一道課本例題的再思考

張瓊

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，分別寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

【評(píng)析】本題比較簡(jiǎn)單，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系即可解決問題.課本上的解法是：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以邊AB、AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（4，0）、C（4，4）、D（0，4）.

【反思】還能不能建立不同的平面直角坐標(biāo)系來表示例3中正方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)呢？答案是肯定的，其實(shí)我們可以把原點(diǎn)選在正方形的中心（如圖2、3），所以4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)都很簡(jiǎn)潔且具有良好的對(duì)稱性，這樣可以更簡(jiǎn)便地解決問題。

【深入探究】

變式1：如圖，以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo).

【評(píng)析】圖形的對(duì)稱變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)重要內(nèi)容.不僅在三角形、四邊形、圓等圖形的學(xué)習(xí)和研究中有大量應(yīng)用，而且在平面直角坐標(biāo)系中也有很好的應(yīng)用與體現(xiàn).點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（-x，y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（-x，-y） .

【解】A（-2，-2），B（2，-2），D（-2，2）.

變式2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在以O(shè)為圓心， 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，整數(shù)點(diǎn)P有____________個(gè).

【評(píng)析】 整數(shù)點(diǎn)P可能落在各象限內(nèi)，它們之間存在著某種對(duì)稱思想，只要尋找到一個(gè)象限上的整數(shù)點(diǎn)便可解決所有的整數(shù)點(diǎn)問題.

【解】共有8個(gè)，分別是（2，1），（1，2）， （-2，1），（-1，2）， （2，-1），（1，-2）， （-2，-1），（-1，-2）.

變式3：下列四個(gè)函數(shù)① ；② ；③ ；④ 中，關(guān)于 軸成軸對(duì)稱圖形的是____________.

【評(píng)析】本題可畫出函數(shù)各自圖象觀察解決，也可從坐標(biāo)對(duì)稱的角度來理解函數(shù)圖象關(guān)于 軸成軸對(duì)稱圖形.

【解】只有 ④正確.

變式4：如圖，已知拋物線C1： 的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及 的值；

（2）如圖，①若將拋物線C1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，試寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式；

②拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C2與C3的解析式；

【評(píng)析】解題時(shí)可借助常規(guī)方法求解，也可借助坐標(biāo)的對(duì)稱性解題：如果函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則函數(shù)值y變?yōu)橄喾磾?shù)-y，而自變量x不變；如果函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則自變量x變?yōu)橄喾磾?shù)-x，而函數(shù)值y不變；如果函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)變量x、y都變?yōu)橄喾磾?shù)-x、-y.