二線相交 解題有奇招

左效平

兩個一次函數(shù)相交，演繹精彩無限的考題，面對二線相交，解題也有奇招，寫下來共分享.

1 二線相交，根據(jù)交點位置，探求內(nèi)含字母的取值

例1 （2014年江西）直線y=x+1與y=-2x+a的交點在第一象限，則a的取值可以是（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.2

分析 兩直線相交，由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組有解，解出關(guān)于x、y的二元一次方程組，根據(jù)交點在第一象限，橫坐標是正數(shù)，縱坐標是正數(shù)，列出不等式組求解，最后逐一驗證在范圍內(nèi)的即為所求.

解 根據(jù)題意，兩直線有交點，得y=x+1，

y=-2x+a， 解得：x=a-13，

y=a+23.

因為兩直線的交點在第一象限，所以a-13>0，

a+23>0，解得a>1，所以符合條件的數(shù)是2，所以選D.

點評 聯(lián)立兩函數(shù)解析式構(gòu)造二元一次方程組是求交點坐標的常用方法，要熟練掌握并靈活運用.熟記象限的符號特點，準確轉(zhuǎn)化成不等式組是解題的關(guān)鍵.

2 二線相交，根據(jù)交點的橫坐標，確定不等式的解集

圖1例2 （2014年荊門）如圖1，直線y1=x+b與y2=kx-1相交于點P，點P的橫坐標為-1，則關(guān)于x的不等式x+b>kx-1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）.

分析 觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>-1時，函數(shù)y=x+b的圖象都在y=kx-1的圖象上方，所以不等式x+b>kx-1的解集為x>-1，然后根據(jù)用數(shù)軸表示不等式解集的方法對各選項進行判斷.

解 當(dāng)x>-1時，x+b>kx-1，即不等式x+b>kx-1的解集為x>-1.所以選A.

點評 從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合.

3 二線相交，已知交點的坐標，根據(jù)三角形的面積，探求線段的差

例3 （2014年株洲）直線y=k1x+b1（k1>0）與y=k2x+b2（k2<0）相交于點（-2，0），且兩直線與y軸圍成的三角形面積為4，那么b1-b2等于 .

分析 交點的橫坐標的絕對值是三角形的高，直線與y軸的交點的縱坐標差是三角形的底邊，利用三角形的面積公式代入計算即可.

圖2解 如圖2，直線y=k1x+b1（k1>0）與y軸交于B點，所以點B的坐標為（0，b1），直線y=k2x+b2（k2<0）與y軸交于C，所以點C的坐標為（0，b2），所以BC=b1-b2，因為直線y=k1x+b1（k1>0）與y=k2x+b2（k2<0）相交于點（-2，0），所以O(shè)A=2，因為△ABC的面積為4，所以12×OA×BC=12×2×（b1-b2）=4，所以b1-b2=4.所以應(yīng)該填4.

點評 解題時，注意兩點，一是用坐標的絕對值表示線段的長；二是共線兩點線段長的表示為用靠近正方向的點的縱坐標減去遠離的點的縱坐標.

4 二線相交，已知交點的橫坐標，正比例函數(shù)解析式，探求一次函數(shù)的解析式

例4 （2014年四川宜賓）如圖3，過A點的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點B，則這個一次函數(shù)的解析式是（ ）

A.y=2x+3 B.y=x-3

C.y=2x-3 D.y=-x+3

分析 根據(jù)正比例函數(shù)圖象確定B點坐標，再根據(jù)圖象確定A點的坐標，設(shè)出一次函數(shù)解析式，代入一次函數(shù)解析式即可求出.

圖3解 因為B點在正比例函數(shù)y=2x的圖象上，橫坐標為1，所以y=2×1=2，所以B（1，2），設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，因為一次函數(shù)的圖象過點A（0，3），與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點B（1，2），所以得到方程組b=3，

k+b=2， 解得b=3，

k=-1， 所以一次函數(shù)的解析式為y=-x+3，所以選D.

點評 解題時，把握好兩點，一是理解交點坐標的意義：交點的坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式；二是用好數(shù)形結(jié)合的思想，能從圖像中找出自己需要的點的坐標，為解題補充必要的條件.

5 二線相交，利用對稱，探求線段和的最小值

例5 （2014年貴州黔東南）如圖4所示的平面直角坐標系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為 .

分析 利用對稱性構(gòu)造出點A關(guān)于直線y=x的對稱點，求出對稱點的坐標，連接對稱點與點B，與直線的交點就是線段和最小時的位置.

圖4 圖5解 如圖5所示：作A點關(guān)于直線y=x的對稱點A′，連接A′B，交直線y=x于點P，此時PA+PB最小，由題意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA，所以PA+PB=A′B=12+22=5所以應(yīng)該填：5.

點評 利用軸對稱求最短路線以及一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，得出P點位置是解題關(guān)鍵.

圖66 二線相交，已知交點的坐標，根據(jù)三角形的面積，探求線段的差

例6 如圖6，已知點A1，A2，A3，…，An，An+1是x軸上，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1，分別過A1，A2，A3，…，An，An+1向x軸作垂線，與直線y=2x的交點分別于B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，連接A1B2，B1A2，…，AnBn+1，BnAn+1，交點分別為P1，P2，P3，…，Pn，若三角形A1B1P1的面積，三角形A2B2P2的面積，AnBnPn的面積依次記作S1，S2，…，Sn，則Sn的面積為（ ）.

A.n+12n+1 B.n3n-1 C.n22n-1 D.n22n+1

分析 三角形AnBnPn的面積可以這樣來表示：以AnBn為底邊，Pn到AnBn的距離為高，而求高的關(guān)鍵是確定直線AnBn+1的解析式，直線An+1Bn的解析式，聯(lián)立兩個解析式的方程組就可以求得交點的坐標，交點的橫坐標與n的差就是三角形的高.

解 因為OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，則An的坐標為（n，0），An+1的坐標為（n+1，0），當(dāng)x=n時，y=2x=2n，所以點Bn的坐標為（n，2n），當(dāng)x=n+1時，y=2x=2n+2，所以點Bn+1的坐標為（n+1，2n+2）.

設(shè)直線AnBn+1的解析式為y=kx+b，所以kn+b=0，

k（n+1）+b=2n+2，解得k=2n+2，

b=-2n2-2n，所以直線的解析式為y=（2n+2）x+（-2n2-2n）；

設(shè)直線An+1Bn的解析式為y=mx+h，所以mn+h=2n，

m（n+1）+h=0，解得m=-2n，

h=2n2+2n，所以直線的解析式為y=-2nx+（2n2+2n）；因為兩直線相交，

所以y=-2nx+（2n2+2n），

y=（2n+2）x+（-2n2-2n），解得x=2n2+2n2n+1，

y=2n2+2n2n+1，所以兩直線的交點坐標Pn為（2n2+2n2n+1，2n2+2n2n+1），所以三角形AnBnPn底邊AnBn上的高h=2n2+2n2n+1-n=n2n+1，所以三角形AnBnPn的面積為：12×AnBn×h=12×2n×n2n+1=n22n+1.

所以選擇D.

點評 利用解析式求出交點的坐標是解題的關(guān)鍵.