探索性問題的主要考查類型析解

徐金艷

探索性問題就是問題的條件或結(jié)論不直接給出，需要經(jīng)過觀察、分析、推理、化歸、特殊化、一般化、數(shù)形結(jié)合及猜想等一系列的探索活動，才能確定要求的條件或結(jié)論.該類試題的總體特點是：給出命題的結(jié)論，探索該結(jié)論成立的條件；或給出命題的條件，探索命題的結(jié)論；或給出一些特例，探索寓于這些特例中的一般規(guī)律；或給出一個真命題，適當(dāng)改變這個命題的某個條件時，探索命題的結(jié)論是否仍然成立，也就是相應(yīng)的條件探索型、結(jié)論探索型、規(guī)律探索型和存在性探索型等問題.最近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷中經(jīng)常出現(xiàn)這類問題，常常被作為壓軸題考查學(xué)生的綜合能力，學(xué)生解答這類問題時有一定的難度，得分不高.下面結(jié)合具體題目進(jìn)行分析.

1 探索性問題的常見類型

1.1 條件探索型

解決這類探索型問題的總體思路是采用分析法，把結(jié)論看作已知進(jìn)行逆推，探索結(jié)論成立所需要的條件.

例1 （2014年天津市）已知反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象位于第一、第三象限，寫出一個符合條件的k的值為 .

析解 反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象的位置取決于k與0的大小關(guān)系.當(dāng)k>0時在第一，三象限，否則在第二、四象限.本題已知反比例函數(shù)y=kx的圖象位于第一、第三象限，則有k>0，答案不唯一.題目要求寫出符合條件一個的k的值便可以.所以可填1，2，13等，只要是正數(shù)即可.

點評 考題為開放性問題，答案不唯一.主要考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：（1）k>0時，圖象是位于一、三象限；（2）k<0時，圖象是位于二、四象限.

1.2 結(jié)論探索型

解決這類探索題的總體思路是先假定結(jié)論存在，并以此進(jìn)行推理.

例2 （2014年山東煙臺）在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖1，當(dāng)點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖4，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運(yùn)動，請你畫出點P運(yùn)動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

圖1 圖2 圖3 圖4析解 （1）AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是.（3）成立.由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G，如圖5，則∠CDF+∠ADG=90°，所以∠ADG+∠DAE=90°.所以AE⊥DF.

圖5 圖6（4）如圖6，由于點P在運(yùn)動中保持∠APD=90°，所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧.設(shè)AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，在Rt△ODC中，OC=CD2+OD2=22+12=5，所以CP=OC-OP=5-1.

點評 本題主要考查了四邊形的綜合知識.類似這樣分為幾個小題目的探索性問題，一般來說難度逐漸增加.解答時，第（1）小題是關(guān)鍵，是后面幾問的基礎(chǔ)，也是探索的起點.對于第（4）題要認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)點P在運(yùn)動中保持∠APD=90°不變是非常關(guān)鍵的一步，有了這一發(fā)現(xiàn)就不難得到點P的路徑是一段以AD為直徑的弧的結(jié)論，從而用勾股定理得到線段CP的最小值5-1.

本題給我們的啟示主要有三點：一是強(qiáng)化四邊形有關(guān)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，從整體上認(rèn)知本章內(nèi)容.二是加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和強(qiáng)化，與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化的思想；方程的思想；變換的思想；性質(zhì)和判定的互逆性.三是注意把四邊形的知識與其它知識的有機(jī)結(jié)合.

1.3 規(guī)律探索型

解決這類探索題的總體思路是通過觀察、分析、歸納，從而發(fā)現(xiàn)寓于某些特例中的一般規(guī)律.

例3 （2014年安徽?。┯^察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：

32-4×12=5， ①

52-4×22=9， ②

72-4×32=13， ③

……

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：

（1）完成第四個等式：92-4×（ ）2=（ ）；

（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性.

析解 由①②③三個等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，計算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1，由此規(guī)律得第四個等式應(yīng)為92-4×42=17；第n個等式為：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.由完全平方公式可以給出證明.

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

1.4 存在性探索型

這里的“存在”主要指是否存在某一個特殊的“點”，它符合某些特指的要求.解答這類問題的關(guān)鍵是首先根據(jù)條件，憑“直覺”猜想出存在這樣的點，然后說明理由.

例4 （2014年江蘇泰州）如圖7，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-34x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方.

圖7（1）若直線AB與CD有兩個交點F、G.

①求∠CFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍；

（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

析解 （1）①如圖8，連接CD，EC，因為DE是直徑，所以∠DCE=90°，因為CE⊥DE，且DO=EO，所以∠ODC=∠OEC=45°，所以∠CFE=∠ODC=45°.

②如圖9，作OM⊥AB點M，連接OF，根據(jù)OM⊥AB及直線AB的函數(shù)式為y=-34x+b可得OM所在的直線函數(shù)式為y=43x，易求得點M（1225b，1625b），所以O(shè)M2=（1225b）2+（1625b）2，利用勾股定理可得到所以FM2=OF2-OM2=42-（1225b）2-（1625b）2，從而得到所以FG2=4FM2=4×[42-（1225b）2-（1625b）2]=64-6425b2=64×（1-125b2），因為直線AB與CD有兩個交點F、G.所以4≤b<5.

圖8 圖9 圖10（3）如圖10，①當(dāng)b=5時，OH=OC=4，則AB與⊙O相切，切點為H，此時存在點P，就是點H，計算得P點坐標(biāo)為（125，165）；②當(dāng)b>5時，OH=45b>4，所以AB與⊙O相離，所以P點一定在⊙O外，連接PE、PC，設(shè)PE交⊙O于Q，則∠EPC<∠EQC=45°，所以當(dāng)b>5時，點P不存在.

故當(dāng)b=5時，滿足條件的P點坐標(biāo)為（125，165）；當(dāng)b>5時滿足條件的點P不存在.

點評 本題主要考查了圓與一次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，明確兩條直線垂直時k的關(guān)系.第（2）問是存在性問題，需要利用圓的有關(guān)知識先作出判定存在這樣的點P，然后觀察發(fā)現(xiàn)點P是OP與AB的交點，進(jìn)而確定交點坐標(biāo)，得到證明.這是同學(xué)們感到困難的地方，也是平時教學(xué)中容易忽視的地方.教師應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，努力改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.

2 命題趨勢

通過以上的分析，筆者認(rèn)為2015年關(guān)于探索性問題，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

2.1 用探索性的問題考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況

《課標(biāo)（2011年版）》規(guī)定的課程內(nèi)容，特別是“核心”概念，如實數(shù)的有關(guān)知識、方程（組）的求解、函數(shù)關(guān)系的確定、圖形的變換、圖形與坐標(biāo)及圖形性質(zhì)探索與證明等都可以用一定的方式讓學(xué)生去探索得到.這比直接考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握情況更有價值.

2.2 結(jié)合探索性問題對數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察

《課標(biāo)（2011年版）》已把一些常用的基本的數(shù)學(xué)思想作為重要的基礎(chǔ)知識來要求學(xué)生掌握，正因為數(shù)學(xué)思想就是基礎(chǔ)知識，所以直接考察學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的掌握情況的題目并不多，命題者越來越愿意把對數(shù)學(xué)思想的考察放到“探索性問題”里面，這樣的探索性問題的解答必須依賴一些重要的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等，不會應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想就無法解答這樣的探索問題.

2.3 與圖形的三種變換結(jié)合在一起

探索性問題常與幾何變換聯(lián)系在一起，幾何變換的基本目標(biāo)是通過對圖形的改組，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，化一般為特殊，化隱蔽關(guān)系為明顯關(guān)系.通過這樣的“手段”來探討圖形在運(yùn)動過程中哪些量和關(guān)系不變化，哪些量和關(guān)系變化，并從中找出規(guī)律.常用的三種變換是指平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和對稱變換.

2.4 與運(yùn)動型問題結(jié)合在一起綜合考察同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力

運(yùn)動型問題往往是中考卷中的“壓軸題”，運(yùn)動型問題可分為點的運(yùn)動和一個簡單圖形的運(yùn)動，而點的運(yùn)動又可分為一個點的運(yùn)動和兩個點的運(yùn)動；簡單圖形的運(yùn)動可分為平移運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動.所有的動點問題都有一定的層次，能考察出學(xué)生對所學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握和綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題能力的情況，所以探索性問題常與“動”結(jié)合在一起，這樣的問題能考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力.