構(gòu)造一元二次方程證明幾何不等式

肖維松

近年來，在部分省、市中考試題中，時常出現(xiàn)一些有關(guān)幾何不等式的證明題.證明這類問題的方法較多，本文擬介紹一種通過構(gòu)造一元二次方程，運用根的判別式來證明的方法.現(xiàn)以部分試題為例說明如下：

例1 如圖1，四邊形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形，設(shè)△ABC的面積為S，矩形DEFG的面積為S1.求證：S1≤S2.

分析 本題的關(guān)鍵是尋求聯(lián)系兩個面積的橋梁，可以先通過圖形的相似等幾何知識找到二者的關(guān)系式，然后根據(jù)韋達定理構(gòu)造一元二次方程，應(yīng)用判別式來解決問題.

證明 設(shè)△ABC的底邊BC=a，高為h，EF=y，DE=x.由△ADG～△ABC，得ha=h-xy，即ya+xh=1 ①.又因為S=12ah，S1=xy，所以S1S=2xyah，即ya·xh=S12S ②.由①、②兩式可知，ya、xh為一元二次方程t2-t+S12S=0的兩個實數(shù)根.因此該方程的根的判別式Δ≥0，即1-4×S12S≥0，于是S1≤S2.

例2 如圖2，過正方形ABCD的頂點C，任作一條直線，與AB、AD的延長線分別交于E、F.求證：AE+AF≥4AB.

圖1 圖2分析 將結(jié)論化為（AE+AF）2-4AB（AE+AF）≥0，它形如某個一元二次方程的判別式，由此可啟發(fā)構(gòu)造一個一元二次方程.

證明 設(shè)AB=a，AE=x，AF=y，因為△BCE∽△DFC，所以DFDC=BCBE，即y-aa=ax-a.化簡，得xy-a（x+y）=0.又設(shè)x+y=m，則y=m-x，代入上式并化簡，得x2-mx+ma=0.因為x為正實數(shù)，所以Δ=m2-4ma≥0，即m≥4a.因為m>0，所以AE+AF≥4AB.若將條件中的“正方形”改為“菱形”，結(jié)論仍成立.

例3 在Rt△ABC的斜邊AB上任取一點P，過P作AC、BC的平行線分別交BC、AC于N、M.則△APM和△PBN的面積之和不小于矩形MPNC的面積，試證明之.

分析 本題根據(jù)面積關(guān)系建立關(guān)于xa與yb的和積關(guān)系式，再結(jié)合韋達定理構(gòu)造出一個一元二次方程，然后運用Δ≥0去證明.

證明 如圖3，設(shè)AC=b，BC=a，PM=x，PN=y.S矩形MPNC=S1，S=S△APM+S△PBN，則S1=xy，S=12ab-S1=12ab-xy.所以xy=ab-2（S-S1）4.所以xa·yb=ab-2（S-S1）4ab （1） 因為PM∥BC，所以PMBC=AMAC，即xa=b-yb=1-yb.所以xa+yb=1 （2）根據(jù)韋達定理之逆定理，由（1）、（2）知，xa、yb是一元二次方程Z2-Z+ab-2（S-S1）4ab=0的兩個根.所以xa、yb是實數(shù)，因為Δ≥0，即1-4·ab-2（S-S1）4ab≥0.所以S≥S1.即△APM與△PBN的面積之和不小于矩形MPNC的面積.（此法類似于例1）

圖3 圖4例4 AB是⊙O的直徑，過A、B引圓的切線AD、BC，又過弧AB上任一點E的切線與AD、BC分別相交于D、C，求證：OE≤12CD.

分析 證明本題的關(guān)鍵在于運用圓的切線長定理去證明三角形相似，然后尋找出DE與EC的和、積關(guān)系式，通過建立一元二次方程，借助Δ≥0得證.

證明 如圖4，連結(jié)OC、OD，因為AB是直徑，AD、BC、CD均是⊙O的切線.所以AD∥BC，OD平分∠BCD.所以O(shè)D⊥OC，又OE⊥CD，所以△ODE∽△COE，所以O(shè)EEC=DEOE，所以DE·EC=OE2，而DE+EC=CD，所以DE、EC是方程：x2-CD·x+OE2=0的兩根，由于Δ=（-CD）2-4·OE2≥0，故OE≤12CD.

例5 如圖5，PT切⊙O于T，直線PN交⊙O于點M、N，求證：PM+PN>2PT.

分析 本題證明主要依據(jù)切割線定理先證得PM·PN=PT2，而后巧構(gòu)一元二次方程去證明.

證明 由切割線定理知：PM·PN=PT2，于是PM、PN是方程x2-（PM+PN）x+PT2=0的兩實數(shù)根.因為PM≠PN，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，從而Δ>0，即（PM+PN）2-4PT2>0，（PT+PN）2>4PT2，所以PM+PN>2PT.

圖5 圖6例6 已知如圖6，△ABC的面積為S，作一直線l∥BC，分別交AB、AC于D，E兩點，記△BED的面積為K.證明：K≤14S.

分析 本題的證明充分運用了“等高的兩個三角形面積之比等于底的比”的性質(zhì)及“平行線截割線段成比例定理”，從而得到的關(guān)系式可以構(gòu)造一元二次方程. 證明 記S△ADE=S1，S△BCE=S2，則S1∶K=AD∶DB，（S1+K）∶S2=AE∶EC.由l∥BC得AD∶DB=AE∶EC，則有S1∶K=（S1+K）∶S2，即S21+（2K-S）S1+K2=0.因為S1是實數(shù)，所以此方程有實根，則Δ=（2K-S）2-4K2≥0.故K≤14S.

再證 因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.設(shè)ADAB=AEAC=x（0≤x≤1），則有S△ABES△ABC=AEAC=x，所以S△ABE=xS，又S△BDES△ABE=BDAB=AB-ADAB=1-x，所以S△BDE=（1-x）S△ABE.即k=（1-x）xS，Sx2-Sx+k=0，因為x為實數(shù)，所以Δ=（-S）2-4Sk=S（S-4k）≥0.所以S-4K≥0，故k≤14S.

幾何不等關(guān)系的證明方法較多.本文介紹的方法，幾何不等式的證明，根據(jù)已知條件和圖形的數(shù)量特征，運用韋達定理之逆定理，構(gòu)造出一元二次方程，然后，由實數(shù)根存在的條件，運用一元二次方程根的判別式得以證明.此法思路簡捷，證題明快，富有規(guī)律，而且不添輔助線，符合新課程改革關(guān)于“拓寬視野，注重科研，探究應(yīng)用”的理念要求，對于幫助學(xué)生理解課本內(nèi)容，提高分析問題和解決問題的能力，對于啟迪學(xué)生思維、開闊眼界、掌握基本技能和技巧，感悟數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識將會起到積極的推動作用.