基于Euler方程的角接觸球軸承打滑動(dòng)力學(xué)模型

韓勤鍇，李崢，褚福磊

(清華大學(xué) 摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

角接觸球軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，為保證鋼球在溝道上作純滾動(dòng)，需使鋼球與內(nèi)外圈之間有足夠大的摩擦力以提供拖動(dòng)力，否則鋼球?qū)⒊霈F(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。鋼球打滑是影響軸承運(yùn)行平穩(wěn)性的主要因素之一。隨著現(xiàn)代機(jī)械裝備向高速、重載方向發(fā)展，一旦出現(xiàn)打滑，軸承及潤(rùn)滑油溫度將劇增，磨損加劇，壽命縮短。不僅影響裝備正常運(yùn)轉(zhuǎn)，甚至可能出現(xiàn)嚴(yán)重事故[1]。

因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軸承打滑行為、提出相應(yīng)的防滑設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]考慮鋼球與內(nèi)外溝道的接觸力、摩擦力、流體阻力以及離心力等因素，采用擬靜力學(xué)方法建立了高速軸承的打滑預(yù)測(cè)模型，討論了軸承軸向載荷、轉(zhuǎn)速以及鋼球數(shù)目對(duì)滾動(dòng)軸承打滑的影響。文獻(xiàn)[3]考慮離心力的影響，通過(guò)球軸承的幾何分析和力平衡分析，獲得了接觸力和接觸角。文獻(xiàn)[4]研究了球軸承在徑向和軸向載荷同時(shí)作用下的打滑行為。文獻(xiàn)[5]研究了因滑動(dòng)所引起的熱效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[6-7]分別采用擬動(dòng)力學(xué)分析模型，針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)主軸用圓柱滾子軸承的工作條件進(jìn)行了深入的模擬分析, 包括載荷分布、接觸應(yīng)力與變形、滾子的公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)速度、打滑、歪斜、傾斜、保持架的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、軸承的發(fā)熱、磨損以及壽命等參數(shù)。文獻(xiàn)[8-10]分別給出了僅承受軸向載荷和承受聯(lián)合載荷時(shí)角接觸球軸承防滑最小軸向載荷的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[11]針對(duì)擠壓油膜阻尼器支承的航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用擬動(dòng)力學(xué)方法研究了轉(zhuǎn)子渦動(dòng)工況對(duì)角接觸球軸承滑動(dòng)的影響機(jī)理。

上述研究大多基于擬靜力(動(dòng)力)學(xué)模型。事實(shí)上，軸承經(jīng)常承受動(dòng)載荷，加之鋼球與保持架之間的非連續(xù)接觸、碰撞作用，使得鋼球的打滑行為將隨時(shí)間和空間變化。在這種情況下，基于擬靜力學(xué)模型的穩(wěn)態(tài)分析方法難以準(zhǔn)確表征和預(yù)測(cè)鋼球打滑運(yùn)動(dòng)行為，因此發(fā)展動(dòng)力學(xué)分析方法是國(guó)內(nèi)外共同的發(fā)展趨勢(shì)[12]。文獻(xiàn)[13]首先采用動(dòng)力學(xué)方法建立了推力球軸承的運(yùn)動(dòng)微分方程，考慮了彈流潤(rùn)滑的影響，研究了球的瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)行為，實(shí)現(xiàn)了潤(rùn)滑狀態(tài)下軸承的打滑仿真。文獻(xiàn)[14-15]分別考慮彈流潤(rùn)滑的影響，建立滾子軸承的動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)時(shí)模擬了滾子公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速、自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速及保持架轉(zhuǎn)速，進(jìn)而分析了軸承打滑的動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)[16]建立了滾子軸承有限元接觸仿真模型，研究滾子與內(nèi)外滾道之間的滑動(dòng)。文獻(xiàn)[17]忽略離心力和陀螺力對(duì)接觸角的影響，建立了風(fēng)電裝備高速輸出軸軸承的動(dòng)力學(xué)模型，研究了鋼球的打滑特性。文獻(xiàn)[18-19]針對(duì)某車用深溝球軸承，建立球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)2自由度動(dòng)力學(xué)模型，研究了球進(jìn)入載荷區(qū)所出現(xiàn)的咬入滑動(dòng)現(xiàn)象，并考慮轉(zhuǎn)子加速等瞬態(tài)工況的影響規(guī)律。國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者均對(duì)軸承打滑的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)研究，但研究對(duì)象局限于推力軸承(承受軸向載荷)和深溝球軸承(承受徑向載荷)，而對(duì)于承受聯(lián)合載荷的高速角接觸球軸承卻研究很少。高轉(zhuǎn)速和聯(lián)合載荷將使得角接觸球軸承鋼球具有空間三維運(yùn)動(dòng)，而推力和深溝球軸承均可簡(jiǎn)化為平面二維轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。

下文基于Euler方程建立球三維轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程組，在載荷分析的基礎(chǔ)上推導(dǎo)因鋼球相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生的時(shí)變摩擦力和摩擦力矩，從而得到角接觸球軸承打滑動(dòng)力學(xué)模型。以7218AC軸承為例，分析了軸向和徑向載荷聯(lián)合作用時(shí)，球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。

1 基于Euler方程的動(dòng)力學(xué)模型

假定軸承外圈固定，忽略內(nèi)圈沿坐標(biāo)軸橫向平移運(yùn)動(dòng)。采用一個(gè)固定坐標(biāo)系(O1x1y1z1)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系(Oxyz)來(lái)描述第j個(gè)球自身3個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)(ωxj,ωyj,ωzj)和繞軸承軸線的公轉(zhuǎn)(ωcj),如圖1所示。定義鋼球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)向量，由Euler方程可得描述球繞自身3個(gè)轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(1)

Jj=diag(Ixj,Iyj,Izj)，

Mj=[Mxj,Myj,Mzj]T,

圖1 軸承鋼球分析坐標(biāo)系

式中：Jj為鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;Ixj,Iyj,Izj為實(shí)心圓球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為鋼球質(zhì)量；r為球半徑；qj為鋼球自轉(zhuǎn)角速度向量；Tj為牽連角速度矩陣；ωx1,ωy1,ωz1為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度,ωx1=ωy1=0,ωz1=ωcj；Mj為鋼球所受的合力矩；Mxj,Myj,Mzj分別為球沿x,y,z軸的力矩。

對(duì)于鋼球繞固定坐標(biāo)軸z1的公轉(zhuǎn)速度ωcj，根據(jù)動(dòng)量矩定理可得

(2)

式中：Icj為鋼球繞軸承軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Izj為鋼球繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rpw為球組節(jié)圓半徑；Mfj為內(nèi)外滾動(dòng)摩擦力所提供的拖動(dòng)力矩；Mcj為相鄰鋼球?qū)Φ趈個(gè)鋼球的作用力所引起的合力矩。

保持架處理為彈簧kcage，并始終與相鄰鋼球接觸，如圖2所示。

圖2 球與保持架之間的相互作用

根據(jù)力平衡關(guān)系，可得

Mcj=-kcage(δ--δ+)rpw，

(3)

式中：θc(j-1),θcj,θc(j+1)分別為t時(shí)刻第j-1，j，j+1個(gè)鋼球繞z1軸轉(zhuǎn)過(guò)的角位移；δ+,δ-分別表示第j個(gè)鋼球與相鄰兩個(gè)鋼球之間的相對(duì)變形量；Z為鋼球個(gè)數(shù)。

鋼球公轉(zhuǎn)角位移與角速度之間的微分關(guān)系為

(4)

由(1)，(2)，(4)式得

(5)

Γj=diag([Jj,Icj,1])，

式中：xj,Γj,Θj分別為描述第j個(gè)鋼球運(yùn)動(dòng)的自由度向量、系數(shù)矩陣和外力向量，可由(1)和(2)式得到。

則鋼球運(yùn)動(dòng)的微分方程組

(6)

Mj和Mfj由鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦力和摩擦力矩確定。

2 摩擦力和摩擦力矩

2.1 接觸載荷

根據(jù)Hertz接觸理論，鋼球與溝道之間的接觸力和接觸變形(圖3)之間的關(guān)系為

f=Kδ3/2，

(7)

E′=E/(1-ν2)，

圖3 鋼球與內(nèi)外溝道的接觸

式中：K為接觸剛度系數(shù)；E為材料彈性模量;ν為泊松比；R為當(dāng)量主曲率半徑；κ為橢圓率；ξ和ε分別為第一類和第二類橢圓積分，與κ有關(guān)[20]。

第j個(gè)鋼球與內(nèi)溝道之間的受力情況如圖4所示，該鋼球?qū)?nèi)圈的作用力在固定坐標(biāo)系的分量為

圖4 軸承受力分析示意圖

式中：K1為鋼球與內(nèi)外圈之間的總接觸剛度系數(shù)；Ki為鋼球與內(nèi)圈之間的接觸剛度系數(shù)；Ke為鋼球與外圈之間的接觸剛度系數(shù)；δj為鋼球沿接觸線的變形量；α為軸承接觸角。

由圖4可得

根據(jù)平衡條件，所有鋼球?qū)?nèi)圈的作用力之和應(yīng)與作用在內(nèi)圈的外力相等，方向相反。因此有

(10)

式中：Fx1,Fy1,Fz1分別為作用在內(nèi)圈上外力沿x1，y1，z1的分量。

可采用Newton迭代法求解[δx1δy1δz1]T，后利用(9)式求解鋼球與溝道之間的接觸變形量δj。

根據(jù)(7)式可得第j個(gè)鋼球與內(nèi)外溝道之間的接觸力為

(11)

2.2 接觸界面相對(duì)滑移速度

鋼球沿溝道運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)作用，使得接觸面鋼球和內(nèi)外溝道產(chǎn)生相對(duì)滑移?；扑俣葧?huì)產(chǎn)生摩擦拖動(dòng)力，使得鋼球沿溝道滾動(dòng)。當(dāng)接觸載荷過(guò)小或摩擦因數(shù)過(guò)小時(shí)，溝道無(wú)法提供足夠的拖動(dòng)力，鋼球便會(huì)沿溝道出現(xiàn)打滑。

由于外溝道固定，則鋼球與外溝道沿接觸橢圓坐標(biāo)軸方向的相對(duì)滑移速度ΔVeyj和ΔVexj由鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起。根據(jù)圖1中給出的角速度關(guān)系，并向xe軸和ye軸分解可得

ΔVexj=rωyjsinα+rωzjcosα+

(12)

由于內(nèi)溝道以ωi自轉(zhuǎn)，則鋼球相對(duì)內(nèi)溝道的公轉(zhuǎn)速度為ωi-ωcj。同理可得

ΔVixj=-rωyjsinα-rωzjcosα-

(13)

2.3 摩擦力和摩擦力矩求解

摩擦因數(shù)與接觸界面相對(duì)滑移速度相關(guān)，摩擦因數(shù)函數(shù)如圖5所示。

圖5 摩擦因數(shù)函數(shù)

摩擦因數(shù)可表示為[22]

(14)

根據(jù)Hertz接觸理論，接觸區(qū)應(yīng)力分布可表示為

(15)

式中：pHj為接觸區(qū)最大接觸應(yīng)力；a和b為接觸橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。

根據(jù)庫(kù)倫摩擦理論可得到鋼球與內(nèi)外溝道的摩擦力沿橢圓長(zhǎng)軸和短軸的分量分別為

(16)

(17)

摩擦力矩為

(18)

將摩擦力和摩擦力矩轉(zhuǎn)換至轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，即可得鋼球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的外載荷

(19)

對(duì)于鋼球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的外載荷，有

Mfj=rgefexj+rgifixj，

(20)

式中：rge和rgi分別為外溝道和內(nèi)溝道溝底半徑。

3 打滑動(dòng)力學(xué)模型求解

具體計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 打滑動(dòng)力學(xué)模型求解流程

4 算例分析

該軸承套圈、鋼球材料均為軸承鋼，具體參數(shù)見(jiàn)表1。下面將分別針對(duì)僅承受軸向載荷和承受聯(lián)合載荷2種情況，研究7218AC軸承的滑動(dòng)特性。

表1 7218AC軸承的計(jì)算參數(shù)

4.1 軸向載荷

依據(jù)圖6可得各個(gè)鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間變化情況。由圖4可以看出，1#鋼球在初始時(shí)刻θc1=0，即其與固定坐標(biāo)軸x的夾角為0。后續(xù)分析中，若無(wú)特殊說(shuō)明，均以1#鋼球?yàn)槔M(jìn)行討論。分析了不同軸向載荷時(shí)，鋼球公轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間的變化曲線如圖7所示。隨著軸向載荷的增加，鋼球公轉(zhuǎn)速度將趨近純滾動(dòng)時(shí)的理論公轉(zhuǎn)速度(90.48 rad/s)。由圖可知，防止鋼球打滑的最小軸向力為3 600 N。根據(jù)文獻(xiàn)[4]得Fz1≥3 680.9 N。由此，驗(yàn)證了分析模型的準(zhǔn)確性。

圖7 軸向載荷對(duì)鋼球公轉(zhuǎn)角速度的影響

4.2 聯(lián)合載荷

軸承承受聯(lián)合載荷時(shí)鋼球公轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示。穩(wěn)態(tài)階段徑向載荷的不同并未明顯改變鋼球公轉(zhuǎn)速度。軸向和徑向載荷聯(lián)合作用下鋼球3個(gè)方向的自轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間的變化曲線如圖9所示。由于聯(lián)合載荷的作用，使得軸承沿溝道周向出現(xiàn)了受載區(qū)和非受載區(qū)。在受載區(qū)，鋼球承受足夠大的軸向載荷，使得自轉(zhuǎn)角速度趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即ωx1≈0,ωy1≈-370 rad/s,ωz1≈-448 rad/s。由(12)和(13)式可知，鋼球相對(duì)內(nèi)外溝道的自旋速度均接近為零，表明此時(shí)鋼球作純滾動(dòng)。而在非受載區(qū)，由于沒(méi)有足夠大的摩擦拖動(dòng)力，鋼球相對(duì)溝道出現(xiàn)滑動(dòng)，其自轉(zhuǎn)速度也出現(xiàn)了較為明顯的波動(dòng)，如圖9所示。鑒于鋼球沿溝道轉(zhuǎn)動(dòng)，而受載區(qū)和非受載區(qū)將周期性出現(xiàn)，導(dǎo)致其自轉(zhuǎn)角速度也呈周期性變化。

圖8 徑向載荷對(duì)鋼球公轉(zhuǎn)角速度的影響(軸向載荷Fz1=-4 000 N)

圖9 聯(lián)合載荷作用下鋼球自轉(zhuǎn)角速度(Fz1=-4 000 N，F(xiàn)z1=-3 000 N)

以鋼球與內(nèi)溝道接觸面中心處滑動(dòng)速度(ΔVix)表征鋼球滑動(dòng)程度的大小，上述4種徑向載荷下隨時(shí)間變化曲線如圖10所示。由圖10a和圖10b可知，徑向載荷較小時(shí)，鋼球接觸力不為0，說(shuō)明鋼球始終處于承載區(qū)，且與溝道存在摩擦力，鋼球滑動(dòng)速度接近為0。由圖10c和圖10d可知，增加徑向載荷，滾動(dòng)軸承周向某些區(qū)域內(nèi)接觸力為0，表明該區(qū)域?yàn)榉鞘茌d區(qū)，而其余區(qū)域?yàn)槭茌d區(qū)。鋼球沿溝道旋轉(zhuǎn)，將周期性地進(jìn)入和退出非受載區(qū)。在非受載區(qū)，鋼球滑動(dòng)速度迅速增加；而進(jìn)入受載區(qū)的最初階段，由于接觸力較小，溝道所提供的摩擦力仍無(wú)法提供足夠的拖動(dòng)力，因此滑動(dòng)速度仍然有所增加；隨著鋼球逐漸進(jìn)入受載區(qū)中心區(qū)域，滑動(dòng)速度開(kāi)始降低，直至接近0，表明此時(shí)鋼球開(kāi)始作純滾動(dòng)。當(dāng)鋼球退出受載區(qū)時(shí)，滑動(dòng)速度有所增加，而完全退出受載區(qū)而進(jìn)入非受載區(qū)時(shí)，滑動(dòng)速度將再次出現(xiàn)明顯增加。由此可見(jiàn)，一定的軸向載荷下，當(dāng)徑向載荷足夠大時(shí)，鋼球滑動(dòng)速度將出現(xiàn)顯著的波動(dòng)。由圖10c和10d可知，隨著徑向載荷的增加，波動(dòng)的幅值以及波動(dòng)的范圍均增大，說(shuō)明滾動(dòng)打滑加重。此外，鋼球進(jìn)入受載區(qū)時(shí)的滑動(dòng)速度變化要比退出時(shí)的變化大。

圖10 聯(lián)合載荷作用下鋼球滑動(dòng)速度及接觸力變化曲線(Fz1=-4 500 N)

5 結(jié)束語(yǔ)

基于Euler方程建立角接觸球軸承打滑動(dòng)力學(xué)模型，以7218AC軸承為例，分析了軸向和徑向載荷聯(lián)合作用時(shí)，鋼球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。結(jié)果表明：在給定的軸向預(yù)載下，徑向載荷的作用將使得鋼球打滑速度沿溝道周向出現(xiàn)周期性的波動(dòng)，尤其是鋼球進(jìn)入受載區(qū)時(shí)。隨著徑向載荷的增加，打滑速度和打滑范圍均出現(xiàn)顯著增加。后續(xù)研究還將考慮鋼球與保持架之間的接觸和碰撞因素以及彈流潤(rùn)滑的影響。