小改變大不同

余亞明

[摘 要] 變式教學(xué)對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，拓寬學(xué)生的思維空間，提高教育教學(xué)水平有一定的幫助，本文從三個(gè)方面舉例說(shuō)明“變式教學(xué)”的優(yōu)勢(shì)：變式教學(xué)幫助學(xué)生理解新知；變式教學(xué)利于學(xué)生解決問(wèn)題；變式教學(xué)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)變通.

[關(guān)鍵詞] 變式教學(xué)；方法；優(yōu)勢(shì)

變式教學(xué)就是對(duì)數(shù)學(xué)中的例、習(xí)題進(jìn)行不同背景、不同情形、不同角度、不同層次的變式，從而暴露問(wèn)題的本質(zhì)，揭示相關(guān)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)方法. 通過(guò)變式教學(xué)，可使學(xué)生觸類(lèi)旁通，達(dá)到一題多用、一法多用、多題一解、多題歸一的效果，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，拓寬學(xué)生的思維空間，提高教育教學(xué)水平，下面結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐從三個(gè)方面舉例說(shuō)明“變式教學(xué)”的優(yōu)勢(shì).

變式教學(xué)幫助學(xué)生理解新知

學(xué)生在剛接觸一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，很容易只停留在知識(shí)的表層，通常難以理解概念的內(nèi)涵和外延. 所以在新概念形成過(guò)程中要多方面呈現(xiàn)概念的外延并接觸一些“貌合神離”的情形，以便突出概念的內(nèi)涵，這樣能幫助學(xué)生正確、深刻地理解新知并掌握新知.

例1 學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，在學(xué)生了解了“形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)是一次函數(shù)”的概念并讓學(xué)生對(duì)幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式進(jìn)行辨別后，可以設(shè)計(jì)這樣的變式訓(xùn)練：

學(xué)生在解決變式4和變式5時(shí)出錯(cuò)率很高，他們把（m2-4）xm錯(cuò)誤理解成最高次項(xiàng)，這時(shí)教師在學(xué)生出錯(cuò)的基礎(chǔ)上適當(dāng)點(diǎn)撥，（m2-4）xm的次數(shù)可以高于一次，得出m2-4=0；（m2-4）xm的次數(shù)可以是一次，得出m=1；（m2-4）xm的次數(shù)也可以是零次，得出m=0. 變式4共有三種答案，變式5在變式4的基礎(chǔ)上要考慮系數(shù)m-2.學(xué)生聽(tīng)完講解恍然大悟，理解了自己出錯(cuò)的真正原因，加深了對(duì)概念的理解，這樣由表及里，由淺入深，層層深入，環(huán)環(huán)緊扣，給學(xué)生清晰的層次感，從層層遞進(jìn)的變式中激活學(xué)生的思維，同時(shí)使學(xué)生的思維有了深度和廣度，更讓學(xué)生學(xué)會(huì)了知識(shí)的遷移.

變式教學(xué)利于學(xué)生解決問(wèn)題

很多學(xué)生在解題時(shí)，一旦遇上把題目條件或圖形結(jié)構(gòu)做少許改變的題目，就會(huì)感到無(wú)從下手. 其實(shí)這些變了的題目與原題在知識(shí)、方法上是有關(guān)聯(lián)的，只要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些題目進(jìn)行類(lèi)比，歸納解決它們的常見(jiàn)方法及數(shù)學(xué)思想，就能達(dá)到解一題、融一類(lèi)、會(huì)一片的境地，從而提高學(xué)生的解題能力.

在平行四邊形的判定定理3的教學(xué)時(shí)，可以這樣設(shè)置一組變式題目：

例2 如圖1，？荀ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形. （新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教科書(shū)46頁(yè)例3）

教科書(shū)主要是利用“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形”這個(gè)判定定理來(lái)證明四邊形BFDE是平行四邊形.

變式1 如圖2所示，若將例題中的已知條件E，F(xiàn)是AC上的兩點(diǎn)，改為點(diǎn)E，F(xiàn)在AC兩側(cè)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？

雖然點(diǎn)E，F(xiàn)位置改變但引導(dǎo)學(xué)生抓住實(shí)質(zhì)，利用等式性質(zhì)仍能證出OB=OD，OE=OF，還可以利用例題的判定方法.

變式2 如圖3、4所示，？荀ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與？荀ABCD的對(duì)邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，四邊形BFDE還是平行四邊形嗎？為什么？

這時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的位置到了平行四邊形的邊上，有了前兩題作為鋪墊，不管是圖3還是圖4，學(xué)生很容易聯(lián)想到證OB=OD，OE=OF，從而證到結(jié)論. 加深了學(xué)生對(duì)判定定理的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性.

變式3 如圖5、6，？荀ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與？荀ABCD的對(duì)邊所在的直線(xiàn)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，四邊形BFDE還是平行四邊形嗎？為什么？

變式3在變式2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深，由點(diǎn)E，F(xiàn)的位置在線(xiàn)段上變?yōu)樵谥本€(xiàn)上，范圍擴(kuò)大，教學(xué)時(shí)可以在前面圖形的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自己畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形加以探究，發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題仍然可以利用例題的判定方法得出相同的結(jié)論. 通過(guò)變式3的訓(xùn)練可以加深對(duì)判定的靈活應(yīng)用，充分培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題的能力和探究能力.

變式教學(xué)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)變通

教學(xué)中經(jīng)常遇到這樣的情形：學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)掌握較好，也形成了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，但容易產(chǎn)生思維定式，一旦遇到變通就束手無(wú)策. 因此，教學(xué)中不能墨守成規(guī)，要注重對(duì)比分析，滲透變通意識(shí).

例3 如圖7，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6和8，點(diǎn)M，N分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值.

這是一道典型的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，其特征是一動(dòng)兩定型，即一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P），兩個(gè)定點(diǎn)（點(diǎn)M，N）. 采用對(duì)稱(chēng)共線(xiàn)法，利用軸對(duì)稱(chēng)變換，如圖8，將線(xiàn)路中線(xiàn)段PM，PN映射到同一直線(xiàn)上（線(xiàn)路長(zhǎng)度不變），從而確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，并計(jì)算線(xiàn)路最短長(zhǎng)度，也就是MN′的長(zhǎng)度5.

變式 如圖7，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6和8，N是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、點(diǎn)P分別是邊AB、對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值.

變式中，M點(diǎn)已經(jīng)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)，其特征是兩動(dòng)一定型，即兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，P），一個(gè)定點(diǎn)（點(diǎn)N），所以P點(diǎn)的確定與例題大不相同，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）M點(diǎn)還一定是AB的中點(diǎn)嗎？

（2）線(xiàn)段PM，PN如何映射到同一直線(xiàn)上？

（3）如何讓線(xiàn)路長(zhǎng)度最短？

通過(guò)思考，啟發(fā)學(xué)生對(duì)比聯(lián)系變式與例題之間的聯(lián)系和區(qū)別，學(xué)生能順利地利用軸對(duì)稱(chēng)變換及“垂線(xiàn)段最短”的知識(shí)確定出動(dòng)點(diǎn)P的位置，如圖9，計(jì)算出線(xiàn)路的最短長(zhǎng)度，也就是MN′（菱形的高）的長(zhǎng)度4.8.

例4 如圖10，在？荀ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線(xiàn)段AB上，連接EF，CF，則下列結(jié)論中一定成立的是______. （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）

變式 如圖12，教師可從以下角度對(duì)學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，交EC于點(diǎn)H，可得四邊形FGCD是菱形，則①輕松得出；再連接EG，易得GE=GC，又GH⊥EC，故FH垂直平分EC，則②④就能隨之得出了；因?yàn)镾△BEC=2S△CEG，而S△CEF 不一定等于S△CEG，故③不成立.

變則通，通則靈，靈則活，這樣的變式訓(xùn)練開(kāi)闊了學(xué)生的解題思路，能使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來(lái)，有利于將知識(shí)、能力和思想方法用于更多的新情景、更高的層次中，通過(guò)不斷地反復(fù)滲透，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)螺旋式的再認(rèn)識(shí)，再深化，乃至升華的效果.

以上是筆者在教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)嘗試，當(dāng)然，變式教學(xué)中的變式訓(xùn)練不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計(jì)，其目的是通過(guò)變式訓(xùn)練，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能和技巧，完成“應(yīng)用—理解—形成技能—培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過(guò)程. 因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)要巧，要有一定的藝術(shù)性，要正確把握變式的度，要有目的性，要起到引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的作用.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中變式教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練的重要方式，它能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、開(kāi)闊性、發(fā)散性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要善于利用變式教學(xué)，激活學(xué)生思維，提高課堂教學(xué)的有效性.endprint