數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

陳賢兵

摘 要：就數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用問題，從“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”“化數(shù)為形”“以形論數(shù)”四個方面進行了研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)圖象；向量；復(fù)數(shù)；圓

著名數(shù)學家華羅庚常把數(shù)學引入詩，闡述哲理。他曾經(jīng)這樣寫道：數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬歲休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。此詩把數(shù)學的具體形象——數(shù)形結(jié)合的思維方式作為載體，用節(jié)奏鮮明、生動有趣的語言，把學習數(shù)學的方法進行了辨證的闡述，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性。以下我通過分析解決問題來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

一、以形助數(shù)

利用函數(shù)圖象探討方程的根及其分布。

在平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖1，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

二、以數(shù)輔形

利用坐標向量解決三角問題。

這題是2005年湖北的一道高考題。這題若用正弦定理或余弦定理較為復(fù)雜。利用坐標向量，使得運算更為簡單。但要確保兩個函數(shù)圖象都易作。在中學數(shù)學中，學生的常規(guī)思路是將利用平方法將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式求解，以解脫根式的糾纏與困擾。但與此同時，需嚴格注意不等式兩邊的等號，往往運算煩瑣冗長。若我們細心觀察，抓住題目特征，因題定法，選擇合理的途徑，則可避開討論，優(yōu)化解題過程，提高解題效率。

三、化數(shù)為形，以形論數(shù)

有時在解題中，就數(shù)論數(shù)，往往會受阻，這時我們可應(yīng)用逆向思維，先把“數(shù)”對應(yīng)的“形”畫出，再結(jié)合“形”去思考“數(shù)”，就會加大透明度，找到簡捷準確的解題方法。

例3.已知復(fù)數(shù)Z的模為2，求Z-i的最大值。

如果用數(shù)形結(jié)合的方法來思考這道題，由Z=2知，Z表示以原點為圓心，以2為半徑的圓。Z-i表示圓上到點（0，1）的距離。由圖2可知其最大值，顯然是過點的最遠端（0，2）到該點的距離3。

由上面的解題過程可知，數(shù)形結(jié)合是學好數(shù)學的一把鑰匙。它利用直觀的圖形來解題，巧妙地簡化了大量繁瑣的計算和邏輯推理過程，解題簡潔明了。

在中學數(shù)學教學中，我們應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學生根據(jù)圖形的直觀性研究數(shù)與式之間的關(guān)系。通過運用數(shù)形結(jié)合的思想來培養(yǎng)學生的解決問題的能力。

參考文獻：

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[2]周建凱.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用[J].中學數(shù)學研究，2009（04）.

[3]王方漢.試論數(shù)學詩與現(xiàn)代數(shù)學詩[J].中學數(shù)學研究，2007（07）.