“涉高題”的解法要避免涉高

金紹鑫

近年來，中考試卷中涉及高中知識的題（簡稱涉高題）屢見不鮮，大有愈演愈烈之勢.對此有人叫好，有人不以為然.更多的是，老師們對涉高題的解題教學(xué)困惑，講又不好講，不講又說不過去，真有點左右為難.本文以近年較典型的中考涉高題為例，談?wù)劷忸}教學(xué)中的難點處置和對題目的看法.

1 “認識圖像”涉高題

“認識圖像”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)試卷中的?？?某次聽初三“認識圖像”的復(fù)習(xí)課，遇到這樣一個題：

圖1如圖1，AB是半圓O的直徑，點P從點A出發(fā)，沿半圓弧AB順時針方向勻速移動至點B，運動時間為t，△ABP的面積為S，則下列圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是（ ）.（2014年黃石）

老師讓學(xué)生討論此題.

學(xué)生1：設(shè)AB邊上的高為h，則S=12·AB·h=12·2r·h=rh，這是正比例函數(shù)，所以選A.

學(xué)生2：錯了.因為三角形面積由小到大，再由大到小，所以應(yīng)該選B.

學(xué)生2的解答得到了部分同學(xué)的認可.

……

學(xué)生3：不對.題目問的是S與t之間的關(guān)系，而S=rh表示的是S與h之間的關(guān)系，應(yīng)該設(shè)法將h換成t，但我不知道怎樣換，也不知換出來是什么函數(shù)，我猜應(yīng)該選C.

老師肯定了學(xué)生3“將h換成t”和選C的想法，然后講到：

“點P在弧AB上運動時，隨著時間t的增大，點P到AB的距離先變大，當?shù)竭_弧AB的中點時，最大，然后逐漸變小，直至到達點B時為0.但是，點P到AB的距離的變化不是直線變化.縱觀各選項，只有C選項圖象符合.故選C.”

學(xué)生3的解答很不錯，老師的補充講解反而顯得蒼白.要想正面回答為什么“點P到AB的距離的變化不是直線變化”就該選C，本身很不容易，涉及高中知識，老師應(yīng)當從選擇題的特殊解法角度去講，突出“排除法”才是正道理.至于選項C的圖像是什么，是不是半圓，是不是拋物線的一部分，在此都不重要.因此，我們可以認為，這個涉高題用于中考沒有什么意義，它的意圖很明顯，就是考排除法，不“涉高”照樣可以考排除法.高中生來做這個題也會用排除法，因為寫出S與t之間的關(guān)系式不容易，即便寫出來了也未必知道是什么函數(shù)，不便和其對應(yīng)的圖像聯(lián)系起來，所以此題按慣性思維用推理計算法寫出S與t之間的關(guān)系式來解走不通.

再看一例.

圖2如圖2，等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向運動，到達點C時停止.設(shè)點M運動的路程為x，MN2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ）.（2013年萊蕪）

和上題不同的是，此題比較容易寫出函數(shù)解析式，既可以用高中知識寫，也可以用初中知識寫：

解法1：計算推理法.

圖3如圖3，M在AB段時，利用勾股定理和30°角對的直角邊是斜邊的一半（或者用余弦定理，涉高.）立得NM2=y=x2-x+1，（0≤x≤3）

M在BC段時，作ND⊥BC于D，NM2=y=（5-x）2+3=（x-5）2+3，（3

解法2：排除法.

因為等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，所以AN=1.所以當點M位于點A處時，x=0，y=1.

①當動點M從A點出發(fā)到AM=1的過程中，y隨x的增大而減小，故排除D；

②當動點M到達C點時，x=6，y=3-1=2，即此時y的值與點M在點A處時的值不相等.故排除A、C.故選B.

這個題的設(shè)計就比較好，它溝通了初、高中數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，入口寬，方法多樣.這樣的涉高題就值得推崇.教學(xué)時可視班情決定這兩種方法的取舍，或用其中一種或兩種都用.

2 “閱讀理解”涉高題

“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m

A.m

C.a

按命題者意圖解答如下：

圖4方程1-（x-a）（x-b）=0轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=1，設(shè)函數(shù)y1=（x-a）（x-b），y2=1，畫出兩函數(shù)的圖象，如圖4所示.函數(shù)y1=（x-a）（x-b）圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b（a

由m

綜上所述，可知m

本題給出一個知識點，要求學(xué)生用此知識點解題（涉高），看似為學(xué)生指明了解題方向，實際上限制了學(xué)生的思維，學(xué)生誤以為只能用此方法，可是，用此方法涉及到知識、能力的遷移，難度很大，學(xué)生真正能想到上述方法的不多，除非平時老師講過，學(xué)生練過.要是拿給高中生做，只要他學(xué)過坐標平移，瞬間就能得出答案.

命題者為了考察學(xué)生閱讀理解能力，追求創(chuàng)新題，無可厚非，但此題的教學(xué)導(dǎo)向可能遭到質(zhì)疑，因為這樣的題目一多，容易誘導(dǎo)教師打著“拓寬”的幌子，補充高中的坐標平移知識.

有人認為，本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復(fù)雜的計算.這種觀點是站在命題者的角度看問題，而不是站在初中學(xué)生的角度看問題，把一個需要很強遷移能力的解法說成“避免了繁瑣復(fù)雜的計算”，認為按命題者方法求解很容易，這種說法有失偏頗.

事實上，此題計算并不繁瑣復(fù)雜.不用題目指引的方法也很容易得出正確選項.利用方程根的意義，得到（x-m）（x-n）=（x-a）（x-b）-1=0，展開后有m+n=a+b，mn=ab-1（用韋達定理也行，課標2011版增加了韋達定理內(nèi)容），再取滿足題意的特殊值作比較即可.取m=0，則a、b互為倒數(shù)，設(shè)a=12，b=2，則n=2.5；也可取m=1，n=3.5，a=1，5，b=3.所以選A.有的考生不按“規(guī)則”出牌，靠上述取特殊值的方法巧妙地得出了答案.

這兩種方法，孰難孰易，一目了然，按照題目指引的方法，學(xué)生難以做出結(jié)果，極有可能誘導(dǎo)老師補充高中知識.對于選擇題，人家是怎樣解的，你無從知道，也無法左右.因此，本題一相情愿的命題意圖很難實現(xiàn).我們在歡呼某些涉高題如何好的時候，還要看到它自身存在的許多不足.老師們進行題目教學(xué)的時候不能完全受制于題目，不能僅僅局限于“形”，還應(yīng)當從“數(shù)”方面考慮，把數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮得淋漓盡致.再看下面一道題.

這也是很典型的涉高題，根據(jù)2012年蘭州市中考題改編而成：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖5所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）.

A.0

C.k>2 D.k>3

教學(xué)中，老師們普遍采用直觀的翻折法（涉高）進行講解.

圖5 圖6根據(jù)題意得：y=|ax2+bx+c|的圖象如圖6，因為|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，所以k>3.故選D.

這個方法是怎么想到的，卻很少有人分析清楚，學(xué)生懵里懵懂，沒有真正理解.華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”這里單純用翻折法很難“入微”.沒有高中解析幾何的系統(tǒng)訓(xùn)練，暮然使用翻折法，初中學(xué)生既不容易想到，又難于真正搞懂.所以我們應(yīng)當從學(xué)生理解題意做起，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計解題教學(xué).

（1）設(shè)置系列問題引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意

有兩個實數(shù)根的方程是什么方程？根據(jù)絕對值的意義，方程|ax2+bx+c|=k（k≠0）去掉絕對值符號后得到兩個什么方程？這兩個方程都有根的話，說明原方程|ax2+bx+c|=k（k≠0）有幾個根？那么|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，必須ax2+bx+c+k=0， 或ax2+bx+c-k=0中的一個方程滿足什么條件？從題中圖像上看，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=-3時，一元二次方程ax2+bx+c=-3有怎樣的實根？當y>-3時，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=y有怎樣的實根？當y<-3時，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=y有怎樣的實根？

（2）讀懂題意后引導(dǎo)學(xué)生尋求多種解法

對此題而言，學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是什么？是一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系.所以，我們應(yīng)當先從這個關(guān)系出發(fā)，從數(shù)的角度得出下列解法1、解法2.

解法1（構(gòu)造法）：根據(jù)圖像構(gòu)造二次函數(shù)y=（x-m）2-3，m為任意實數(shù).顯然，當y=±k，且03時，所得方程有且只有兩個根.問題得解.

解法2（判別式法）：①ax2+bx+c+k=0，Δ=b2-4ac-4ak≥0，k≤-4ac-b24a=3，即當03.

解法1、2讓學(xué)生先“入微”，然后再讓學(xué)生從形的方面加強認識.數(shù)形結(jié)合，相得益彰，既使學(xué)生深入理解了本題的解法，又讓他們?nèi)跁炌藢W(xué)過的知識.

3 “求最值”涉高題

如圖7，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為（ ）.（2012年濟南）

A.2+1 B.5 C.1455 D.52

這是一個被炒得很熱，產(chǎn)生過若干變式的題目.可以用高中的三角法、一元二次不等式等多種方法直接求解（涉高），也可以用初中幾何法求解.用幾何法求解時，初中學(xué)生甚至老師都有疑問：為什么過AB中點的線段DO就是點D到點O的最大距離？怎么想到的？能嚴格推理證明嗎？我們不妨先用一種高中方法求出最大值，消除老師心中的疑慮.

圖7 圖8如圖8，設(shè)OA=b，OB=a，則a2+b2=4.

因為△CGA∽△AOB，所以CGAO=GAOB=12，所以CG=12AO，GA=12BO.

則OC2=CG2+GO2=（12AO）2+（GA+AO）2=（12b）2+（12a+b）2=b2+ab+1.

設(shè)a=kb，代入a2+b2=4，得b2=4k2+1，

所以O(shè)C2=b2+ab+1=4k2+1+k·4k2+1+1，所以O(shè)C2（k2+1）=4+4k+k2+1.

整理成關(guān)于k的一元二次方程（OC2-1）k2-4k+OC2-5=0，

Δ=16-4（OC2-1）·（OC2-5）≥0，化簡得OC4-6·OC2+1≥0，

解得OC2≤3+22，OC≤3+22=2+1，所以O(shè)C的最大值是2+1.

高中方法運算量大，技巧性強，且并不容易知道DO過了AB中點，這是很遺憾的.

我們再來看看初中解法.

圖9分析：如圖9，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解.

解：因為OD

此時，因為AB=2，BC=1，所以O(shè)E=AE=12AB=1，DE=12+12=2.OD的最大值為OD=2+1，故選A.

顯然，初中方法簡單明快，且彌補了高中方法不知過了AB中點的缺憾.那么，如何給初中學(xué)生講這個題，使大家真正理解，口服心服呢？策略是畫出幾個關(guān)鍵圖，使圖形能夠反映出整個移動過程，圖分五類，體現(xiàn)分類思想.從兩段和的變與不變說明道理.最后還可以通過幾何畫板直觀演示全過程，讓大家深信不疑.如圖10—14.

圖10：矩形ABCD的AB邊在縱軸、BC邊在橫軸時，DO=5

圖11：點B從左至右、點A從上到下移動，DO與AB的交點在AB中點E下方，此時DO

圖12：在圖11的基礎(chǔ)上，點B從左至右、點A從上到下繼續(xù)移動，使DO過AB中點E；

圖13：在圖12的基礎(chǔ)上，點B從左至右、點A從上到下繼續(xù)移動，DO與AB的交點在AB中點上方，此時DO

圖14：顯然此時DO最短.

整個移動過程不外乎上面五種情形，無論哪種情形，DE+EO始終是常量，DO則由5逐漸變大為DE+EO=2+1，然后再逐漸變小，最后變?yōu)?.也許我們最初并不知道DO經(jīng)過AB中點時最大，完全可以說是由實驗得出的猜想，然后利用“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”來證明的，而且這個實驗加證明的方法還可以推而廣之.比如將直角MON換成銳角，再比如改變動點位置.

如圖15，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=1，點T在CD邊上，且DT=1，運動過程中，點T到點O的最大距離為（ ）.（答案：2+2）

綜上所述，“殺雞焉用牛刀”.題涉高解法不能涉高，否則會誤導(dǎo)老師惡補高中知識，造成教學(xué)混亂，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.“好廚師一把鹽”，教學(xué)的拿捏猶如廚師手里的一把鹽，應(yīng)當恰如其分，才能把解題教學(xué)這盤菜做得更好吃.