確定拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）開(kāi)口方向的另類方法

丁丁 蔡歷亮

1 另類方法

事實(shí)1 若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，則

（1）A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上；

（2）直線AB、AC、BC均不與x軸垂直.

事實(shí)2 平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，且直線AB、AC、BC均不與x軸垂直，則存在著唯一一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象過(guò)A、B、C三點(diǎn).

事實(shí)3 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)是等高點(diǎn)（即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等），拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)A、B兩點(diǎn).若拋物線開(kāi)口向上，則拋物線經(jīng)過(guò)圖中的①區(qū)、⑤區(qū)、③區(qū)，不經(jīng)過(guò)圖中的④區(qū)、②區(qū)、⑥區(qū)；若拋物線開(kāi)口向下，則拋物線經(jīng)過(guò)圖中的④區(qū)、②區(qū)、⑥區(qū)，不經(jīng)過(guò)圖中的①區(qū)、⑤區(qū)、③區(qū).（本文中出現(xiàn)的①～⑥區(qū)均不包含其邊界）

由上述事實(shí)，我們可獲得確定拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口方向的一個(gè)另類方法.

圖1方法1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)是等高點(diǎn)，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).若C點(diǎn)在圖中的①區(qū)或⑤區(qū)或③區(qū)，則拋物線開(kāi)口向上；若C點(diǎn)在圖中的④區(qū)或②區(qū)或⑥區(qū)，則拋物線開(kāi)口向下.

2 典型例題

例1 已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，-3）和點(diǎn)P（t，0），且t≠0，若拋物線開(kāi)口向下，則t的取值范圍是 .

析解 如圖2，O點(diǎn)是原點(diǎn)，因P（t，0），所以P點(diǎn)、O點(diǎn)是等高點(diǎn).

當(dāng)t<-3時(shí)（如圖3），A在“P—O”的⑤區(qū)，拋物線開(kāi)口向上；

當(dāng)t=-3時(shí)（如圖4），直線PA⊥x軸，無(wú)此拋物線；

當(dāng)-3

當(dāng)t>0時(shí)（如圖6），A在“P—O”的④區(qū)，拋物線開(kāi)口向下.

所以t的取值范圍是t>-3且t≠0.

圖2 圖3 圖4

圖5 圖6例2 如圖7，平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（2，0），以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與y軸交于C、D兩點(diǎn)，與x軸交于E點(diǎn).點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t<3π），問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)A、B、P三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口向上.

圖7 圖8析解 如圖8，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交⊙O于F、G，連接OF、OG.

CE=90·π·2180=π，CEB=270·π·2180=3π.

在Rt△OAF中，∠FAO=90°，

OA=1，OF=OB=2，OA=12OF，所以∠OFA=30°，∠FOA=60°，所以∠COF=90°-∠FOA=90°-60°=30°，所以CF=30·π·2180=13π.同理得DG=13π，所以CG=CFD-DG=180·π·2180-13π=53π.

①當(dāng)0≤t<13π時(shí)，點(diǎn)P在CF（不含F(xiàn)點(diǎn)）中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口向下.

②當(dāng)t=13π時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，PA⊥x軸，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

③當(dāng)13π

④當(dāng)t=π時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，P、A、B三點(diǎn)在同一直線上，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑤當(dāng)π

⑥當(dāng)t=53π時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，PA⊥x軸，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）不存在.

⑦當(dāng)53π

綜上所述，當(dāng)13π

3 方法拓展

若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）所經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)不一定有等高點(diǎn)，則拋物線的開(kāi)口方向又該如何確定？此時(shí)，我們可使用方法2.

方法2 拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點(diǎn)，且x1

說(shuō)明：（1）根據(jù)y1與y2的大小關(guān)系，可分為三種情況①y1y2，③y1=y2，分別對(duì)應(yīng)著圖9、圖10、圖11.

本文所述的“判別二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向”的另類方法或許不是最簡(jiǎn)捷的，但換個(gè)角度思考，為我們的思維打開(kāi)了一扇窗，這正是創(chuàng)新思維所需要的.