幾類特殊矩陣方程組的迭代解法收斂性分析

金玲玲，蘇岐芳

（臺州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

幾類特殊矩陣方程組的迭代解法收斂性分析

金玲玲，蘇岐芳*

（臺州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

討論了線性方程組Ax=b中的系數(shù)矩陣A為上三角矩陣、三對角矩陣、嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時(shí)，Jacobi迭代陣與Gauss-Seidel迭代陣的譜半徑之間關(guān)系，進(jìn)而對兩種迭代法的收斂速度進(jìn)行比較.理論分析及數(shù)值結(jié)果表明，在一定條件下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂較快，這對于求解特殊矩陣方程組時(shí)迭代法的選取具有一定的實(shí)際意義.

特殊矩陣；收斂；收斂速度

0　引言

在自然科學(xué)、工程技術(shù)等各領(lǐng)域中，許多問題的解決常常歸結(jié)于求解線性方程組Ax=b.一般地，求解線性方程組主要有直接解法和迭代解法［1］.經(jīng)典迭代解法包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel（G-S）迭代法、SOR方法和AOR方法等［7］，其中最常用的方法為Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法.

考慮線性方程組

用迭代法解方程組（1），誤差估計(jì)式

可以看出，‖A‖越小收斂速度越快，且可用來估計(jì)迭代次數(shù).

對于線性方程組Ax=b，系數(shù)矩陣A=（aij）n×n，aii≠0（i=1，2…n），作分裂：

則Jacobi迭代陣為J=D-1（D-A），G-S迭代陣為G=（D-L）-1U［6］.

引理1［1］設(shè)有方程組x=Bx+f，及一階定常迭代法x（k+1）=Bx（k）+f，對任意選取初始向量x（0），迭代法收斂的充要條件是矩陣B的譜半徑ρ（B）＜1.

引理2［1］若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則解方程組Ax=b的雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法均收斂.

引理3［1］設(shè)A∈Rn×n，則ρ（A）≤‖A‖，即A的譜半徑不超過A的任何一種算子范數(shù).

1　迭代解法及收斂性分析

1.1系數(shù)矩陣A為上三角矩陣

其Jacobi迭代陣和G-S迭代陣分別為

顯然，ρ（J）=ρ（G）=0，由引理1可得，解Ax=b的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，且收斂速度相同.

1.2系數(shù)矩陣A為三對角矩陣

1.A為對稱三對角矩陣，且非零元素全都相等設(shè)

則Jacobi迭代陣

考慮J的特征值，令

則φn（λ）有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)，由于φ2（λ）的零點(diǎn)為-1和1，因此，當(dāng)n≥3時(shí)φn（λ）的最大零點(diǎn)必大于1，

即J的譜半徑ρ（J）＞1［4］.因此Jacobi迭代法不收斂.

G-S迭代陣為

令rij表示矩陣G中的第i行第j列元素，則有

可以證明，ρ（G）≥1（當(dāng)A為2階方陣時(shí)取等號），因此G-S迭代法不收斂.

2.A為對稱三對角矩陣，且三條對角線上的元素分別相等

設(shè)aii=a，aij=aji=b，j=i+1，

A為三階矩陣時(shí)

則有

A為四階矩陣時(shí)

則有

3.A為一般三對角矩陣

A為三階矩陣時(shí)

一般地

則有

其中

當(dāng)ρ（J）＜1且ρ（G）＜1時(shí)Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂.

1.3系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣

1.A的對角線元素全為a，其他元素全為b

由引理2知，Jacobi迭代法和G-S迭代法都收斂.

Jacobi迭代陣為

令λI-J=0即

G-S迭代陣為

其中rij表示G的第i行第j列元素.

設(shè)矩陣G中第i行元素絕對值的和為Ri，當(dāng)a，b同號時(shí)，，則有

2.A的非對角線元素全為b

Jacobi迭代陣和G-S迭代陣分別為

3.系數(shù)矩陣A為一般嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣

A為二階矩陣時(shí)

A為三階矩陣時(shí)

當(dāng)對角線上的元素的絕對值都遠(yuǎn)大于對應(yīng)行的其他元素的絕對值之和，即時(shí)，ρ（J）≈0， ρ（G）≈0，兩種迭代法收斂速度基本相同.

2　數(shù)值結(jié)果

對于線性方程組Ax=b，令

b=（3，-1，0.5，7，2）T，x0=（0，0，0，0，0）T精度為10-5.

例2.1系數(shù)矩陣A為上三角矩陣

迭代結(jié)果x=（2.0000，-0.1375，1.5500，1.6500，0.4000）T.見表1.

表1　例2.1迭代比較Table.1　The comparison of example 2.1

例2.2系數(shù)矩陣A為三對角矩陣

迭代結(jié)果x=（-0.7077，0.1693，0.6542，1.0963，3.2692）T.見表2.

表2　例2.2迭代比較Table.2　The comparison of example 2.2

例2.3系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣

迭代結(jié)果x=（0.2280，-0.3108，-0.1126，1.1649，0.2061）T.見表3.

表3　例2.3迭代比較Table.3　The comparison of example 2.3

3　結(jié)論

對于系數(shù)矩陣為上三角矩陣，Jacobi與Gauss-Seidel迭代法都收斂且收斂速度相同.對于系數(shù)矩陣為三對角矩陣時(shí)，在兩種迭代法都收斂的情況下，在一定條件下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂較快.對于系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時(shí)，Jacobi與Gauss-Seidel迭代法都收斂且在一定條件下Gauss-Seidel迭代法收斂較快，當(dāng)對角線上的元素的絕對值都遠(yuǎn)大于對應(yīng)行的其他元素的絕對值之和時(shí)，兩種迭代法的收斂速度基本相同.

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（責(zé)任編輯：耿繼祥）

The Convergence Analysis of Iterative Methods for Systems with Some Special Matrices

JIN Lingling，SU Qifang*
（School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000，China）

In this paper，we discuss the relationship of spectral radius of Jacobi and Gauss-Seidel iterative matrices for solving systems of linear equations Ax=b which has special matrix，containing upper triangular matrix，tridiagonal matrixand strictly diagonally dominant matrix，etc.，compare the convergence rate for Jacobi and Gauss-Seidel iterative methods.Theoretical analysis and numerical results show that in general，the convergence speed of the Gauss-Seidel iterative method is equal to or greater than that of Jacobi iterative method.The solution has a certain practical significance for solving special system of linear equations.

special matrix；convergence；the rate of convergence

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2015.06.002

2015-05-04；

2015-06-13

簡介：蘇岐芳（1964-），女，黑龍江綏化人，副教授，主要研究計(jì)算數(shù)學(xué)。