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    如何做好小波解分?jǐn)?shù)階微分方程時(shí)的誤差估計(jì)

    2015-09-01 15:50:29牛紅玲
    科技視界 2015年25期
    關(guān)鍵詞:積分算子微積分小波

    牛紅玲

    【摘 要】針對(duì)求解分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解和所得結(jié)果誤差大小問題.采用Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣方法,得到一類變系數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解.利用所得算子矩陣將原分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組,進(jìn)而便于編程求解.討論算法的誤差分析,給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式,并證明該算法是收斂的.結(jié)果表明:隨著點(diǎn)數(shù)的增多,所得數(shù)值解與精確解的誤差也越來越小.最后,數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性以及理論分析的正確性.

    【關(guān)鍵詞】Haar小波;變系數(shù);分?jǐn)?shù)階微分方程;算子矩陣;誤差分析;誤差估計(jì)式;精確解;數(shù)值解

    分?jǐn)?shù)階微積分計(jì)算是一個(gè)久遠(yuǎn)的話題,它最早起源于Leibniz和Newton建立的整數(shù)階微積分理論初期.從17世紀(jì)末至今,分?jǐn)?shù)階微積分理論已經(jīng)發(fā)展了幾百年.在世界各國(guó)科研人員的研究和推動(dòng)下,分?jǐn)?shù)階微積分理論取得了巨大進(jìn)展,實(shí)際中的應(yīng)用發(fā)展快速.復(fù)物理、力學(xué)、生物和工程的建模問題是推動(dòng)分?jǐn)?shù)階微積分理論和應(yīng)用研究的力量,這些模型中的分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)具有一定的物理意義和幾何意義.

    近年來隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成為描述各類復(fù)雜力學(xué)與物理行為的重要工具,分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法研究也備受關(guān)注.針對(duì)不同類型的分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)提出不同的數(shù)值算法,這些算法主要有,有限差分法、Adomian分解法,廣義微分變換法等.小波法求分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解是最近新型的數(shù)值方法.根據(jù)小波基函數(shù)的不,相應(yīng)的提出了許多小波方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程,Rehma和Khan利用Legendre 小波求解線性和非線性分?jǐn)?shù)階微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一類非線性Fredholm積分微分方程.但就該方法誤差分析的研究還相對(duì)較少.本文基于Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣研究一類分?jǐn)?shù)階微分方程,重點(diǎn)討論該算法的誤差分析.

    6 結(jié)論

    利用Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣求解了一類分?jǐn)?shù)階微分方程,將原問題轉(zhuǎn)換為求解線性代數(shù)方程組問題.誤差分析證明了該算法是收斂的,同時(shí)給出了誤差估計(jì)式,得到了相應(yīng)的誤差上界.文中所提出的方法計(jì)算量小,是一種有效的算法.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]任建婭,尹建華.小波方法求一類變系數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,31(6):925-928.

    [2]尹建華,任建婭.Legendre 小波求解非線性分?jǐn)?shù)階Fredholm 積分微分方程[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,31(3):405-408.

    [3]Saeedi H,Mohseni M.A CAS wavelet method for solving nonlinearFredholm integro-differential equations of fractional order[J].Commun.Nonlinear Sci. Numer. Simulat.,2011,16(4):1154-1163.

    [責(zé)任編輯:劉展]

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