淺談數(shù)學語言在數(shù)學的教與學中的作用

孫林　苗杰

【摘 要】數(shù)學語言是認識數(shù)學的基礎，是培養(yǎng)數(shù)學思維能力、形成解決數(shù)學問題的能力和鞏固數(shù)學表達能力的重要手段，這一切都是通過數(shù)學語言來實現(xiàn)的。數(shù)學語言分為三類：文字語言、符號語言和圖表語言，三類語言之間相輔相成，在數(shù)學語言學習中占有重要地位。本文根據(jù)數(shù)學語言的特點，討論了在數(shù)學教學過程中應充分展現(xiàn)數(shù)學語言的重要性，并進而總結數(shù)學語言的教學策略和方法。

【關鍵詞】數(shù)學語言 分類 特點 教學策略

數(shù)學語言是認識數(shù)學的基礎，是培養(yǎng)數(shù)學思維能力、形成解決數(shù)學問題的能力和鞏固數(shù)學表達能力的重要手段。敘述數(shù)學的能力，也就是掌握數(shù)學語言的能力，與數(shù)學學習、研究、應用、傳播等數(shù)學活動，特別是數(shù)學的教與學有著密切的聯(lián)系。數(shù)學不但是一門學科，而且是一門語言，新課程標準相應地要求教師在教學中創(chuàng)造情境，讓“人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)歸納類比空間想象、符號表示等過程”。數(shù)學的教與學過程包括數(shù)學語言的聽說讀寫能力培養(yǎng)，在近幾年，數(shù)學語言越來越受到教育者的重視，不斷地被教育者作為單獨的研究對象進行分析和討論，從而更有效地進行數(shù)學活動。事實上，關于數(shù)學語言學習目標，現(xiàn)行數(shù)學課程大綱中已有明確要求。2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出，“數(shù)學語言具有精確、簡約、形式化等特點，能否恰當?shù)剡\用數(shù)學語言及自然語言進行表達與交流也是評價的重要內容”，要注意“提高數(shù)學表達和交流的能力”。

1 數(shù)學語言的特點

數(shù)學語言是以數(shù)學符號為主要詞匯，以數(shù)學公理、定理、公式等為語法規(guī)則的一種有別于自然語言的科學語言。數(shù)學語言是伴隨著數(shù)學自身的發(fā)生和發(fā)展而逐漸成長起來的，是儲存、傳承和加工數(shù)學思想信息的工具。正如美國數(shù)學家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數(shù)學）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細的、外延的語言很少聯(lián)系到課堂外的生活。”我們主要討論其以下兩個特點。

1.1 數(shù)學語言的精確性及確定性

較之自然語言，數(shù)學語言的精確性表現(xiàn)在自身不存在歧義的現(xiàn)象。例如，向量空間中個向量的線性相關的定義。如果存在數(shù)域中不全為零的數(shù)，使得，那么就說線性相關。由此定義，可以準確嚴密地推知個向量線性無關的概念，即，僅當時，上述線性表示式才成立，那么就說，個向量線性無關。由此定義，定義中的關鍵字“不全為零的數(shù)”和“僅當”，簡短而有力地說明了以下兩種情形都是錯誤的。第一種情形：如果線性相關，那么其中每一個均不為零；第二種情形：如果當時，，那么線性無關。

數(shù)學語言的準確性克服了自然語言在描述對象過程中含糊不清等缺陷，便于快速而又深刻地認識事物的本質屬性。但是，切記數(shù)學的精確性和所謂的模糊數(shù)學是沒有任何沖突的，模糊數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數(shù)學工具，其在模式識別、人工智能等方面有廣泛的應用。

1.2 數(shù)學語言的通用性和統(tǒng)一性

隨著全球化的加速，數(shù)學的發(fā)展也逐漸形成了國際化的趨勢，數(shù)學語言的民族性、地域性程度越來越低，而統(tǒng)一性、通用性程度越來越高，這是不爭的事實。數(shù)學知識的產(chǎn)生、傳播以及被接納的過程，不會因為國度的不同、民族的不同、語言的不同而有所阻礙。例如，數(shù)學分析中數(shù)列極限的概念可以表示為“”，不論在哪個國家，也不論所面對的學習者持有什么語種為母語，只要學習者具備在一定基礎，這個式子就足以表達數(shù)列極限的概念。當然這種特性主要來自于數(shù)學語言的分類——符號語言。

2 數(shù)學語言的分類

從表述形式看，數(shù)學語言可歸結為文字語言、符號語言和圖形語言三類。文字語言嚴格地確定和明晰了數(shù)學對象及其相互內在的關系，高度抽象和概括了數(shù)學對象的特性，進而深刻地揭示了數(shù)學對象的本質。例如“兩個等價的線性無關的向量組含有相同個數(shù)的向量”，“一個向量空間本身和零空間叫作這個空間的平凡子空間”，“一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩”，“矩陣變換的性質：初等變換不改變矩陣的秩”和“線性方程組可解的判別法：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩”等等。作為數(shù)學語言通用性和統(tǒng)一性的基本載體，符號語言是數(shù)學中一種最常用的且具有高度抽象性的語言，符號是簡縮思維、提高思維效率的根本。例如，“”，“”，“”，“”，“極限的唯一性：若則”等等，都是通過符號語言闡述數(shù)學對象的特性。圖表語言是指用各種圖或表來表達一定的數(shù)學信息，可劃分為圖形語言（幾何圖形、統(tǒng)計分析圖、集合文氏圖等）、圖象語言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計線圖等）和表格語言（統(tǒng)計數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等）。

三種數(shù)學語言各有其優(yōu)點和不足之處：文字語言雖然更符合大家的接觸和接受各種書本知識的習慣，但是較強的邏輯性要求，使得文字敘述較為繁雜，不易表露知識的內在結構；數(shù)學符號雖然高度抽象，但精準簡潔，描述起來給人以較強的結構感；圖表語言更形象直觀，容易形成表象且易理解。一種數(shù)學思想內容的表述通常是由以上三種專業(yè)語言和自然語言的優(yōu)勢相互補充進而有機結合的過程。

3 數(shù)學語言的教學策略

數(shù)學語言在數(shù)學的教與學互動過程中起著至關重要的作用，否則授課和聽課豈不是“對牛彈琴”的節(jié)奏。同時掌握一定程度的數(shù)學語言，對于自身的終身數(shù)學學習都有著深遠的影響。

3.1 教師在備課和授課過程中充分應用文字語言、符號語言和圖表語言的優(yōu)點

數(shù)學語言的不同類型各有自己的特點，從認知結構中再現(xiàn)概念的表現(xiàn)形式是多樣的：提到“一條線段的中點”時，人們腦子里出現(xiàn)的往往不是文字的定義，而是線段中間的那個點；看到“克萊因瓶”往往會聯(lián)想到其相應的歐拉公式或圖形；提到“一個集合的平凡子集”，就會想到“空集和自身”這幾個字。一個數(shù)學問題，根據(jù)其中的數(shù)學對象的特點，在人們的腦海里喚起的不同的數(shù)學語言——文字語言、符號語言和圖表語言，使得人們瞬時重組腦海中數(shù)學語言具體的信息，從而加深理解和靈活應用。

例：對函數(shù)定義的描述。滿射函數(shù)：（文字語言）設是到的一個映射。如果，那么就稱是到上的一個映射，這時也稱是一個滿射。

（符號語言），，且，使得。

（圖像語言）

總之要靈活運用數(shù)學語言將問題轉換，使學生從不同角度多個側面去了解、熟悉所要學習的概念，幫助其加深理解數(shù)學知識的含義。所以，為了讓學生學會充分利用各種數(shù)學語言的優(yōu)點，教師就必須以身作則，充分備課，在課堂上用多種語言給學生解釋數(shù)學對象的特點和內涵，以言傳身教來影響學生，從而有效地進行教與學的數(shù)學活動。

3.2 培養(yǎng)學生通過數(shù)學語言進行交流

數(shù)學交流是數(shù)學教與學的過程中必備的一個環(huán)節(jié)。為了提高數(shù)學語言運用水平，可結合課堂教學內容進行擬定，制定相應的數(shù)學語言“規(guī)范化”訓練的目標和方案。比如開設討論班、對學生進行一定難度的新知識講解等豐富多彩的數(shù)學活動，用自己掌握的數(shù)學語言說出已有和自身產(chǎn)生的數(shù)學知識、思想方法及解決問題的過程與策略等。在“說”數(shù)學的過程中梳理自己的解題思路及方法，把不連續(xù)的散亂的思維理清、理順，鼓勵和表揚他們所表達的數(shù)學思想和方法，從而建立自信心。例如，在講解函數(shù)在某一點的連續(xù)性對“函數(shù)在點處連續(xù)”，把這個文字語言轉換為符號語言，盡量將極限的唯一性和左右極限都考慮進去，“”。

另外，應當加強數(shù)學閱讀指導。語言來自于大量的閱讀，這是不爭的事實。重視數(shù)學閱讀，培養(yǎng)閱讀能力，符合現(xiàn)代“終身教育，終身學習”的教育思想。我們教師在授課的過程中，一定要謹記“授人以魚，不如授人以漁”。因此，為了提高整個民族的數(shù)學素質，必須從數(shù)學閱讀起步，有層次地、階段性地將數(shù)學閱讀充分在數(shù)學教學過程中展開。

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