導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的化歸與轉(zhuǎn)化思想

李文生

在數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能中，蘊(yùn)含著具有普遍性的數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的根本源泉，對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個(gè)標(biāo)志，它能指導(dǎo)我們有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，探尋解題方向.

數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間，往往會(huì)以某種形式相互聯(lián)系，在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)施或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或轉(zhuǎn)化問(wèn)題的外部表現(xiàn)形式等行動(dòng)策略去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)問(wèn)題的解決，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)于一時(shí)難以解決的問(wèn)題，可運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題化歸為一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題.而導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的主要類(lèi)型有：

（1）不等式的恒成立問(wèn)題；（2）證明不等式問(wèn)題；（3）方程的求解問(wèn)題.

通常，應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)有一個(gè)基本的解題思路，即：將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；將證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題；將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題等.

為了完成上述轉(zhuǎn)化，要把握兩個(gè)關(guān)鍵：（1）針對(duì)問(wèn)題的需要，合理地構(gòu)造函數(shù)，找到問(wèn)題轉(zhuǎn)化的突破口；（2）通過(guò)“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的深度轉(zhuǎn)化.

下面通過(guò)具體例題，對(duì)上述兩個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行一些探究.

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)的圖象力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問(wèn)題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問(wèn)題解決的突破口，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明確化.

問(wèn)題二：如何再次構(gòu)造新函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“二次求導(dǎo)”

在求導(dǎo)的過(guò)程中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量取值無(wú)法確定，這時(shí)可考慮再次構(gòu)造新函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn) “二次求導(dǎo)”.

評(píng)注：本題通過(guò)轉(zhuǎn)化，使求解a的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，再利用函數(shù)的連續(xù)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.在對(duì)本題解法的探究中，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)是途徑，“二次求導(dǎo)”是方法和策略.

綜上所述，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)這一研究函數(shù)的有力工具，能夠使解題思路自然流暢、過(guò)程清晰，正是應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化這一重要數(shù)學(xué)思想在解題中具有普遍指導(dǎo)意義的有力體現(xiàn)。其中構(gòu)造函數(shù)的方式、方法是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑，雖是“小構(gòu)造”但體現(xiàn)了解題的“大智慧”.平時(shí)教學(xué)中，特別是高考總復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透，強(qiáng)化訓(xùn)練，從而有效地提高學(xué)生解題的能力.

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