題情境：思維和認知過程的起源是構造問題情景的最佳方式.（2）自然引出新問題：思考和理解的第一步是產生問題，而且每解決一個問題就會產生新的問題.因此，在解決了最初的問題之后，還需要不斷思考新的、自然出現的問題.（3）分析學生的認知需求：確定學生思維能力的水平，估計過程中可能存在的困難，重要的是尋求激發(fā)學生學習動機的方法.（4）重構歷史順序：在現代教學背景下重構關鍵的思想和問題，使之更適合新知識的教學，強調以發(fā)生的歷史過程解釋概念、理論或關鍵思想后面的動機.因此數學課堂教學也是一個復雜的社會文化和認知發(fā)展過程[6].

3.2 發(fā)生教學法的實踐

現在以北師大版七年級數學上冊第三章“整式及其加減”第一節(jié)“字母表示數”為例，詳細介紹發(fā)生教學法的具體過程.通過閱讀整節(jié)，作為教師要了解四個問題：

3.2.1 全面了解“字母表示數”的歷史

19世紀德國數學史家內塞爾曼在《希臘代數》中將代數學的發(fā)展分成三個階段：修辭代數、縮略代數和符號代數.

修辭代數階段，人們沒有使用符號表示數，所有問題的解決都用文字來說明，如古巴比倫泥版BM13901上有七個問題，其中第1題是：“將正方形面積與邊長相加，和為34，求邊長.”解法是：置系數1，半之，得12；12自乘，得14.將14與34相加，得1；此為1的平方，從1中減去12，得12，即為正方形邊長.”

在古希臘，畢達哥拉斯學派（公元前六世紀）研究了多邊形數，數學家們能輕易說出一個具體的多邊形數.由于不知道字母表示數，他們卻無法表達“任一三角形數”.同樣數列的“通項”概念在修辭代數里是根本不存在的，所有數列求和的結果都是針對具體的若干項.塞流斯時期（約公元前300年）泥版AO6484上載有1—10的平方和，結果是12+22+32+…+102=（1×13+10×23）×55.古代兩河流域、阿拉伯的代數學均屬于修辭代數.

公元三世紀，古希臘數學家丟番圖在《算術》中首次用字母“ζ”來表示未知數，于是丟番圖成為縮略代數最早的作者.在《算術》第1卷中[7]，第1題是：“已知兩數的和與差，，求這兩個數.”丟番圖的解法是：假設和為100，差為40，較小數為x，則較大數為40+x，則2x+40=100，故得x=30，而較大數為70.這里我們把丟番圖的“ζ”改成了x.后來，使用不同的字母表示不同的數，但是可以看到字母總是表示未知數.由于不知道用字母也可以表示任意已知數，丟番圖只能用特殊的數來代替題中的已知數.

古代印度數學家使用縮略的梵文音節(jié)來表示未知數，沒有用縮略音節(jié)來表示任意數（包括已知數和未知數）.如印度數學家婆什伽羅（1114—1185）和古希臘數學家一樣，不會用字母來表達“任意多項”和一般項，只是取一些特殊的項數，且通項公式與求和公式都是用文字來描述，因此古代印度的代數屬于縮略代數.

中國宋元時期的數學家使用“天元”來表示未知數，“二元一次方程”中的“元”指的就是未知數.在“天元術”中，通過系數的縱向有序排列來表達多項式，在常數項右邊標一“太”字，或只在一次項系數的右邊標一“元”字，中國宋元時期的“天元術”最多也只能歸入縮略代數.

公元十六世紀，法國數學家韋達（1540—1603）實現了歷史性的突破，在《分析引論》（1591）中使用字母來表示未知數和已知數.他說：“本書將輔以某種技巧，通過符號來區(qū)分未知量和已知量：用A或其他元音字母I、O、V、Y等來表示所求量，用B、G、D或其他輔音字母來表示已知量，始終如一，一目了然.”并將這種新的代數叫“類的算術”，以區(qū)別于過去的“數的算術”，“類的算術”就是符號代數.規(guī)定了算術與代數的分界，認為代數運算施行于事物的類或形式，算術運算施行于具體的數.這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問.法國數學家笛卡爾（1596—1650）對韋達的符號系統(tǒng)進行了改進.從修辭代數到符號代數，代數學經歷了三千多年的漫長歷程.

3.2.2 “縮略代數”到“符號代數”是關鍵

“縮略代數”階段以字母表示未知數為典型特征，丟番圖是這一時期的典型代表人物.隨后印度數學家阿里耶波（476—550）等雖朝向“符號代數”有所接近，但只在字母表示數的類型與方程解的一般性上做出了貢獻，而不是嘗試表達“任意數”.在丟番圖之后一千多年間，歐洲人不僅沒有進步，反而倒退回古巴比倫祭司的水平，即修辭代數階段.如13世紀初，意大利數學家斐波納契在《計算之書》中，依然沒有用字母來表示數.在該書第12章，作者給出二次冪和的求法，他只能與古希臘和阿拉伯數學家一樣，取一個特殊的數作為項數.方程的求解過程也完全是用文字來表達的，將未知數稱為“物”.16世紀，意大利數學家盡管在三次和四次方程的求解上取得突破，但他們仍未利用字母表示數的便利.塔塔里亞（1499—1557）為了不讓自己遺忘所發(fā)現的三次方程求根公式，自編長詩.

中世紀阿拉伯的數學家盡管在數列求和方面取得了卓越的成就，但是他們不會用字母來表示數.如他們不會表示數列通項和“任意多項”，他們只能通過具體的若干項來說明求和的方法.雖然“代數學”的名稱源于花拉子米（約780—約850）的著作，而花拉子米卻用“1平方與10根等于39單位”這樣的語言來描述一元二次方程x2+10x=39.

“字母表示數”經歷了三千多年的歷史過程，經過許多數學家的探索和完善.學生只靠幾節(jié)課又如何能跨越如此漫長的歷史長河？誠如M·克萊因對“新數運動”的批判：從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡兒以前，沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數[8].因此，這樣的過渡仍然需要經歷緩慢的過程而非一蹴而就.只有隨著逐步的學習，學生才能逐漸理解和接受符號代數.

3.2.3 學生學習的障礙和困惑

在長期的算術學習中，學生形成的認知與代數學習有較大的差別，“字母表示數”意義的多樣性與不確定性是造成學生學習代數的主要障礙.字母意義的演變過程為：記數符號—未知數—任意數.隨著人們對字母意義認識水平的提高，字母表示數的功能逐步得到發(fā)展與完善，這是一個漫長的過程.因此學生在學習“字母表示數”的時候會遇到許多困難，主要表現為：不同字母可以取同一個值；同一個字母在不同時刻可以取不同的值；同一字母在不同問題中可以取不同的值；在同一題中不同的數要用不同字母表示；字母不一定表示對象，也可以表示單位（如m可以表示米）等.

3.2.4 根據歷史，重構課堂

每位孩子的認知發(fā)展可能各有特點，但總體上應該遵循人類認識的一般規(guī)律.按照人們對“字母表示數”的認知發(fā)展過程，孩子對“字母表示數”的認知應該分為以下幾個階段：第一階段，字母不僅可以表示未知數，還可以表示已知數；第二階段，字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數；第三階段，不僅可以在縮略水平上運用字母，還可以在符號水平上運用字母；第四階段，學生設計符號、運用符號，自覺地用字母表示數來進行計算、分析、推理和論證.沒有這四點認識的逐步遞進，即使反復強調“字母表示數”是由具體到抽象的飛躍，學生還是不可能在心理上表征“字母表示數”的真正意義.“字母表示數”的新意義要進入學生已有的認知結構，字母運用的原有經驗是必經的節(jié)點.學生的認識要實現飛躍，就必須對“字母表示數”的新意義和舊經驗之間的區(qū)別有清楚的認識.鑒于此，教學的整體設計何去何從，似乎不難選擇，在課堂上再現人類認識的三千多年歷史也就順理成章了.

參考文獻

[1] 赫克爾著，馬君武譯.宇宙之謎[M].北京：中華書局出版，1958.

[2] 赫·斯賓塞著，胡毅，王承緒譯.斯賓塞教育論著選[M].北京：人民教育出版社，2005.

[3] 第斯多惠著，袁一安譯.德國教師培養(yǎng)指南[M].北京：人民教育出版社，2001.

[4] 張維忠.數學教育中的數學文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[5] 涂榮豹，寧連華.中學數學經典教學方[M].福州：福建教育出版社，2011.

[6] 黃金榮，李業(yè)平.數學課堂教學研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[7] Fauevl，J.&Gray，J. The History Of Mathematics： A Reader[M]. Hampshire：Ma cmillan Education ，1987 .

[8] Kline， M . Logic versus pedagogy [J]. American Mathematical Monthly，1970，77（3）.